《创新设计》2017届高考数学（理）二轮复习（江苏专用）习题：专题一　函数与导数、不等式 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！第 1 讲 函数、函数与方程及函数的应用 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是 B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是 B 级；(3)函数与方程是 B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点，要求是 B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.真 题 感 悟1.(2016江苏卷)

2、函数 y 32xx2的定义域是_.解析 要使函数有意义，需且仅需 32xx20，解得3x1.故函数定义域为3，1.答案 3，12.(2016江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1)上，f(x)xa，1x0，25x，0 x1，其中 aR.若 f52 f92，则 f(5a)的值是_.解析 由已知 f52 f522 f12 12a，f92 f924 f12 2512 110.又f52 f92，则12a 110，a35，f(5a)f(3)f(34)f(1)13525.答案 25高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！3.(2014江苏卷)已知 f(

3、x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)x22x12.若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_.解析 作出函数 yf(x)在3，4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)12，观察图象可得 0a12.答案 0，124.(2015江苏卷)已知函数 f(x)|ln x|，g(x)0，0 x1，|x24|2，x1，则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_.解析 令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)ln x，0 x1，x2ln x2，1x2，x2ln x6，x2，当 1x2 时，

4、h(x)2x1x12x2x0，故当 1x2 时 h(x)单调递减，在同一坐标系中画出 y|h(x)|和 y1 的图象如图所示.由图象可知|f(x)g(x)|1 的实根个数为 4.答案 4考 点 整 合1.函数的性质(1)单调性()用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！()常见判定方法：定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；图象法；复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；导数法.(2)奇偶性：若 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(x)；若 f(x)是奇函数，0 在其定义

5、域内，则 f(0)0；奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有若 yf(x)对 xR，f(xa)f(xa)或 f(x2a)f(x)(a0)恒成立，则 yf(x)是周期为 2a 的周期函数；若 yf(x)是偶函数，其图象又关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数；若 yf(x)是奇函数，其图象又关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数；若 f(xa)f(x)或f（xa）1f（x），则 yf(x)是周期为 2|a|的周期函数.2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作

6、函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.3.求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.4.函数的零点问题(1)函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.5.

7、应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）建模（数学语言）求解（数学应用）反馈（检验作答）与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！热点一 函数性质的应用【例 1】(1)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为_(从小到大排序).(2)(20

8、16全国卷改编)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 yx1x与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1m(xiyi)_.解析(1)由 f(x)2|xm|1 是偶函数可知 m0，所以 f(x)2|x|1.所以 af(log0.53)2|log0.53|12log2312，bf(log25)2|log25|12log2514，cf(0)2|0|10，所以 cab.(2)由题设得12(f(x)f(x)1，点(x，f(x)与点(x，f(x)关于点(0，1)对称，则 yf(x)的图象关于点(0，1)对称.又 yx1x 11x，x0 的图象也关

9、于点(0，1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.则i1miixyi1mix+i1miy=0m22m.答案(1)cab(2)m探究提高(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).【训练 1】(1)(2015全国卷)若函数 f(x)xln(xax2)为偶函数，则 a_.(2)(2016四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x0.若|f(x)|ax，则实数 a 的取值范围是_.(2)(2015全国卷改

10、编)设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)0，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)函数 y|f(x)|的图象如图.yax 为过原点的一条直线，当 a0 时，与 y|f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意；当 a0时成立；当 a0 时，找与 y|x22x|(x0)相切的情况，即 y2x2，切线方程为 y(2x02)(xx0)，由分析可知 x00，所以 a2，综上，a2，0.(2)设 g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由题知存在唯一的整数 x0，使得 g(x0)ax0a，因为 g(x)ex(2x1)，可知 g(x)在，12 上单调递减

11、，在12，上单调递增，作出 g(x)与 h(x)的大致图象如图所示，故h（0）g（0），h（1）g（1），高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！即a1，2a3e，所以 32ea1.答案(1)2，0(2)32e，1探究提高(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练 2】(2016苏、锡、常、镇调研)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(2)0，则不等式f（x）f（x）x0，在(，2)和(0，2)上 f(x)0 时，由f

12、（x）f（x）x0，可得 f(x)f(x)2f(x)0，结合图象可知(0，2)符合；当x0 时，由f（x）f（x）x0，结合图象可知(2，0)符合.答案(2，0)(0，2)热点三 函数与方程问题微题型 1 函数零点个数的求解【例 31】(2016南京、盐城模拟)函数 f(x)4cos2x2cos2 x 2sin x|ln(x1)|的零点个数为_.解析 f(x)4cos2x2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x2cos2x21|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令 f(x)0，得 sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出两个函数ysin 2x 与函数 y|ln(x

13、1)|的大致图象如图所示.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点.答案 2探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.微题型 2 由函数的零点(或方程的根)求参数【例 32】(1)(2016南京三模)设函数 f(x)x1ex，xa，x1，xa，g(x)f(x)b.若存在实数 b，使得函数 g(x)恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为_.(2)已知函数

14、 f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函数 g(x)bf(2x)，其中 bR，若函数 yf(x)g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是_.解析(1)当 f(x)x1ex 时，f(x)2xex，由 f(x)0 得 x2，且当 x2 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x2 时，f(x)0，f(x)单调递减，则当 x2 时，f(x)有极大值 f(2)1e2.当x11e2时，x11e2.结合图象可得当存在实数 b 使得 g(x)f(x)b 恰有 3 个零点时，11e2a2.(2)函数 yf(x)g(x)恰有 4 个零点，即方程 f(x)g(x)0，即 bf(x)f(2x)有 4 个不

15、同实数根，即直线 yb 与函数 yf(x)f(2x)的图象有 4 个不同的交点，又 yf(x)f(2x)x2x2，x0，2，0 x2，x25x8，x2，作出该函数的图象如图所示，由图可知，当74b2 时，直线 yb 与函数 yf(x)f(2x)的图象有 4 个不同的交点，故函数 yf(x)g(x)恰有 4 个零点时，b 的取值范围是74，2.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！答案(1)11e2，2 (2)74，2探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化

16、为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练 3】(2016泰州调研)设函数 f(x)x23x3aex(a 为非零实数)，若 f(x)有且仅有一个零点，则 a 的取值范围为_.解析 令 f(x)0，可得x23x3exa，令 g(x)x23x3ex，则 g(x)（2x3）exex（x23x3）（ex）2x（x1）ex，令 g(x)0，可得 x(1，0)，令 g(x)0，可得 x(，1)(0，)，所以 g(x)在(1，0)上单调递增，在(，1)和(0，)上单调递减.由题意知函数 yg(x)的图象与直线 ya有且仅有一个交点，结合 yg(x)及 ya 的图象可得 a(0，e)(3，

17、).答案(0，e)(3，)热点四 函数的实际应用问题【例 4】(2016江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 OO1 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍.(1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？解(1)V136226224312(m3).(2)设 PO1x，则 O1B1 62x2，B1C1 2 62x2，S 正方形 A1B1C1D12(62x2).又由题意可得下面正四棱

18、柱的高为 4x，则仓库容积 V13x2(62x2)2(62x2)4x高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！263 x(36x2).由 V0 得 x2 3或 x2 3(舍去).由实际意义知 V 在 x2 3(m)时取到最大值，故当 PO12 3(m)时，仓库容积最大.探究提高(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练 4】(2016南京学情调研

