2021届高考数学统考二轮复习增分强化练三十二圆锥曲线中的综合问题理含解析202103112218.doc

1、增分强化练(三十二)1已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F为抛物线y24x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若OPOQ，求OPQ面积的最小值解析：(1)y24x的焦点为(1,0)，椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c1，又|PQ|的最大值为4，因此|PQ|2a4，a24，b2a2c2413，所以椭圆C的标准方程为1.(2)当P，Q为椭圆顶点时，易得OPQ的面积为2，当P，Q不是椭圆顶点时，设直线OP的方程为ykx(k0)，由，得x2，所以|OP| ，由OPOQ，得直线OQ的方程为：yx，所以|OQ| ，所以SOPQ|OP|OQ|6 6

2、6 ，k224，当且仅当k21时等号成立，所以0，所以SOPQb0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P(，)满足120.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1k2的值解析：(1)依题意F1(c,0)，12c230，即c，e，a2，b2a2c21，椭圆C的方程为y21.(2)设直线l的方程为yk(x)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，得(14k2)x28k2x4(3k21)0，则x1x2，x1x2，k1，k，k2成等比数列，k1k

3、2k2，则(x1x2)3，即，解得k2，故k1k2.3已知抛物线C：y22px(0p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2n，y1y2t，则kPAkPB.由题意，得y1y2(y1y2)11，即y1y2(y1y2)0，将代入得tn0，即tn.所以l：xn(y1)显然l过定点(0，1)4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F1的直线l与椭圆C交于E，D两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)因为椭圆C的焦距为

4、2，长轴的长为4，所以2c2,2a4，解得c1，a2，所以b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)易知F1(1,0)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)联立方程，得得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2.又y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)k2(1)，直线ME，MD的斜率kME，kMD，则kMEkMD.要使直线ME，MD的斜率之积为定值，需3m2120，解得m2.当m2时，kMEkMD；当m2时，kMEkMD.当直线l的斜率不存在时，不妨设E(1，)，D(1，)，此时，当m2时，M(2,0)，kMEkMD；当m2时，M(2,0)，kMEkMD.综上，在x轴上存在两个定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值；当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值.