高中新教材数学人教A版（2019）课件 选择性必修第一册 第一章 1-4-1 第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系.ppt

1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.能用向量语言描述点、直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.4.能用向量方法证明有关直线、平面之间的平行关系,体会向量方法在研究几何问题中的应用.5.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习 新知导学一、空间中点、直线的向量表示【问题思考】1.我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,阅读教材第26页,回答下列两个问题:(1)如何用向量表示空间中的一个点?提示:在空间中,取一定点O

2、作为基点,空间中的任意一点P就可以用向量来表示.(2)如图,点A是直线l上的一个点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,P是直线l上的任意一点,那么点P在直线l上的充要条件是什么?2.填空:3.做一做:若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)答案:A 二、空间中平面的向量表示【问题思考】1.如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面,这两条直线的方向向量分别为a和b,P为平面内任意一点,那么点P在平面内的充要条件是什么?2.填空:(2)平面的法向量:如图,直线l,取直线l的方向向量

3、a,我们称向量a为平面的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合P|a =0.3.做一做:已知平面内一点A(2,-1,2),的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点在平面内的是()答案:B 三、空间中直线、平面的平行【问题思考】1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面,的法向量分别为n1,n2,且l1.试根据直线的方向向量、平面的法向量的定义回答下列问题:(1)如何用u1,u2表示l1l2?提示:l1l2u1u2.(2)如何用u1,n1表示l1?提示:l1u1n1.(3)如何用n1,n2表示?提示:n1n2.2.填

4、表:3.做一做:(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向量,若l1l2,则()(2)已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面的法向量为n=(2,4,1),且l,则l与的位置关系是.解析:(1)l1l2,ab.存在R,使得a=b,则有2=3,4=x,5=y,(2)因为vn=2-4+2=0,所以vn.又l,所以l.答案:(1)D(2)l【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)一个平面的法向量都是同向的.()(2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.()(3)直线的方向向量与平面的法向量平

5、行时,直线与平面平行.()(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三易错辨析探究一求平面的法向量【例1】已知四边形ABCD是直角梯形,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.求:(1)平面ABCD的一个法向量;(2)平面SAB的一个法向量;(3)平面SCD的一个法向量.分析:先建系,求平面法向量的两种思路:一是找平面的垂线;二是待定系数法设出法向量,利用法向量与平面内的两条不共线的向量垂直,计算出平面的一个法向量.探究一探究二探究三易错辨析解:由题意知AD,AB,AS两两垂直.以A

6、为原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,(2)ADAB,ADSA,且ABSA=A,AD平面SAB,探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下:(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给x,y,z中的一

7、个变量赋予一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:(1)平面BDD1B1的一个法向量;(2)平面BDEF的一个法向量.探究一探究二探究三易错辨析解:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).(1)连接AC,因为AC平面BDD1B1,取x=2,则y=-2,z=-1.所以,n=(2,-2,-1)

8、为平面BDEF的一个法向量.探究一探究二探究三易错辨析探究二利用空间向量证明线线平行【例2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.分析:转化为证明直线的方向向量平行.探究一探究二探究三易错辨析又FAE,FEC1,AEFC1,EC1AF.四边形AEC1F是平行四边形.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.两直线平行两直线的方向向量共线;2.两直线的方向向量共线两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必须指出两直线不重合.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】在长方体ABCD-A1B1C1D1

9、中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EFAC1.探究一探究二探究三易错辨析证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设DA=a,DC=b,DD1=c,探究一探究二探究三易错辨析探究三利用空间向量证明线面、面面平行【例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.分析:(1)设向量n1为平面ADE的法向量,要让FC1平面ADE,需证明n1.(2)设向量n2为平面B1C1F的法向量,要让平

10、面ADE平面B1C1F,需证明n1n2.探究一探究二探究三易错辨析证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),探究一探究二探究三易错辨析(2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,取y2=-1,则z2=2.所以,n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一个法向量.因为n1=n2,所以平面ADE平面B1C1F.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可

11、用平面内的一组基底表示.方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.方法三:先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,再证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.利用空间向量证明面面平行,求出两平面的法向量,若两法向量是共线向量,则可判定两平面平行.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,AA1的中点,求证:GD1平面EFC.探究一探究二探究三易错辨析(提示:此题还有其他两种证明方法:建立空间直角坐标系,求出平面EFC的法向量n,证明n;连接GB与BD1,证明平面GBD1平面

12、EFC.)探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】忽视直线与平面平行的条件致误【典例】已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面的一个法向量为v=(-2,1,-4),则直线l与平面的位置关系为.错解:uv=(2,0,-1)(-2,1,-4)=-4+0+4=0,uv.l,即直线与平面平行.答案:l探究一探究二探究三易错辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本题错误在于对直线与平面平行的条件理解不清,混淆了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.正解:uv=(2,0,-1)(-2,1,-4)=-4+0+4=0,uv.l或l,即直线与平面平行或在平面内.答

13、案:l或l防范措施 1.在用向量方法判断直线与平面的平行关系时,必须考虑直线是否在平面内.2.若向量a与平面的法向量垂直,则以a为方向向量的直线有可能与平面平行,也有可能在平面内.探究一探究二探究三易错辨析解析:A,B,C均能推出l或l,但不能确定一定是l.答案:D随堂练习1.给出下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,且以向量a为方向向量的直线在平面内,则an=0;若向量n1,n2均为平面的法向量,则n1n2.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:正确;中由,得n1n2.答案:C2.已知点A(

14、0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内,若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y2等于()A.0B.1C.2D.无意义答案:B 3.若平面,的法向量分别为(2x,1,3),(1,-2y,9),且,则x=,y=.解析:l,l的方向向量与的法向量垂直.答案:-8 5.如图,在多面体中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB平面DEG.证明:EF平面AEB,AE平面AEB,BE平面AEB,EFAE,EFBE.又AEEB,EB,EF,EA两两垂直.以E为原点,EB,EF,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知,得E(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),又AB平面DEG,所以AB平面DEG.