广西北流市实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 WORD版含解析.doc

1、2020年春季期高中二年级期中联考质量评价检测数学（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则M（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解

2、析】【分析】根据分式不等式的解法，求得，再结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2.复平面内，复数的虚部为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算法则，化简求得，再结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数的除法运算法则，可得，所以复数的虚部为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3.为了解某社区居民

3、的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得知5户家庭收入的平均值万元，支出的平均值万元，根据以上数据可得线性回归方程为 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元【答案】B【解析】【分析】利用线性回归方程过样本中心点，可求解出，代入，即得解【详解】当故选：B【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数学运算能力，属于基础题4.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，

4、要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.5.已知函数，其中，则（ ）A. 6B. 7C. 2D. 4【答案】B【解析】故选B6.要得到的图象，只需将的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】化简，即可得到答案.【详解】解：而所以，右移平移个单位后得.即右移平移个单位后得.故选：B【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像变换和二倍角公式，属于基础题.7.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最大值是（ ）A. 6B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】易知,所以点到直线的距离最大时，三角形面积最大，而点

5、到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】在中，令，得，令，得，所以，所以，由知，圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以点到直线的距离，所以面积的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式，考查了三角形的面积，属于基础题.8.设数列的前项和为若，则=（ ）A. 242B. 121C. 62D. 31【答案】B【解析】【分析】利用项和转换，可得到，可证明为等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即得解【详解】且 可得 成等比数列其中 故选：B【点睛】本题考查了项和转化、等比数列的判定，等比数列的前n项和公式，

6、考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题9.已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则几何体的体积V的大小为（ ）A. B. C. 12D. 16【答案】A【解析】【分析】由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图所示，利用棱锥的体积公式即可得出【详解】由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图，由图可知四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积，几何体的体积故选：A【点睛】本题主要考查通过三视图找几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.球的表面上有三点，过，和球心O作截面，截面圆中劣弧长

7、，已知该球的半径为，则球心O到平面的距离为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意可得，从而为直角三角形，即的中心在斜边中点处，在由勾股定理计算可得；【详解】解：因为劣弧长，球的半径为，所以所以因为所以为直角三角形，故的中心在斜边中点处，所以面所以故选：D【点睛】本题考查点到面的距离的计算，属于基础题.11.已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意找到点的坐标，表示出，即可转化为关于的齐次方程，结合离心率的公式即可求解.【详解】不妨设代入双曲线方程得 ，.故答案选：C【点睛】

8、本题主要考查双曲线的离心率求解，属于基础题.12.已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】构造新函数，利用导数求得函数的单调性，根据函数的奇偶性的定义求得函数奇偶性，结合性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，设函数，则，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，则，所以为偶函数，由，即，可得，故A正确；由，即，即，故B不正确；由，即，即，故C正确；由，即，即，故D正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数是解答

9、的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，则向量与的夹角为_【答案】【解析】【分析】本题首先可根据以及计算出、以及的值，然后通过即可计算出结果.【详解】令向量与的夹角为，因为，所以，所以，向量与的夹角为，故答案为：.【点睛】本题考查向量的夹角的计算，主要考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量的模的计算以及数量积的坐标表示，考查计算能力，是简单题.14.若实数，满足约束条件，则的最大值是_【答案】16【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数

10、得答案【详解】解：由，满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为16故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题15.的展开式的常数项是_【答案】3【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】的展开式的常数项为.故答案为：3【点睛】本题主要考查了二项式展开式通项公式，需熟记公式，属于基础题.16.七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是_（用数字作答）【答案】14

11、4【解析】【分析】优先安排男同事甲在星期日轮值有1种，再安排其余3位男同事作全排列有，最后安排女同事插在三个男同事中有，最后根据分步用乘法的原理得：.【详解】解：第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种，第二步：其余3位男同事作全排列有，第三步：因为三位女同事任何两位的安排不能连在一起，所以后3位女同事插空安排有，分步完成共有方法种数为：.故答案为：144.【点睛】本题主要考查分步计数原理与排列，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.锐角的内角、的对边分别为、，已

12、知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求【答案】（1）；（2）7.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，结合为锐角可得角的大小.（2）结合（1）的结果，由面积可得，利用余弦定理可求的大小.【详解】（1） 由题设及正弦定理得： 因为，所以，又，因此.（2）的面积为，. 又， 由余弦定理得：，.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 另外三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道三个独立的条件后可确定该三角形的几何量，求解未知的几何量时注意配凑.18.甲、乙两名同学参加一项射击游

13、戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响.（1）求p的值；（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X，求X的分布列和均值.【答案】（1）；（2）分布列见解析；均值为.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）由已知X的取值分别为0，2，4，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求出分布列，再利用均值的公式即可求解.【详解】解：（1）设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”

14、为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，.则，.依题意得，.解得，故p的值为.（2）由已知X的取值分别为0，2，4，且，.，.，.，.X的分布列为X024P.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19.如图，四面体中，是边长为2的正三角形，是直角三角形，.（1）证明：平面平面；（2）若过的平面交的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得，进而得，取的中点，连接，.易得和，从而得平面，即可得到平面平面.（2）根据（1）可建立空间直接坐标系，用空间向量求二面角的余弦

15、值即可.【详解】解：（1）由题设易知：，从而又是直角三角形，所以且取的中点，连接，则且，又由于是正三角形，故且又.又因为，平面，平面，又平面所以平面平面；.（2）由题设及（1）知，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故设是平面DAE的法向量，则即，可取.设是平面AEC的法向量，则即，可取.则，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明和二面角的余弦值的求法，考查学生对定理的掌握程度与计算能力，属于中档题.20.已知椭圆：的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点， 过左焦点且斜率为的直线与椭圆交于C，D两点若，求的值【答案】

16、（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程.（2）根据题意写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，利用，结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程组求得的取值范围.【详解】(1)依题意.所以椭圆的方程为 (2)设点，由（1）得，所以直线的方程为，由方程组消去，整理得.可得，因为，所以 由已知得，解得【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数，其中.（1）试讨论的单调区间，（2）若时，存在x使得不等式成立，求b的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；

17、（2）.【解析】【分析】（1）求出函数定义域以及导函数，讨论的取值，求出单调递增区间，求出单调递减区间即可. （2）由（1）知当时，的单调增区间为，减区间为，从而可得恒成立，令=，利用导数求出，只需即可.【详解】解：（1）由已知得函数的定义域为=.当时，在定义域内恒成立，的单调增区间为，.当时，由得当时，；.当时，.的单调增区间为，减区间为.（2）由（1）知当时，的单调增区间为，减区间为.所以所以恒成立，当时取等号.令=，则当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减所以，所以，存在使得不等式成立只需即：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒能成立问题，考查了分类讨论

18、的思想，考查了考生的综合分析能力，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.已知圆的极坐标方程为，直线l的参数方程为（为参数）.（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的线段的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式，将左右同乘以，即得解；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，求解出，利用参数方程的几何意义，结合韦达定理，即得解【详解】（1）由可得 圆C的直角坐标方程为 即（2）直线的参数方程（t为参数）代入化简得， 据t的几何意义得： 【点睛】本题考查了参数方程和

19、极坐标综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.（2）利用基本不等式求出的最小值，令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|，只需g(x)max即可求解.【详解】(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上所述，不等式的解集为.(2) (mn)11，当且仅当时取等号， 令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|，所以当x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0a .故实数a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.