广西桂林市、崇左市、贺州市2020届高三下学期高考模拟数学（理）试题 WORD版含解析.doc

1、2020年高考（理科）数学模拟试卷一、选择题（共12小题）.1i是虚数单位，复数z1i在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（X2）0.3，P（X0）（）A0.2B0.3C0.7D0.83已知集合Ax|x1，Bx|ex1，则（）AABx|x1 BABx|xeCABx|x1 DABx|0x14已知满足sin，那么值为（）ABCD5设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6函数的值域为（）ABC0，1D7在区间1

2、，1上随机取一个数k，使直线yk（x+3）与圆x2+y21相交的概率为（）ABCD8很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图若输入n的值为10，则输出i的值为（）A5B6C7D89设mln2，nlg2，则（）Amnmnm+nBmnm+nmnCm+nmnmnDm+nmnmn10过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率

3、为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为（）AB2C2D311在一个数列中，如果nN*，都有anan+1an+2k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1+a2+a2020（）A4711B4712C4713D471512已知函数f（x）lnx，g（x）（2m+3）x+n，若x（0，+）总有f（x）g（x）恒成立，记（2m+3）n的最小值为F（m，n），则F（m，n）的最大值为（）A1BCD二、填空题：共4小题，每小题5分.13已知向量（2，6），（3，m），若|+

4、|，则m 14某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为 15点P在双曲线1（a0，b0）的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为 16某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组如果2人一组，则必须角色相

5、同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）1.4720.60.782.350.8119.316.2表中（1）根据散点图判断，ya+bx与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归

6、方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），（un，vn），其回归直线v+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为18ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b4c，B2C（）求cosB（）若c5，点D为边BC上一点，且BD6，求ADC的面积19底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体若DADHDB4，AECG3（1）求证：EGDF；（2）求二面角AHFC的正弦值20已知椭圆，与

7、x轴负半轴交于A（2，0），离心率（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：ykx+m与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，连接AM，AN并延长交直线x4于E（x3，y3），F（x4，y4）两点，若，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标21设函数（1）若恒成立，求整数k的最大值；（2）求证：（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n3请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin24

8、cos（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若过点F（1，0）的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x1|+1，（1）解不等式f（x）2x+3；（2）若方程F（x）a有三个解，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i是虚数单位，复数z1i在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由已知求得z的坐标得答案解：复数z1i在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限故选：D2已知随机变量X服从正态分布N（1，

9、4），P（X2）0.3，P（X0）（）A0.2B0.3C0.7D0.8【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合对称性求解解：随机变量X服从正态分布N（1，4），正态分布曲线的对称轴为X1，2，又P（X2）0.3，P（X0）P（X2）0.3，故选：B3已知集合Ax|x1，Bx|ex1，则（）AABx|x1BABx|xeCABx|x1DABx|0x1【分析】可以求出集合B，然后进行交集和并集的运算即可解：Ax|x1，Bx|x0，ABx|x0，ABx|x1故选：C4已知满足sin，那么值为（）ABCD【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值解：sin，那么（cos

10、sin）（cos+sin）sin2cos2（12sin2）（12），故选：C5设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论解：bm，当，则由面面垂直的性质可得ab成立，若ab，则不一定成立，故“”是“ab”的充分不必要条件，故选：A6函数的值域为（）ABC0，1D【分析】由0x，可得2x+，利用正弦函数的单调性即可得出解：0x，2x+，ysin（2x+）故选：A7在区间1，1上随机取一个数k，使直线yk（x+3）与圆x

11、2+y21相交的概率为（）ABCD【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求解：圆x2+y21的圆心为（0，0）圆心到直线yk（x+3）的距离为要使直线yk（x+3）与圆x2+y21相交，则1，解得k在区间1，1上随机取一个数k，使yk（x+3）与圆x2+y21相交的概率为故选：C8很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是

12、偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图若输入n的值为10，则输出i的值为（）A5B6C7D8【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：模拟程序的运行，可得i0n10不满足条件n1，满足条件n是偶数，n5，i1不满足条件n1，不满足条件n是偶数，n16，i2不满足条件n1，满足条件n是偶数，n8，i3不满足条件n1，满足条件n是偶数，n4，i4不满足条件n1，满足条件n是偶数，n2，i5不满足条件n1，满足条件n是偶数，n1，i6此时，满足条件n1

13、，退出循环，输出i的值为6故选：B9设mln2，nlg2，则（）Amnmnm+nBmnm+nmnCm+nmnmnDm+nmnmn【分析】利用倒数，作差法，判断即可解：0m1，0n1，mn，故mnmn，所以，故m+nmn，由m+nmn故m+nmnmn，故选：D10过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为（）AB2C2D3【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y（x1），过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直

14、线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）可得N（1，2），NF的方程为：y（x1），即，则M到直线NF的距离为：2故选：C11在一个数列中，如果nN*，都有anan+1an+2k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1+a2+a2020（）A4711B4712C4713D4715【分析】anan+1an+2k（k为常数），且a11，a22，公积为8，可得anan+1an+28，a11，a22，可得其周期性，进而得出数列的和解：anan+1an+2k（k为常数），且a11，a22，公积为8，anan+1

