2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试28平面向量的数量积及应用含解析新人教B版.doc

1、考点测试 28 平面向量的数量积及应用 高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值 5 分，中、低等难度 考纲 研读 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 一、基础小题 1已知向量 a，b 满足|a|1，|b|3，且 a，b 夹角为6，则(ab)(2ab)()A.12 B32 C12 D32 答案 A 解析(ab)(2ab)2a2b2ab231 3 32 12.故选 A.2如果等腰三角形 ABC 的周长是底边长 B

2、C 的 5 倍，BC1，则ABBC()A.12 B14 C12 D14 答案 C 解析 由题意得 ABAC2，设 D 是边 BC 的中点，在 RtABD 中，cosABC14，ABBC|AB|BC|cos(ABC)2114 12.故选 C.3已知向量 a(3，1)，b(3，3)，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为()A 3 B 3 C1 D1 答案 A 解析 由投影的定义可知，向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|cosa，b，又 ab|a|b|cosa，b，|b|cosa，bab|a|3 331 3.故选 A.4若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)

3、0，则ABC 的形状为()A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 答案 A 解析 因为(OBOC)(OBOC2OA)0，即CB(ABAC)0，所以(ABAC)(ABAC)0，即|AB|AC|，所以ABC 是等腰三角形，故选 A.5设 a，b 是互相垂直的单位向量，且(ab)(a2b)，则实数 的值是()A2 B2 C1 D1 答案 B 解析 依题意，有|a|b|1，且 ab0，又(ab)(a2b)，所以(ab)(a2b)0，即 a22b2(21)ab0，即 20，所以 2.故选 B.6在ABC 中，ABAC0，|AB|4，|BC|5，D 为线段 BC 的中点，E 为线段 B

4、C 垂直平分线 l 上任一异于 D 的点，则AECB()A.72 B74 C74 D7 答案 A 解析 如图所示，|AC|BC|2|AB|2FK)3，AECB(ADDE)CBADCBDECBADCB12(ABAC)(ABAC)12(AB2AC2)72.故选 A.7已知 a(cos2，sin)，b(1，2sin1)，2，若 ab25，则tan4()A.13 B17 C27 D23 答案 B 解析 由题意可得 abcos2sin(2sin1)cos22sin2sin12sin22sin2sin1sin25，故有 sin35.再由 2，得 cos45，tan34，tan4 1tan1tan17.故选

5、 B.8正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 BC 边的中点，F 为 CD 边上一点，若AFAE|AE|2，则|AF|()A3 B5 C.32 D52 答案 D 解析 AFAE|AE|2，由数量积的几何意义可知 EFAE，由 E 是 BC 的中点，得 AE 5，EF 1CF2，AF 4CF2，AE2EF2AF2，CF12，AF52.故选 D.二、高考小题 9(2019全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B3 C23 D56 答案 B 解析 由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，b ab|a|b|

6、b22b212.0a，b，a 与 b 的夹角为3.故选 B.10(2019全国卷)已知AB(2，3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3 B2 C2 D3 答案 C 解析 BCACAB(3，t)(2，3)(1，t3)，|BC|1，12t21，t3，BC(1，0)，ABBC21302.故选 C.11(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4 B3 C2 D0 答案 B 解析 因为 a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.故选 B.12(2018天津高考)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点

7、E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为()A.2116 B32 C.2516 D3 答案 A 解析 解法一：如图，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(1，0)，B32，32，C(0，3)，令 E(0，t)，t0,3，AEBE(1，t)32，t 32t2 32 t32，t0，3，当 t 322134 时，AEBE取得最小值，(AEBE)min 316 32 34 322116.故选 A.解法二：令DEDC(01)，由已知可得 DC 3，AEADDC，BEBAAEBAADDC，AEBE(ADDC)(BAADDC)ADBA|AD|2

8、DCBA2|DC|2323232.当 322314时，AEBE取得最小值2116.故选 A.13(2019全国卷)已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若 c2a 5b，则 cosa，c_.答案 23 解析 由题意，得 cosa，ca a 5b|a|2 a 5b|2a2 5ab|a|2a 5b|221 4523.14(2019江苏高考)如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD与 CE 交于点 O.若ABAC6AOEC，则ABAC的值是_ 答案 3 解析 解法一：如图 1，过点 D 作 DFCE 交 AB 于点 F，由 D 是 BC 的中点，可知 F 为 B