19、)某市对城市路网进行改造，拟在原有 a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建 x 个标段和 n 个道路交叉口，其中 n 与 x 满足 nax5.已知新建一个标段的造价为 m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的 k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价 y(万元)与 x 的函数关系式；(2)设 P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的 20%，且 k3.问：P 能否大于 120，说明理由.解(1)依题意得 ymknmk(ax5)，xN*.(2)法一 依题意 x0.2a，所以 Pmxy xk（ax5）0.2ak（0.2

20、a25）ak（a225）a3（a225）13a25a132a25a 130 120.P 不可能大于 120.法二 依题意 x0.2a，所以 Pmxy xk（ax5）0.2ak（0.2a25）ak（a225）.假设 P 120，则 ka220a25k0.因为 k3，所以 100(4k2)0，不等式 ka220a25k0 无解，假设不成立.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！P 不可能大于 120.1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数 f(x)1xln x的定义域时，只考虑 x0，忽视 ln x0 的限制.2.如果一个奇函数 f(x)在原点处有意义

21、，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、填空题1.(2016南通调研)函数 f(x)ln x1x的定义域为_.解析 要使函数 f(x)ln x 1x有意义，则x0，1x0，解得 0

22、 x1，即函数定义域是(0，1.答案(0，12.(2011江苏卷)函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是_.解析 函数 f(x)的定义域为12，令 t2x1(t0).因为 ylog5t 在 t(0，)上为增函数，t2x1 在12，上为增函数，所以函数 ylog5(2x1)的单调增区间为12，.答案 12，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！3.(2016苏州调研)函数 f(x)2x，x0，x21，x0的值域为_.解析 当 x0 时，y2x(0，1；当 x0 时，yx21(，1).综上，该函数的值域为(，1.答案(，14.(2016江苏卷)定义在区间0，3上的函

23、数 ysin 2x 的图象与 ycos x 的图象的交点个数是_.解析 在区间0，3上分别作出 ysin 2x 和 ycos x 的简图如下：由图象可得两图象有 7 个交点.答案 75.(2012江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1上，f(x)ax1，1x0，bx2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f12 f32，则 a3b 的值为_.解析 因为函数 f(x)是周期为 2 的函数，所以 f(1)f(1)a1b22，又 f12f32 f12 12b23212a1，联立列成方程组解得 a2，b4，所以 a3b21210.答案 106.已知函数 f(x)x3x，对

24、任意的 m2，2，f(mx2)f(x)0，f(x)在 R 上为增函数.又 f(x)为奇函数，由 f(mx2)f(x)0 知，f(mx2)f(x).mx2x，即 mxx20，令 g(m)mxx2，由 m2，2知 g(m)0 恒成立，可得高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！g（2）x20，g（2）3x20，2x23.答案 2，237.已知函数 f(x)xx，x0，f（x1），x0，其中x表示不超过 x 的最大整数.若直线 yk(x1)(k0)与函数 yf(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数 k 的取值范围是_.解析 根据x表示的意义可知，当 0 x1 时，f(x)x，当

25、 1x2 时，f(x)x1，当 2x3 时，f(x)x2，以此类推，当 kxk1 时，f(x)xk，kZ，当1x0 时，f(x)x1，作出函数 f(x)的图象如图，直线 yk(x1)过点(1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故 k14，13.答案 14，138.(2016北京海淀区二模)设函数 f(x)2xa，x1，4（xa）（x2a），x1.(1)若 a1，则 f(x)的最小值为_；(2)若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)当 a1 时，f(x)2x1，x1，4（x1）（x2），

26、x1.当 x1 时，f(x)2x1(1，1)，当 x1 时，f(x)4(x23x2)4x32214 1，f(x)min1.(2)由于 f(x)恰有 2 个零点，分两种情况讨论：当 f(x)2xa，x1 没有零点时，a2 或 a0.当 a2 时，f(x)4(xa)(x2a)，x1 时，有 2 个零点；当 a0 时，f(x)4(xa)(x2a)，x1 时无零点.因此 a2 满足题意.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！当 f(x)2xa，x1 有一个零点时，0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1 有一个零点，此时 a1,2a1，因此12a1.综上知实数 a 的取值范围

27、是a|12a0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令 y0，得 kx 120(1k2)x20，由实际意义和题设条件知 x0，k0，故 x 20k1k2 20k1k202 10，当且仅当 k1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米.(2)因为 a0，所以炮弹可击中目标存在 k0，使 3.2ka 120(1k2)a2 成立关于 k 的

28、方程 a2k220aka2640 有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标.11.(2016苏北四市调研)如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东 45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线 C.为方便游客观光，拟过曲线 C 上某点 P 分别修建与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM，PN，且 PM，PN 的造价分别为 5 万元/百米、40 万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，则曲线C 符合函数模型 yx4 2x2(1x9)，设 PMx，修建两条道路 PM，PN 的总造价为 f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.

29、(1)求 f(x)的解析式；高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价.解(1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为 yx4 2x2(1x9)，PMx，所以点 P 坐标为x，x4 2x2，直线 OB 的方程为 xy0，则点 P 到直线 xy0 的距离为xx4 2x224 2x22 4x2，又 PM 的造价为 5 万元/百米，PN 的造价为 40 万元/百米.则两条道路总造价为 f(x)5x40 4x25x32x2(1x9).(2)因为 f(x)5x32x2，所以 f(x)5164x3 5（x364）x

30、3，令 f(x)0，解得 x4，列表如下：x(1，4)4(4，9)f(x)0f(x)极小值所以当 x4 时，函数 f(x)有最小值，且最小值为 f(4)543242 30，即当 x4 时，总造价最低，最低造价为 30 万元.(注：利用三次均值不等式得 f(x)5x32x2 5x2x232x2 533 830，当且仅当 x4 时，等号成立，同样正确.)第 2 讲 不等式问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是 C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是

31、A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是 C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！的重要应用.真 题 感 悟1.(2015江苏卷)不等式 2x2x4 的解集为_.解析 2x2x422，x2x2，即 x2x20，解得1x2.答案 x|1x22.(2014江苏卷)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0成立，则实数 m 的取值范围是_.解析 二次函数 f(x)对于任意 xm，m1，

32、都有 f(x)0 成立，则有f（m）m2m210，f（m1）（m1）2m（m1）10，解得 22 m0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_.(2)(2012江苏卷)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_.解析(1)由已知得 f(0)0，当 x0 时，f(x)f(x)x24x，因此 f(x)x24x，x0 x24x，xx 等价于x0，x24xx或xx，解得：x5 或5x0.(2)由题意知 f(x)x2axbxa22ba24.f(x)的值域为0，)，ba24 0，即 ba24.

