2021届高考数学复习 压轴题训练 外接球（2）（含解析）.doc

1、外接球1在三棱锥中，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为解：如图，由，可得，取中点，则是的外心，取中点，连接，则，又平面平面，平面，设的外心为，则在上，在中，由，得，设的外接圆半径为，由，得，即设三棱锥外接球的球心为，则，三棱锥外接球的表面积为故答案为：2已知正三棱柱的所有棱长都为3，是的中点，是线段上的动点若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球表面积的取值范围为解：由题意可知，三棱锥的外接球的球心在上底面等边的中心与下底面等边的中心连线的线段上，设球的半径为，当动点在位置时球的半径最大，此时球心在线段的中点，在中，则球的半径，当动点在点位置时球的半径最小，此时球心在线段上，三棱锥为

2、正三棱锥，在中，由，可得，解得，所以，由球的表面积公式，可得，故球表面积的取值范围为，故答案为：，3已知球的半径为4，点，在球的表面上，且平面平面，球上的点到平面的最大距离为5，则三棱锥的体积为解：取的中点，连接，则，因为平面平面，所以平面，因为球的半径为4，球上的点到平面的最大距离为5，所以，所以三棱锥的体积为：故答案为：54如图，在三棱锥中，若该三棱锥的侧面积是底面积的倍，则该三棱锥外接球的表面积为解：取边的中点，连结，如图所示，外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，因为且点为的中点，所以，由此可知该三棱锥的侧面积，底面的面积为，所以，解得，设三棱锥外接球半径为，因为，所以点在底面上的射影

3、为点，因为，故三棱锥外接球球心在直线的延长线上，为外接圆的半径，所以，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，由解得，所以外接球的表面积故答案为：5在三棱锥中，是边长为的等边三角形且平面平面，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为，则三棱维体积的最大值为解：取的中点，连结，设为的中心，则在直线上，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，设所在的截面圆的圆心为，过作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点，则为外接球的球心，连结，设外接球的半径为，则有，故，即在等边中，所以，在中，故，在中，所以所在的截面圆的半径为，故点到直线距离的最大值为，所以三棱维体积的最大值为故答案为：6三

4、棱锥中，平面平面为等边三角形，且，则三棱锥的外接球体积为解：中，由余弦定理得所以，解得或，因为，所以，取中点，易得，因为平面平面，所以平面，因为，所以，即，为斜边的中点，由平面可知球心在上，且，设，则，所以，解得，故三棱锥的外接球体积故答案为：7在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为【解答】解：如图所示，过等边中心作直线平面，是以为斜边的直角三角形，外接球的球心在过的斜边的中点并且垂直于的直线上，即与直线的交点的位置过作垂直于的直线交于点，由于二面角的大小为，即所以，由于为等边三角形，所以，则，则，所以故答案为：8已知四棱锥的顶点

5、均在球的球面上，底面是矩形，二面角大小为，当面积最大时，球的表面积为解：设所在平面为圆面，所在的平面为圆面，作出立体图形如图1所示，连结，过作于点，连结，因为为的中心，为的中点，所以，则，单独分析圆，如图2所示，点在弧上运动，当在中垂线与圆的交点时，面积最大，如图所示位置，此时，且必过，因为，所以为重心，则有，所以，所以；单独分析圆，如图3所示，因为为中心，为的中点，所以，故；单独分析四边形，如图4所示，因为，所以，则，所以，即球的半径为，所以球的表面积为故答案为：9已知三棱锥，为中点，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为解：连结，由，可知和是

6、等边三角形，设三棱锥的外接球的球心为，所以球心到平面和平面的射影时和的中心，是等边三角形，为的中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，所以平面，又平面，所以，所以四边形是矩形，因为和是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高均为，在矩形中，连结，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为；设过点的平面为，当时，此时所得的截面面积最小，该截面为圆形，因此圆的半径为，所以此时的面积为；当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，此时面积为，所以截面的面积的范围为故答案为：；10在四面体中，二面角为，则四面体的外接球的表面积为解：如图，由已知可得，为等边三角形，取的中点，连接，则，为二面角的平面角，大小为，

7、设的外心为，的外心为，分别过，作所在面的垂线，相交于，则为四面体的外接球的球心，由已知求得，在中，求得，则，可得四面体的外接球的半径四面体的外接球的表面积为故答案为：11已知四棱锥的顶点均在球的球面上，底面是正方形，当时，球的表面积为解：如图所示：由于四棱锥的顶点均在球的球面上，底面是正方形，所以为等腰三角形，设的外接圆的圆心为，设外接圆的半径为，所以在中，利用正弦定理，解得，四棱锥的顶点均在球的球面上，所以球心在垂直于平面，经过正方形的中心，设球心为，所以球的半径，所以故答案为：12在长方体中，分别是棱，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是解：补全截面为截面，如图所示，设，因为直线平面，所以平面，因为，分别是棱，的中点，所以，所以平面平面，所以，故当与重合时，最短，此时的面积最小，由等面积法可得，即，解得，因为，平面，所以平面，又平面，则，又，所以为三棱锥的外接球的直径，故，所以三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥的外接球的体积是故答案为：