9、E的中点又 BE2EA，则知 EFEA，从而可得 AOOD，则有AO12AD14(ABAC)，ECACAEAC13AB，所以 6AOEC32(ABAC)AC13AB 32AC212AB2ABACABAC，整理可得AB23AC2，所以ABAC 3.解法二：以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图 2 所示 设 E(1，0)，C(a，b)，则 B(3，0)，Da32，b2.lAD：y ba3x，lCE：y ba1xOa34，b4.ABAC6AOEC，(3，0)(a，b)6a34，b4(a1，b)，即 3a6aa4b24，a2b23，AC 3.ABAC 33 3.三、模

10、拟小题 15(2019沈阳市第二次质量监测)已知向量 a(3，1)，b(x，1)，且 a 与 b 垂直，则 x 的值为()A.13 B12 C2 D3 答案 A 解析 由题知 ab，所以 ab0，即 3x1(1)0，则 x13，故选 A.16(2019四川一诊)在ABC 中，AB3，AC2，BAC120，点 D 为 BC 边上一点，且BD2DC，则ABAD()A.13 B23 C1 D2 答案 C 解析 因为ADACCDAC13CBAC13AB13AC13AB23AC，所以ABAD13AB223ABAC32332cos1201.故选 C.17(2019内江模拟)若|a|1，|b|2，|a2b|

11、13，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B3 C2 D23 答案 D 解析|a|1，|b|2，|a2b|13，(a2b)2a24b24ab1164ab13，ab1，cosa，b ab|a|b|12.又 0a，b，a，b 的夹角为23.故选 D.18(2019呼和浩特质量检测)设 a，b 均是非零向量，且|a|2|b|，若关于 x 的方程x2|a|xab0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围为()A.0，6 B3，C.3，23 D6，答案 B 解析 关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，|a|24ab0，ab|a|24，cosa，b ab|a|b|a|24|a|b|12，又 0a

12、，b，3 a，b.故选 B.19(2019黄冈二模)已知向量 a(1，3)，b(3，m)，且 b 在 a 方向上的投影为3，则向量 a 与 b 的夹角为_ 答案 23 解析 根据题意，设向量 b 与 a 的夹角为，因为向量 a(1，3)，b(3，m)，则|a|2，ab3 3m，若 b 在 a 方向上的投影为3，则有ab|a|3 3m23，解得 m3 3，则 b(3，3 3)，则|b|6，则 cos ab|a|b|62612，又由 0，则 23.20(2019湖南师大附中一模)点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点，N 是边 BC 的中点，则ANAM的最大值是_ 答案 6 解

13、析 以 A 为坐标原点，AD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，那么有 A N(1，2)，设 M 点坐标为(x，y)，则 A M(x，y)，其中 0 x2，2y0，ANAMx2y，当 x 取得最大值 2，y 取得最小值2 时，A NA M取得最大值6.一、高考大题 1(2017江苏高考)已知向量 a(cosx，sinx)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解(1)因为 a(cosx，sinx)，b(3，3)，ab，所以 3cosx3sinx.若 cosx0，则 si

14、nx0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cosx0，于是 tanx 33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cosx，sinx)(3，3)3cosx 3sinx2 3cosx6.因为 x0，所以 x6 6，76，从而1cosx6 32.于是，当 x6 6，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；当 x6，即 x56 时，f(x)取到最小值2 3.2(2015广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m22，22，n(sinx，cosx)，x0，2.(1)若 mn，求 tanx 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值 解(1)mn，mn0，故 22 sinx

15、22 cosx0，tanx1.(2)m 与 n 的夹角为3，cosm，n mn|m|n|22 sinx 22 cosx1112，故 sinx4 12.又 x0，2，x4 4，4，x4 6，即 x512，故 x 的值为512.二、模拟大题 3(2019商丘模拟)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2)(1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标；(2)若|b|1，且 ab 与 a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角 的余弦值 解(1)设 c(x，y)，则由 ca 和|c|2 5，可得 1y2x0，x2y220，解得 x2，y4或 x2，y4.c(2，4)或 c(2，4)(2)

16、ab 与 a2b 垂直，(ab)(a2b)0，即 a2ab2b20，ab3，cos ab|a|b|3 55.4(2019盐城二模)设向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中 0，02，且 ab 与 ab 相互垂直(1)求实数 的值；(2)若 ab45，且 tan2，求 tan 的值 解(1)由 ab 与 ab 互相垂直，可得(ab)(ab)a2b20，所以 cos22sin210.又因为 sin2cos21，所以(21)sin20.因为 00，所以 1.(2)由(1)知 a(cos，sin)，由 ab45，得 coscossinsin45，即 cos()45.因为 02，所以2 0，所以 sin()1cos235.所以 tan()34，因此 tantan()tan112.