33、f(x)xa22.由 f(x)c，得a2 cxa2 c，又 f(x)c 的解集为(m，m6)，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！a2 cm，a2 cm6，得 2 c6，c9.答案(1)(5，0)(5，)(2)9探究提高 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.【训练 1】已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为xx12，则 f(10 x)0的解集为_.解析 依题意知 f(x)0 的解为1x12，故 010 x1

34、2，解得 xlg12lg 2.答案 x|xlg 2热点二 利用基本不等式求最值微题型 1 基本不等式的简单应用【例 21】(1)(2016南师附中模拟)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为_.(2)已知正项等比数列an满足 a7a62a5，若存在两项 am，an 使得 aman4a1，则1m4n的最小值为_.解析(1)由已知得 zx23xy4y2，(*)则xyz xyx23xy4y21xy4yx 31，当且仅当 x2y 时取等号，把 x2y 代入(*)式，得 z2y2，所以2x1y2z1y1y1y21y1211.所以当 y1 时，2

35、x1y2z的最大值为 1.(2)设等比数列an的公比为 q(q0)，a7a62a5，a5q2a5q2a5，q2q20，解得 q2 或 q1(舍去).高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！aman a12m1a12n14a1，平方得 2mn21624，mn6，1m4n 161m4n(mn)165nm4mn 16(54)32，当且仅当nm4mn，即 n2m，亦即 m2，n4 时取等号.答案(1)1(2)32探究提高 在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.微题型 2 基本不等式在实际问

36、题中的应用【例 22】(2016南通调研)如图，在 C 城周边已有两条公路 l1，l2在点 O 处交汇.已知 OC(2 6)km，AOB75，AOC45，现规划在公路 l1，l2 上分别选择 A，B 两处为交汇点(异于点 O)直接修建一条公路通过 C 城.设 OAx km，OBy km.(1)求 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点 A，B 的位置，使OAB 的面积最小.解(1)因为AOC 的面积与BOC 的面积之和等于AOB 的面积，所以12x(26)sin 4512y(2 6)sin 3012xysin 75，即 22 x(2 6)12y(2 6)6 24xy，所以

37、y2 2xx2(x2).(2)AOB 的面积 S12xysin 75 6 28xy 312 x2x2 312(x24x24)31284(31).当且仅当 x4 时取等号，此时 y4 2.故 OA4 km，OB4 2 km 时，OAB 面积的最小值为 4(31)km2.探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.【训练 2】(1)已知向量 a(3，2)，b(x，y1)

38、，且 ab，若 x，y 均为正数，则3x2y的最小值是_.(2)若直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为4，则1a1b的最小值是_.解析(1)ab，3(y1)2x0，即 2x3y3.x0，y0，3x2y3x2y 13(2x3y)13669yx 4xy 13(1226)8.当且仅当 3y2x 时取等号.(2)易知圆 x2y22x4y10 的半径为 2，圆心为(1，2)，因为直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，所以直线 2axby20(a0，b0)过圆心，把圆心坐标代入得 ab1，所以1a1b1a1b(ab)2baab

39、4，当且仅当baab，ab1，即 ab12时等号成立.答案(1)8(2)4热点三 含参不等式恒成立问题微题型 1 分离参数法解决恒成立问题【例 31】(1)关于 x 的不等式 x4x1a22a0 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围为_.(2)已知 x0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)设 f(x)x4x，因为 x0，所以 f(x)x4x2x4x4.又关于 x 的不等式 x4x1a22a0 对 x(0，)恒成立，所以 a22a14，解得1高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！a3，所以实数 a 的

40、取值范围为(1，3).(2)要使(xy)2a(xy)10 恒成立，则有(xy)21a(xy)，即 a(xy)1xy恒成立.由 xy3xy，得 xy3xyxy22，即(xy)24(xy)120，解得 xy6 或 xy2(舍去).设 txy，则 t6，(xy)1xyt1t.设 f(t)t1t，则在 t6 时，f(t)单调递增，所以 f(t)t1t的最小值为 616376，所以 a376，即实数 a 的取值范围是，376.答案(1)(1，3)(2)，376探究提高 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立a

41、f(x)min.微题型 2 函数法解决恒成立问题【例 32】(1)已知 f(x)x22ax2，当 x1，)时，f(x)a 恒成立，则 a 的取值范围为_.(2)已知二次函数 f(x)ax2x1 对 x0，2恒有 f(x)0.则实数 a 的取值范围为_.解析(1)法一 f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为 xa，当 a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a3a，解得3a1；当 a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由 2a2a，解得2a1.1a1.综上所述，所求 a 的取值范围

42、为3，1.法二 设 g(x)f(x)a，则 g(x)x22ax2a0 在1，)上恒成立，即 4a24(2a)0 或0，a1，g（1）0，解得3，1.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(2)法一 函数法.若 a0，则对称轴 x 12a0，故 f(x)在0，2上为增函数，且 f(0)1，因此在 x0，2上恒有 f(x)0 成立.若 a0，则应有 f(2)0，即 4a30，a34.34a0.综上所述，a 的取值范围是34，0(0，).法二 分离参数法.当 x0 时，f(x)10 成立.当 x0 时，ax2x10 变为 a1x21x，令 g(x)1x21x1x12.当1x1

43、2时，g(x)，34.a1x21x，a34.又a0，a 的取值范围是34，0(0，).答案(1)3，1(2)34，0(0，)探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练 3】(1)若不等式 x2ax10 对于一切 a2，2恒成立，则 x 的取值范围是_.(2)已知不等式 2x115|a2a|对于 x2，6恒成立，则 a 的取值范围是_.解析(1)因为 a2，2，可把原式看作关于 a 的一次函数，即 g(a)xax210，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！由题

44、意可知g（2）x22x10，g（2）x22x10，解之得 xR.(2)设 y 2x1，y2（x1）20，故 y 2x1在 x2，6上单调递减，即 ymin 26125，故不等式 2x115|a2a|对于 x2，6恒成立等价于 15|a2a|25恒成立，化简得a2a20，a2a20，解得1a2，故 a 的取值范围是1，2.答案(1)R(2)1，2热点四 简单的线性规划问题【例 4】(1)(2016北京卷改编)若 x，y 满足2xy0，xy3，x0，则 2xy 的最大值为_.(2)(2016苏北四市调研)设实数 n6，若不等式 2xm(2x)n80 对任意x4，2都成立，则m4n4m3n 的最小值

45、为_.解析(1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令 z2xy，则 y2xz，作直线 2xy0 并平移，当直线过点A 时，截距最大，即 z 取得最大值，由2xy0，xy3，得x1，y2，所以 A 点坐标为(1，2)，可得 2xy 的最大值为 2124.(2)因为不等式 2xm(2x)n80 即为(2mn)x82n，对任意 x4，2都成立，所以2（2mn）82n，4（2mn）82n，所以 m，n 满足的不等式组为 m2，4m3n40，n6，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以点(m，n)对应的平面区域如图，nm的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以n

46、m127，3，而目标函数m4n4m3n mnnm3，令nmt127，3，则目标函数即为 y1tt3，其导数 y1t23t20，所以函数 y1tt3 在 t127，3上递减，故 t3 时取得最小值803.答案(1)4(2)803探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【训练 4】(2016苏、锡、常、镇调研)已知 x，y 满足yx，yx2，xa，且目标函数z2xy 的最小值为 1，则实数

47、a 的值是_.解析 依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数 z2xy 过点 B(a，a)时，zmin2aa3a；因为目标函数 z2xy的最小值为 1，所以 3a1，解得 a13.答案 131.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！2.基本不等式除了在填空题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”

48、的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、填空题1.(2015苏州调研)已知 f(x)x2x（x0），x2x（x0），