15、an+28，a11，a22，12a38，解得a34，24a48，a41，同理可得：a52，a64an+3an则a1+a2+a2020a1+（1+2+4）6734712故选：B12已知函数f（x）lnx，g（x）（2m+3）x+n，若x（0，+）总有f（x）g（x）恒成立，记（2m+3）n的最小值为F（m，n），则F（m，n）的最大值为（）A1BCD【分析】由题意可得lnx（2m+3）xn0在x（0，+）恒成立，设h（x）lnx（2m+3）xn，只要h（x）的最大值不大于0求出h（x）的导数和单调区间，讨论2m+3的符号，可得最小值f（m，n），再令t2m+3（t0），可令k（t）t（lnt1）

16、，求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值解：若对任意的x（0，+），总有f（x）g（x）恒成立，即为lnx（2m+3）xn0在x（0，+）恒成立，设h（x）lnx（2m+3）xn，则h（x）的最大值不大于0由h（x）（2m+3），若2m+30，h（x）0，h（x）在（0，+）递增，h（x）无最大值；若2m+30，则当x时，h（x）0，h（x）在（，+）递减；当0x时，h（x）0，h（x）在（0，）递增可得x处h（x）取得最大值，且为ln（2m+3）1n，则ln（2m+3）1n0，可得nln（2m+3）1，（2m+3）n（2m+3）ln（2m+3）1，可得f（m，n）（2m+3）ln（2m+

17、3）1，令t2m+3（t0），可令k（t）t（lnt1），k（t）lnt11lnt2，当t时，k（t）0，k（t）在（，+）递减；当0t时，k（t）0，k（t）在（0，）递增可得t处h（t）取得极大值，且为最大值（ln1）则f（m，n）最大值为故选：C二、填空题：共4小题，每小题5分.13已知向量（2，6），（3，m），若|+|，则m1【分析】由题意可得0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值解：向量，若，则0，即 236m0，则m1，故答案为：114某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查已知高一被

18、抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为24【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可解：高二年级抽取的人数为：200030人，则高三被抽取的人数90363024，故答案为：2415点P在双曲线1（a0，b0）的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|F1F2|2c，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b2c2a，结合a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线的斜

19、率解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|F1F2|2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|2b，即有|PF1|4b，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，即4b2c2a，即2ba+c，即有4b2（a+c）2，即4（c2a2）（a+c）2，可得ac，bc，即有双曲线的渐近线方程yx，该双曲线的渐近线的斜率为故答案为：16某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团

20、长、旅长、师长、军长和司令游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为9【分析】根据题意，分析可得14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；据此分类讨论新加入学生可以扮演的角色，将其数目相加即可得答案解：根据题意：14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；若新加入的学生是土兵，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；士兵、排长、连长各1名

21、；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令；所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知加入的学生也可以是司令；若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组下：3名士兵；连长、营长、団长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长；所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知加入的学生也可以是军长；若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；所以新加入的学生可以是连长；由对称性可知加入的学生也可以是师长；若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长1名；

22、营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令答1名；2名司令；所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知加入的学生也可以是旅长；若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名团长；所以新加入的学生可以是团长；综上所述：新加入学生可以扮演9种角色；故答案为：9三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）1.4720.60.782.350.81

23、19.316.2表中（1）根据散点图判断，ya+bx与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），（un，vn），其回归直线v+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件解：（1）更适宜作

24、烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型（1分）（2）由公式可得：，所以所求回归方程为（3）设tkx，则煤气用量，当且仅当时取“”，即x2时，煤气用量最小答：x为2时，烧开一壶水最省煤气 18ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b4c，B2C（）求cosB（）若c5，点D为边BC上一点，且BD6，求ADC的面积【分析】（）利用已知条件和三角函数关系式的恒等变换，求出相应的结果（）利用上步的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出结果解：（）由题意B2C，则sinBsin2C2sinCcosC又，所以所以（）因为c5，所以由余弦定理得，b2a2+c22accosB，则，化简得

25、，a26a550，解得a11，或a5（舍去），由BD6得，CD5，由，得所以ADC的面积19底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体若DADHDB4，AECG3（1）求证：EGDF；（2）求二面角AHFC的正弦值【分析】（1）连接AC，证明EGAC推出EGBD，EGBF，证明EG平面BDHF，然后证明EGDF（2）OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，OP3，DH4，求出平面AFH的法向量，平面CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可【解答】（1）证明：连接AC，由可知四边形AEGC为平行四边形，所以EGAC由题意易知ACB

26、D，ACBF，所以EGBD，EGBF，因为BDBFB，所以EG平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EGDF（2）解：设ACBDO，EGHFP，由已知可得：平面ADHE平面BCGF，所以EHFG，同理可得：EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以，从而OP平面ABCD，又OAOB，所以OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，OP3，DH4，由平面几何知识，得BF2则，F（0，2，2），H（0，2，4），所以，设平面AFH的法向量为，由，可得，令y1，则z2，所以同理，平面CFH的一个法向量为设平面AFH与平面CFH所成角为，则，所以