49、则不等式 f(x2x1)12 的解集是_.解析 依题意得，函数 f(x)是 R 上的增函数，且 f(3)12，因此不等式 f(x2x1)12 等价于 x2x13，即 x2x20，由此解得1x2.因此，不等式 f(x2x1)12 的解集是(1，2).答案(1，2)2.若点 A(m，n)在第一象限，且在直线x3y41 上，则 mn 的最大值是_.解析 因为点 A(m，n)在第一象限，且在直线x3y41 上，所以 m，n0，且m3n41，所以m3n42342mn当且仅当m3n412，即m32，n2时，取“”，所以m3n412214，即 mn3，所以 mn 的最大值为 3.答案 33.(2016苏北四

50、市模拟)已知函数 f(x)x22x，x0，x22x，x0，若 f(a)f(a)2f(1)，则高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！实数 a 的取值范围是_.解析 f(a)f(a)2f(1)a0，（a）22（a）a22a23或 a0，（a）22（a）a22a23 即a0，a22a30或a0，a22a30，解得 0a1，或1a0.故1a1.答案 1，14.已知函数 f(x)log3x，x0，13x，x0，那么不等式 f(x)1 的解集为_.解析 当 x0 时，由 log3x1 可得 x3，当 x0 时，由13x1 可得 x0，不等式 f(x)1 的解集为(，03，).答案(

51、，03，)5.(2016南京、盐城模拟)若 x，y 满足不等式组x2y20，xy10，3xy60，则 x2y2的最小值是_.解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，x2y2表示原点(0，0)到此区域内的点 P(x，y)的距离.显然该距离的最小值为原点到直线 x2y20 的距离.故最小值为|002|1222 2 55.答案 2 556.已知当 x0 时，2x2mx10 恒成立，则 m 的取值范围为_.解析 由 2x2mx10，得 mx2x21，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！因为 x0，所以 m2x21x2x1x.而 2x1x（2x）1（x）2（2x）1（x

52、）2 2.当且仅当2x1x，即 x 22 时取等号，所以 m2 2.答案(2 2，)7.设目标函数 zxy，其中实数 x，y 满足x2y0，xy0，0yk.若 z 的最大值为 12，则z 的最小值为_.解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线 xy0，显然当直线过点 A(k，k)时，目标函数 zxy 取得最大值，且最大值为 kk12，则 k6，直线过点 B 时目标函数 zxy 取得最小值，点 B 为直线 x2y0 与 y6 的交点，即 B(12，6)，所以 zmin1266.答案 68.(2016泰州调研)已知 x0，y0，且2x1y1，若 x2ym22m 恒成立，则实数 m 的

53、取值范围为_.解析 记 tx2y，由不等式恒成立可得 m22mtmin.因为2x1y1，所以 tx2y(x2y)2x1y 44yx xy.而 x0，y0，所以4yx xy24yx xy4(当且仅当4yx xy，即 x2y 时取等号).所以 t44yx xy448，即 tmin8.故 m22m8，即(m2)(m4)0.解得4m2.答案(4，2)高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！二、解答题9.(2015苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30米

54、，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为(弧度).(1)求 关于 x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y 关于 x的函数关系式，并求出 x 为何值时，y 取得最大值？解(1)设扇环的圆心角为，则 30(10 x)2(10 x)，所以 102x10 x(0 x10).(2)花坛的面积为12(102x2)(5x)(10 x)x25x50(0 x10).装饰总费用为 9(10 x)8(10 x)17010 x，所以花坛的面积与装

55、饰总费用的比 yx25x5017010 x x25x5010（17x），令 t17x，则 y3910 110t324t 310，当且仅当 t18 时取等号，此时 x1，1211.答：当 x1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数 f(x)2xx26.(1)若 f(x)k 的解集为x|x3，或 x2，求 k 的值；(2)对任意 x0，f(x)t 恒成立，求 t 的取值范围.解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或 x2是其解集，得 kx22x6k0 的两根是3，2.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！由根与系数的关系可知(2)(3)2k，即

56、k25.(2)因为 x0，f(x)2xx26 2x6x 22 6 66，当且仅当 x 6时取等号.由已知f(x)t 对任意 x0 恒成立，故 t 66，即 t 的取值范围是66，.11.(1)解关于 x 的不等式 x22mxm10；(2)解关于 x 的不等式 ax2(2a1)x20.解(1)原不等式对应方程的判别式(2m)24(m1)4(m2m1).当 m2m10，即 m1 52或 m1 52时，由于方程 x22mxm10的两根是 m m2m1，所以原不等式的解集是x|xm m2m1，或 xm m2m1；当 0，即 m1 52时，不等式的解集为x|xR，且 xm；当 0，即1 52m1 52时

57、，不等式的解集为 R.综上，当 m1 52或 m1 52时，不等式的解集为x|xm m2m1，或xmm2m1；当 m1 52时，不等式的解集为x|xR，且 xm；当1 52m1 52时，不等式的解集为 R.(2)原不等式可化为(ax1)(x2)0.当 a0 时，原不等式可以化为 a(x2)x1a 0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x2)x1a 0.因为方程(x2)x1a 0 的两个根分别是 2，1a，所以当 0a12时，21a，则原不等式的解集是x|2x1a；当 a12时，原不等式的解集是；当 a12时，1a2，则原不等式的解集是x1ax2.当 a0 时，原不等式为(x2)0，解得 x2

58、，即原不等式的解集是x|x2.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！当 a0 时，原不等式可以化为 a(x2)x1a 0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x2)x1a 0，由于1a2，故原不等式的解集是xx1a或x2.综上，当 a0 时不等式解集为(2，)；当 0a12时，不等式解集为2，1a；当 a12时，不等式解集为；当 a12时，不等式解集为1a，2；当 a0 时，不等式解集为，1a(2，).第 3 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是 B 级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公

59、式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是 B 级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.真 题 感 悟(2016无锡高三期末)已知函数 f(x)ln xae2x(a0).(1)当 a2 时，求出函数 f(x)的单调区间；(2)若不等式 f(x)a 对于 x0 的一切值恒成立，求实数 a 的取值范围.解(1)由题意知函数 f(x)的定义域为(0，).当 a2 时，函数 f(x)ln xex，所以 f(x)1x ex2xex2，所以当 x(0，e)时，f(x)0，函数 f(x)在(0，e)上单调递减；当 x(e，)时，

60、f(x)0，函数 f(x)在(e，)上单调递增.(2)由题意知 ln xae2xa 恒成立.等价于 xln xae2ax0 在(0，)上恒成立.令 g(x)xln xae2ax，则 g(x)ln x1a，令 g(x)0，得 xea1.列表如下：高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！x(0，ea1)ea1(ea1，)g(x)0g(x)极小值所以 g(x)的最小值为 g(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1，令 t(x)xe2ex1(x0)，则 t(x)1ex1，令 t(x)0，得 x1.列表如下：x(0，1)1(1，)t(x)0t(x)极大值所以当 a(0，1

61、)时，g(x)的最小值为 t(a)t(0)e21ee（e2）1e0，符合题意；当 a1，)时，g(x)的最小值为 t(a)ae2ea10t(2)，所以 a1，2.综上所述，a(0，2.考 点 整 合1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数 yf(x)在某个区间内可导，如果 f(x)0，则yf(x)在该区间为增函数；如果 f(x)0，则 yf(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2.极值的判别方法当函数 f(x)在点 x0 处连续时，如果在 x0

62、附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值.也就是说 x0 是极值点的充分条件是点 x0 两侧导数异号，而不是 f(x)0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极

63、小值中的最小者.热点一 利用导数研究函数的单调性微题型 1 求解含参函数的单调区间【例 11】(2016南通调研)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数.(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性.解(1)由题意知 a0 时，f(x)x1x1，x(0，).此时 f(x)2（x1）2.可得 f(1)12，又 f(1)0，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10.(2)函数 f(x)的定义域为(0，).f(x)ax2（x1）2ax2（2a2）xax（x1）2.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，

64、)上单调递增.当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12（x1）2x（x1）2 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减.当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减.当12a0 时，0.设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1（a1）2a1a，x2（a1）2a1a.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！由于 x1a1 2a1a a22a1 2a1a0，所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(

65、x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当12a0 时，f(x)在0，（a1）2a1a，（a1）2a1a，上单调递减，在（a1）2a1a，（a1）2a1a上单调递增.探究提高 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，常需依据以下标准分类讨论：(1)二次项系数为 0、为正、为负，目的是讨论开口方向；(2)判别式的正负，目的是讨论对应二次方

66、程是否有解；(3)讨论两根差的正负，目的是比较根的大小；(4)讨论两根与定义域的关系，目的是根是否在定义域内.另外，需优先判断能否利用因式分解法求出根.微题型 2 已知函数的单调区间求参数范围【例 12】已知 aR，函数 f(x)(x2ax)ex(xR，e 为自然对数的底数).(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)在(1，1)上单调递增，求 a 的取值范围；(3)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数？若是，求出 a 的取值范围？若不是，请说明理由.解(1)当 a2 时，f(x)(x22x)ex，所以 f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令

67、 f(x)0，即(x22)ex0，因为 ex0，所以x220，解得 2x 2.所以函数 f(x)的单调递增区间是 2，2.(2)因为函数 f(x)在(1，1)上单调递增，所以 f(x)0 对 x(1，1)都成立.因为高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0 对 x(1，1)都成立.因为 ex0，所以x2(a2)xa0 对 x(1，1)都成立，即 ax22xx1（x1）21x1(x1)1x1对 x(1，1)都成立.令 g(x)(x1)1x1，则 g(x)11（x1）20.所以 g(x)(x

68、1)1x1在(1，1)上单调递增.所以 g(x)g(1)(11)11132.所以 a 的取值范围是32，.(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减，则 f(x)0 对 xR 都成立，即x2(a2)xaex0 对 xR 都成立.因为 ex0，所以 x2(a2)xa0 对 xR 都成立.所以(a2)24a0，即 a240，这是不可能的.故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减.若函数 f(x)在 R 上单调递增，则 f(x)0 对 xR 都成立，即x2(a2)xaex0 对 xR 都成立，因为 ex0，所以 x2(a2)xa0 对 xR 都成立.而(a2)24aa240，故函数 f(x)不可能在

69、R 上单调递增.综上，可知函数 f(x)不可能是 R 上的单调函数.探究提高(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是 f(x)不恒等于 0 的参数的范围.(2)可导函数 f(x)在某个区间 D 内单调递增(或递减)，转化为恒成立问题时，常忽视等号这一条件，导致与正确的解法擦肩而过，注意，这里“”一定不能省略.【训练 1】(2016苏北四市调研)已知函数 f(x)(ax2x)ln x12ax2x(aR).(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切

70、线方程(e2.718)；(2)求函数 f(x)的单调区间.解(1)当 a0 时，f(x)xxln x，f(x)ln x，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 f(e)0，f(e)1.所以曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为 yxe，即 xye0.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)(ax2x)1x(2ax1)ln xax1(2ax1)ln x.当 a0 时，2ax10，若 x(0，1)，则 f(x)0，若 x(1，)，则 f(x)0，所以函数 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减.当 0a12时，若 x(0，1)或 x12a

71、，则 f(x)0，若 x1，12a，则 f(x)0，所以函数 f(x)在(0，1)，12a，上单调递增，在1，12a 上单调递减.当 a12时，f(x)0 且仅 f(1)0，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增.当 a12时，若 x0，12a 或 x(1，)，则 f(x)0，若 x12a，1，则 f(x)0，所以函数 f(x)在0，12a，(1，)上单调递增，在12a，1 上单调递减.综上，当 a0 时，函数 f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当 0a12时，函数 f(x)的增区间为(0，1)，12a，减区间为1，12a.当 a12时，函数 f(x)的增区间为(0，)；当 a1

72、2时，函数 f(x)的增区间为0，12a，(1，)，减区间为12a，1.热点二 利用导数研究函数的极值【例 2】(2016苏、锡、常、镇调研)设函数 f(x)x2exk(x2ln x)(k 为实常数，e2.718 28是自然对数的底数).高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(1)当 k1 时，求函数 f(x)的最小值；(2)若函数 f(x)在(0，4)内存在三个极值点，求 k 的取值范围.解(1)当 k1 时，函数 f(x)exx2(x2ln x)(x0)，则 f(x)（x2）（exx2）x3(x0).当 x0 时，exx2，理由如下：要使当 x0 时，exx2，只需

73、使 x2ln x，设(x)x2ln x，则(x)12xx2x，所以当 0 x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0，所以(x)x2ln x 在 x2 处取得最小值(2)22ln 20，所以当 x0 时，x2ln x，所以 exx20，所以当 0 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，即函数 f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以 f(x)在 x2 处取得最小值 f(2)e2422ln 2.(2)因为 f(x)（x2）（exkx2）x3（x2）exx2kx，当 k0 时，exx2k0，所以 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)单调递增，不存在三个极值点，所

74、以 k0.令 g(x)exx2，得 g(x)ex（x2）x3，则 g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在 x2 处取得最小值为g(2)e24，且 g(4)e416，于是可得 yk 与 g(x)exx2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是 ke24，e416.设 yk 与 g(x)exx2在(0，4)内的两个不同交点的横坐标分别为 x1，x2，且 0 x12x24，导函数 f(x)及原函数 f(x)的变化情况如下：高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！x(0，x1)x1(x1，2)2(2，x2)x2(x2，4)4x202exx2k0e24k0e416k

75、f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以 f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增，在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，所以 f(x)在(0，4)上存在三个极值点.即函数 f(x)在(0，4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是e24，e416.探究提高 极值点的个数，一般是使 f(x)0 方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究.【训练 2】设函数 f(x)ax32x2xc.(1)当 a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若 f(x)在 R 上无极值点，求 a 的

76、取值范围.解 由题得 f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0，1)，有 f(0)c1.当 a1 时，f(x)3x24x1.令 f(x)0，解得 x13或 x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数在，13 和1，)上单调递增，在13，1 上单调递减，极小值是f(1)13212111.(2)若 f(x)在 R 上无极值点，则 f(x)在 R 上是单调函数，即 f(x)0 或 f(x)0 恒成立.当 a0 时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a 0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即 1612a0，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究