27、20已知椭圆，与x轴负半轴交于A（2，0），离心率（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：ykx+m与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，连接AM，AN并延长交直线x4于E（x3，y3），F（x4，y4）两点，若，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标【分析】（1）利用已知条件求出a、c，得到b，即可求椭圆C的方程；（2）法1：，通过韦达定理，结合kAMkAE推出ykx+mk（x1），说明直线MN恒过定点（1，0）法2：设直线AM的方程为：xt1y2，通过求出同理，得到直线系方程说明直线过定点（1，0）解：（1）由题有a2，c1，b2a2c23椭圆方程为（2）法1：，64k2m24

28、（3+4k2）（4m212）0m212k2+9，又kAMkAE同理又4（y1+y2）x1y2+x2y14（kx1+m+kx2+m）x1（kx2+m）+x2（kx1+m）（4km）（x1+x2）2kx1x2+8m0，mk，此时满足m212k2+9ykx+mk（x1）直线MN恒过定点（1，0）法2：设直线AM的方程为：xt1y2则，y0或，同理，当x34时，由x3t1y32有同理，又，当t1+t20时，t1t24，直线MN的方程为，直线MN恒过定点（1，0）当t1+t20时，此时也过定点（1，0）综上直线MN恒过定点（1，0）21设函数（1）若恒成立，求整数k的最大值；（2）求证：（1+12）（1

29、+23）1+n（n+1）e2n3【分析】（1）根据题意可得k，令h（x），求导得h（x），令g（x）x1ln（x+1），求导得g（x）0对x0恒成立，函数yg（x）在（0，+）上单调递增，因为g（0）10，g（1）0，g（2）0，g（3）0，所以存在x0（2，3）使得g（x0）0，即x01ln（x0+1），当xx0时，有g（x）g（x0）0，h（x）0，所以函数yh（x）在（x0，+）上单调递增，当xx0时，有g（x）g（x0）0，h（x）0，所以函数yh（x）在（0，x0）上单调递减，所以h（x）minh（x0）x0+1（3，4），所以k3，进而可得出结论（2）由（1）可得ln（x+1）22

30、，令xn（n+1），（nN*），则ln1+n（n+1）223（），所以ln（1+12）23（1），ln（1+23）23（），ln1+n（n+1）23（），上述等式全部相加得ln（1+12）（1+23）（1+n（n+1）2n3，因此（1+12）（1+23）（1+n（n+1）e2n3解：（1）由f（x）得k，令h（x），h（x），令g（x）x1ln（x+1），所以g（x）10对x0恒成立，所以函数yg（x）在（0，+）上单调递增，因为g（0）10，g（1）0，g（2）0，g（3）0，故存在x0（2，3）使得g（x0）0，即x01ln（x0+1），从而当xx0时，有g（x）g（x0）0，h（x）0，

31、所以函数yh（x）在（x0，+）上单调递增，当xx0时，有g（x）g（x0）0，h（x）0，所以函数yh（x）在（0，x0）上单调递减，所以h（x）minh（x0）x0+1（3，4），所以k3，因此整数k的最大值为3（2）由（1）知恒成立，所以ln（x+1）22，令xn（n+1），（nN*）则ln1+n（n+1）223（），所以ln（1+12）23（1），ln（1+23）23（），ln1+n（n+1）23（），上述等式全部相加得ln（1+12）+ln（1+23）+ln1+n（n+1）2n3（1）2n3，所以ln（1+12）（1+23）（1+n（n+1）2n3，因此（1+12）（1+23）（1+

32、n（n+1）e2n3请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin24cos（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若过点F（1，0）的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果解：（1）曲线C1的普通方程为，曲线C2的直角坐标方程为y24x；（2）设直线l的参

33、数方程为（t为参数）又直线l与曲线C2：y24x存在两个交点，因此sin0联立直线l与曲线C1：，可得（1+sin2）t2+2tcos10，则：，联立直线l与曲线C2：y24x可得t2sin24tcos40，则，即选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x1|+1，（1）解不等式f（x）2x+3；（2）若方程F（x）a有三个解，求实数a的取值范围【分析】（1）由f（x）|x1|+1为分段函数，可分段讨论当x1时，当x1时，求不等式的解集，（2）方程F（x）a有三个解等价于直线ya与函数yF（x）的图象有三个公共点，先画出yF（x）的图象，再画直线ya观察图象即可解：（1）f（x）|x1|+1，当x1时，解不等式x2x+3得：x1，当x1时，解不等式x+22x+3得：x1，综合得：不等式f（x）2x+3的解集为：，+）（2），即作出函数F（x）的图象如图所示，当直线ya与函数yF（x）的图象有三个公共点时，方程F（x）a有三个解，所以1a3所以实数a的取值范围是（1，3）