77、！解得 a43.综上，a 的取值范围为43，.热点三 利用导数研究函数的最值【例 3】(2015南京、盐城模拟)设函数 f(x)x3kx2x(kR).(1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k0 时，(x2)exx20；(2)证明：当 a0，1)时，函数 g(x)exaxax2(x0)有最小值.设 g(x)的最小值为h(a)，求函数 h(a)的值域.(1)解 f(x)的定义域为(，2)(2，).f(x)（x1）（x2）ex（x2）ex（x2）2x2ex（x2）20，且仅当 x0 时，f(x)0，所以 f(x)在(，2)，(2，)单调递增.因此当 x(0，)时，f(x)f(0)

78、1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)证明 g(x)（x2）exa（x2）x3x2x3(f(x)a).由(1)知 f(x)a 单调递增，对任意 a0，1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一 xa(0，2，使得 f(xa)a0，即 g(xa)0.当 0 xxa 时，f(x)a0，g(x)xa 时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！因此 g(x)在 xxa 处取得最小值，最小值为 g(xa)exaa（xa1）xaexaf（xa）（xa1）x2a exaxa2.于是 h(a)exaxa2，由e

79、xx2（x1）ex（x2）2 0，exx2单调递增.所以，由 xa(0，2，得12 e0020)，讨论 h(x)零点的个数.解(1)设曲线 yf(x)与 x 轴相切于点(x0，0)，则 f(x0)0，f(x0)0.即x30ax0140，3x20a0，解得 x012，a34.因此，当 a34时，x 轴为曲线 yf(x)的切线.(2)当 x(1，)时，g(x)ln x0，从而 h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故 h(x)在(1，)上无零点.当 x1 时，若 a54，则 f(1)a540，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故 x1 是 h(x)的零点；若 a54，则 f(1)0

80、，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑 f(x)在(0，1)的零点个数.()若 a3 或 a0，则 f(x)3x2a 在(0，1)上无零点，故 f(x)在(0，1)上单调.而 f(0)14，f(1)a54，所以当 a3 时，f(x)在(0，1)内有一个零点；当 a0时，f(x)在(0，1)上没有零点.()若3a0，即34a0，f(x)在(0，1)无零点；高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！若 fa3 0，即 a34，则 f(x)在(0，1)有唯一零点；若 fa3 0，即3a34，由于 f(0)14，f(1)a54，所以当54a34时，f(x)在(0

81、，1)有两个零点；当334或 a54时，h(x)有一个零点；当 a34或 a54时，h(x)有两个零点；当54a2；a0，b2；a1，b2.解析 令 f(x)x3axb，f(x)3x2a，当 a0 时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当 a0 时，由于选项当中 a3，只考虑 a3 这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使 f(x)0 仅有一个实根，则需 f(x)极大0，b2，正确，所有正确条件为.答案 二、解答题9.(2016扬州质检)已知函数 f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当 a2 时，

82、求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(x)f(x)axm 在1e，e 上有两个零点，求实数 m 的取值范围.解(1)当 a2 时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率 kf(1)2，则切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！则 g(x)2x2x2（x1）（x1）x.因为 x1e，e，所以当 g(x)0 时，x1.当1ex1 时，g(x)0，此时函数单调递增；当 1xe 时，g(x)0，此时函数单调递减.故 g(x)在 x1 处取得极大

83、值 g(1)m1.又 g1e m21e2，g(e)m2e2，g(e)g1e 4e21e20，则 g(e)g1e，所以 g(x)在1e，e 上的最小值是 g(e).g(x)在1e，e 上有两个零点的条件是g（1）m10，g1e m21e20，解得 1m21e2，所以实数 m 的取值范围是1，21e2.10.(2015江苏高考命题原创卷)已知函数 f(x)x2aln x1，函数 F(x)x1x1.(1)如果函数 f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数 a 的取值范围；(2)当 a2 时，你认为函数 yf（x）x1 的图象与 yF(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.解(1)f(

84、x)x2aln x1 的定义域为(0，)，函数 f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，f(x)2xax0 在(0，)上恒成立.a2x2 在(0，)上恒成立，y2x20 在(0，)上恒成立，a0.所求的 a 的取值范围为(，0.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(2)当 a2 时，函数 yf（x）x1 的图象与 yF(x)的图象没有公共点.证明如下：当 a2 时，yf（x）x1 x22ln x1x1，它的定义域为x|x0 且 x1，F(x)的定义域为0，).当 x0 且 x1 时，由f（x）x1 F(x)得 x22ln xx2 x20.设 h(x)x22ln

85、xx2 x2，则 h(x)2x2x1 1x（x1）（2x x2x x2）x.当 0 x1 时，h(x)0，此时，h(x)单调递减；当 x1 时，h(x)0，此时，h(x)单调递增.当 x0 且 x1 时，h(x)h(1)0，即 h(x)0 无实数根.当 a2，x0 且 x1 时，f（x）x1 F(x)无实数根.当 a2 时，函数 yf（x）x1 的图象与 yF(x)的图象没有公共点.11.(2016全国卷)已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2 有两个零点.(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1，x2 是 f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当 x(，1)时，f(x)0，所以f(x)

86、在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b0 且 ba2(b2)a(b1)2ab232b 0，故 f(x)存在两个零点.设 a0，因此 f(x)在(1，)上单调递增.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点.若 a1，故当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，因此 f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增.又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点.综上，a 的取值范围为(0，).(2)证明 不妨设 x1x2.由(1)知 x1(

87、，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以 x1x2f(2x2)，即 f(2x2)1 时，g(x)1 时，g(x)0，从而 g(x2)f(2x2)0，故 x1x22.第 5 讲 导数与实际应用及不等式问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是 B 级；(2)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高.作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题、利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.真 题 感 悟(2014江苏卷)已知函数 f(x)exe

88、x，其中 e 是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是 R 上的偶函数；(2)若关于 x 的不等式 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围；(3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，则 t1，所以 m t1t2t11t1 1t11对任意 t1 成立.因为 t1 1t112（t1）1t113，所以1t1 1t1113，当且仅当 t2，即 xln 2 时等号成立.因此实数 m 的取值范围是(，13.(3)解 令函数 g(x)ex1exa(x33x)，则 g(x)ex1ex3a(x21).当 x1 时，ex1ex0，x210，又 a0，故 g(x)0.

89、所以 g(x)是1，)上的单调增函数，因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1)ee12a.由于存在 x01，)，使 ex0ex0a(x303x0)0 成立，当且仅当最小值g(1)0.故 ee12aee12.令函数 h(x)x(e1)ln x1，则 h(x)1e1x.令 h(x)0，得 xe1，当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调增函数.所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1).注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0.当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.高考资源网（）您身边的高考专家

90、 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立.当 aee12，e(1，e)时，h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1.综上所述，当 aee12，e 时，ea1ae1.考 点 整 合1.解决函数的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域，其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实

91、际问题作出解答.2.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina 即可；f(x)a 恒成立，只需 f(x)maxa 即可.(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解.3.常见构造辅助函数的四种方法(1)直接构造法：证明不等式 f(x)g(x)(f(x)g(x)的问题转化为证明 f(x)g(x)0(f(x)g(

92、x)0)，进而构造辅助函数 h(x)f(x)g(x).(2)构造“形似”函数：稍作变形后构造.对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造 f(x)和 g(x)，利用其最值求解.4.不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)g(x)对一切 xa，b恒成立a，b是

93、 f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xa，b).(2)f(x)g(x)对 xa，b能成立a，b与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xa，b).(3)对x1，x2a，b使得 f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1a，b，x2a，b使得 f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.热点一 导数在实际问题中的应用【例 1】(2015江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路

94、为 l，如图所示，M，N 为C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l2，l1 所在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 yax2b(其中 a，b 为常数)模型.(1)求 a，b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.解(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代

95、入 yax2b，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！得a25b40，a400b2.5，解得a1 000，b0.(2)由(1)知，y1 000 x2(5x20)，则点 P 的坐标为t，1 000t2，设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 点，y2 000 x3，则 l 的方程为 y1 000t22 000t3(xt)，由此得 A3t2，0，B0，3 000t2.故 f(t)3t223 000t2232t24106t4，t5，20.设 g(t)t24106t4，则 g(t)2t16106t5.令 g(t)0，解得 t10 2.当 t(5，10 2)时，g

96、(t)0，g(t)是减函数；当 t(10 2，20)时，g(t)0，g(t)是增函数.从而，当 t10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min300，此时 f(t)min15 3.答：当 t10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米.探究提高 在利用导数求实际问题中的最大值和最小值时，不仅要注意函数模型中的定义域，还要注意实际问题的意义，不符合的解要舍去.【训练 1】某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为 x(单位：元，x0)时，销售量 q(x)(单位：百台)与 x的关系满足：若 x 不超过 20，则 q(x)

97、1 260 x1；若 x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20 x180 时，q(x)ab x(a，b 为实常数).(1)求函数 q(x)的表达式；(2)当 x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！解(1)当 20 x180 时，由ab2060，ab1800，得a90，b3 5.故 q(x)1 260 x1，0 x20，903 5 x，20 x180，0，x180.(2)设总利润 f(x)xq(x)，由(1)得 f(x)126 000 xx1，0 x20，9 000 x300 5x x，20 x180，0，

98、x180，当 0 x20 时，f(x)126 000 xx1126 000126 000 x1，又 f(x)在(0，20上单调递增，所以当 x20 时，f(x)有最大值 120 000.当 20 x180 时，f(x)9 000 x300 5x x，f(x)9 000450 5 x，令 f(x)0，得 x80.当 20 x180 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 80 x180 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当 x80 时，f(x)有最大 240 000.当 x180 时，f(x)0.综上，当 x80 时，总利润取得最大值 240 000 元.热点二 导数与不等式问题微题型 1 利

99、用导数证明不等式【例 21】设函数 f(x)aexln xbex1x，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ye(x1)2.(1)求 a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解 函数 f(x)的定义域为(0，)，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！f(x)aexln xaxexbx2ex1bxex1.由题意可得 f(1)2，f(1)e.故 a1，b2.(2)证明 由(1)知，f(x)exln x2xex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex2e.设函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x.所以当 x0，1e 时，g(x)0；当 x1e，时，g

100、(x)0.故 g(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g1e 1e.设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x).所以当 x(0，1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0.故 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而 h(x)在(0，)上的最大值为 h(1)1e.综上，当 x0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1.探究提高(1)证明 f(x)g(x)或 f(x)g(x)，可通过构造函数 h(x)f(x)g(x)，将上述不等式转化为求证 h(x)0 或 h(x)0，从而利用求 h(x)的最小值或最大值来证明不等

101、式.或者，利用 f(x)ming(x)max 或 f(x)maxg(x)min 来证明不等式.(2)在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明.微题型 2 利用导数解决不等式恒成立问题【例 22】(1)已知函数 f(x)ax1ln x，aR.讨论函数 f(x)的单调区间；若函数 f(x)在 x1 处取得极值，对x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(2)设 f(x)xln xx1，若对x1，)，f(x)m(x1)恒成立，求 m 的取值范围.解(1)在区间(

102、0，)上，f(x)a1xax1x，当 a0 时，f(x)0 恒成立，f(x)在区间(0，)上单调递减；当 a0 时，令 f(x)0 得 x1a，在区间0，1a 上，f(x)0，函数 f(x)单调递减，在区间1a，上，f(x)0，函数 f(x)单调递增.综上所述：当 a0 时，f(x)的单调递减区间是(0，)，无单调递增区间；当 a0 时，f(x)的单调递减区间是0，1a，单调递增区间是1a，.因为函数 f(x)在 x1 处取得极值，所以 f(1)0，解得 a1，经检验可知满足题意.由已知 f(x)bx2，即 x1ln xbx2，即 11xln xx b 对x(0，)恒成立，令 g(x)11xl

103、n xx，则 g(x)1x21ln xx2ln x2x2，易得 g(x)在(0，e2上单调递减，在e2，)上单调递增，所以 g(x)ming(e2)11e2，即 b11e2.所以 b 的取值范围为，11e2.(2)f(x)xln xx1，x1，)，f(x)m(x1)，即 ln xmx1x.设 g(x)ln xmx1x，即x1，)，g(x)0 恒成立，等价于函数 g(x)在1，)上的最大值 g(x)max0.g(x)1xm11x2 mx2xmx2.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！若 m0，g(x)0，g(x)在1，)上单调递增，即 g(x)g(1)0，这与要求的 g

104、(x)0 矛盾.若 m0，方程mx2xm0 的判别式 14m2.当 0，即 m12时，g(x)0.所以 g(x)在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)0，即不等式成立；当 0m12时，方程mx2xm0 的两根分别为 x11 14m22m1，x21 14m22m1.当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(1)0，与要求矛盾.综上所述，m12.探究提高(1)利用最值法解决恒成立问题的基本思路是：先找到准确范围，再说明“此范围之外”不适合题意(着眼于“恒”字，寻找反例即可).(2)对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等

105、式，另一端是一个区间上具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.微题型 3 利用导数解决不等式能成立问题【例 23】(2015南京、盐城模拟)已知函数 f(x)x(a1)ln xax(aR)，g(x)12x2exxex.(1)当 x1，e时，求 f(x)的最小值；(2)当 a1 时，若存在 x1e，e2，使得对任意的 x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求 a 的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)（x1）（xa）x2.若 a1，当 x1，e时，f(x)0，则 f(x)在1，e上为增函数，f(x

106、)minf(1)1a.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！若 1ae，当 x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；当 xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数.所以 f(x)minf(a)a(a1)ln a1.若 ae，当 x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)e(a1)ae.综上，当 a1 时，f(x)min1a；当 1ae 时，f(x)mina(a1)ln a1；当 ae 时，f(x)mine(a1)ae.(2)由题意知：f(x)(xe，e2)的最小值小于 g(x)(x2，0)的最小值.由(1)知 f(x)在e，e2上单调递增

107、，f(x)minf(e)e(a1)ae.g(x)(1ex)x.当 x2，0时，g(x)0，g(x)为减函数，g(x)ming(0)1，所以 e(a1)ae1，即 ae22ee1，所以 a 的取值范围为e22ee1，1.探究提高 存在性问题和恒成立问题的区别与联系 存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系：若 g(x)m 恒成立，则 g(x)maxm；若 g(x)m 恒成立，则 g(x)minm；若 g(x)m 有解，则 g(x)minm；若 g(x)m 有解，则 g(x)maxm.【训练 2】(2016四川卷)设函数 f(x)ax2aln x，其中 aR.(1)讨论 f(x)的单调

108、性；(2)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)1xe1x 在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数).解(1)f(x)2ax1x2ax21x(x0).高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0，有 x 12a.此时，当 x0，12a 时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)令 g(x)1x 1ex1，s(x)ex1x.则 s(x)ex11.而当 x1 时，s(x)0，所以 s(x)在区间(1，)内单调递增.又由 s(1)0，有 s(x)0，从而当 x1 时，g(x)0.当 a0，x1 时，f(x)a(x21)ln

109、xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有 a0.当 0a1.由(1)有 f12a 0，所以此时 f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立.当 a12时，令 h(x)f(x)g(x)(x1).当 x1 时，h(x)2ax1x1x2e1xx1x1x21xx32x1x2x22x1x20.因此，h(x)在区间(1，)单调递增.又因为 h(1)0，所以当 x1 时，h(x)f(x)g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立.综上，a12，.1.不等式恒成立、能成立问题常用解法有：(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如 af(x)max

110、 或 af(x)min.(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(3)数形结合.2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数 h(x).(3)利用导数研究 h(x)的单调性或最值.(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.3.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.一、填空题1.设 f(x)是定义在 R 上的奇

111、函数，当 x0 时，f(x)0，且 f(0)0，f12 0，则不等式 f(x)0 的解集为_.解析 如图所示，根据图象得不等式 f(x)0 的解集为，12 0，12.答案，12 0，122.若不等式 2xln xx2ax3 恒成立，则实数 a 的取值范围为_.解析 条件可转化为 a2ln xx3x恒成立.设 f(x)2ln xx3x，则 f(x)（x3）（x1）x2(x0).当 x(0，1)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(1，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，所以 f(x)minf(1)4.所以 a4.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！答案(

112、，43.若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立，则 a 的取值范围是_.解析 2x(xa)1，ax12x.令 f(x)x 12x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a 的取值范围为(1，).答案(1，)4.(2015全国卷改编)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0 时，xf(x)f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_.解析 令 F(x)f（x）x，因为 f(x)为奇函数，所以 F(x)为偶函数，由于 F(x)xf（x）f（x）x2，当 x0 时，xf(x)f(x)0，所以 F(x)f（x）x在

113、(0，)上单调递减，根据对称性，F(x)f（x）x在(，0)上单调递增，又 f(1)0，f(1)0，数形结合可知，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0，1).答案(，1)(0，1)5.已知不等式 exxax 的解集为 P，若0，2P，则实数 a 的取值范围是_.解析 由题意知不等式 exxax 在 x0，2上恒成立.当 x0 时，显然对任意实数 a，该不等式都成立.当 x(0，2时，原不等式即 aexx1，令 g(x)exx1，则 g(x)ex（x1）x2，当 0 x1 时，g(x)0，g(x)单调递减，当 1x2 时，g(x)0，g(x)单调递增，高考资源网（）您身边的高考

114、专家 高考资源网版权所有，侵权必究！故 g(x)在(0，2上的最小值为 g(1)e1，故 a 的取值范围为(，e1).答案(，e1)6.设函数 f(x)3sin xm.若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x20f(x0)2m2，则 m 的取值范围是_.解析 f(x)3sin xm 的极值为 3，即f(x0)23.又|x0|m|2，x20f(x0)2m24 3，m24 3m2，解得 m2 或 m2.答案(，2)(2，)7.已知函数 f(x)ln xa，若 f(x)x2 在(1，)上恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解析 函数 f(x)ln xa，且 f(x)x2 在(1，)上恒成立，aln

115、xx2，x(1，).令 h(x)ln xx2，有 h(x)1x2x.x1，1x2x0，h(x)在(1，)上为减函数，当 x(1，)时，h(x)h(1)1，a1.答案 1，)8.(2015南师附中调研)已知函数 f(x)13x3x23x43，直线 l：9x2yc0，若当 x2，2时，函数 yf(x)的图象恒在直线 l 下方，则 c 的取值范围是_.解析 根据题意知13x3x23x4392xc2在 x2，2上恒成立，则c213x3x232x43，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！设 g(x)13x3x232x43，则 g(x)x22x32，则 g(x)0 恒成立，所以

116、g(x)在2，2上单调递增，所以g(x)maxg(2)3，则 c6.答案(，6)二、解答题9.(2016南通调研)已知函数 f(x)x2ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明：x1，x2(，0，f(x1)f(x2)4e2.(1)解 f(x)x(x2)ex.令 f(x)x(x2)ex0，则 x12，x20.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(，2)2(2，0)0(0，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数 f(x)的单调递减区间为(2，0)，单调递增区间为(，2)，(0，).(2)证明 由(1)知 f(x)的单调递增区间为(，2)，单调递减区间为(2，0)，所以当

117、x(，0时，f(x)最大值f(2)4e2.因为当 x(，2时，f(x)0，f(0)0，所以当 x(，0时，f(x)最小值f(0)0.所以 f(x)最大值f(x)最小值4e2.所以对x1，x2(，0，都有 f(x1)f(x2)f(x)最大值f(x)最小值4e2.10.如图，现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛，以正方形高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！的中心为圆心建一个半径为15x2 m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不

118、小于 10 m.(1)求 x 的取值范围；(运算中 2取 1.4)(2)若中间草地的造价为 a 元/m2，四个花坛的造价为 433ax 元/m2，其余区域的造价为12a11 元/m2，当 x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得x9，1002x60，100 22x215x2210，解得x9，x20，20 x15，即 9x15.所以 x 的取值范围是9，15.(2)记“环岛”的整体造价为 y 元，则由题意得ya15x2 2 433axx212a11 10415x2 2x2 a11 125x443x312x2 12104，令 f(x)125x443x312x2，则 f(x)425

119、x34x224x4x125x2x6.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！由 f(x)0 解得 x0(舍去)或 x10 或 x15，列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f(x)00f(x)极小值所以当 x10 时，y 取最小值.故当 x10 时，可使“环岛”的整体造价最低.11.(2016苏北四市调研)已知函数 f(x)ln xx2ax(a 为常数).(1)若 x1 是函数 f(x)的一个极值点，求 a 的值；(2)当 0a2 时，试判断 f(x)的单调性；(3)若对任意的 a(1，2)，x01，2，不等式 f(x0)mln a 恒成立，求实数 m 的取值范

120、围.解 f(x)1x2xa.(1)由已知得：f(1)0，所以 12a0，所以 a3.(2)当 0a2 时，f(x)1x2xa2x2ax1x2xa421a28x.因为 0a2，所以 1a28 0，而 x0，即 f(x)2x2ax1x0，故 f(x)在(0，)上是增函数.(3)当 a(1，2)时，由(2)知，f(x)在1，2上的最小值为 f(1)1a，故问题等价于：对任意的 a(1，2)，不等式 1amln a 恒成立，即 m1aln a 恒成立.记 g(a)1aln a(1a2)，则 g(a)aln a1aa（ln a）2.令 M(a)aln a1a，则 M(a)ln a0，所以 M(a)在(1，2)上单调递减，所以 M(a)M(1)0，故 g(a)0，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 g(a)1aln a 在 a(1，2)上单调递减，所以 mg(2)1 2ln 2log2e，即实数 m 的取值范围为(，log2e.