山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学（理）人教A版一轮复习导学案 练习：直线与圆锥曲线的综合问题 .doc

1、第三讲直线与圆锥曲线的综合问题一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)1当a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0直线与圆锥曲线相离2当a0，b0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合二、圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x

2、1|y2y1|.基础自测1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交B相切C相离 D不确定【解析】直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交【答案】A2若直线ykx与双曲线1相交，则k的取值范围是()A. B.C. D.【解析】双曲线1的渐近线方程为yx，若直线与双曲线相交，数形结合，得k.【答案】C3已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为_【解析】直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.【答案】164过椭圆

3、1(ab0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_【解析】由题意A点的坐标(a,0)，l的方程为yxa，B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为(，)，代入椭圆方程得a23b2，c22b2，e.【答案】考点一 中点弦、弦长问题例已知F1(1,0)、F2(1,0)，圆F2：(x1)2y21，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且|PF1|，求曲线E的标准方程；(3)在(1)、(2)的条件下，直线l与

4、椭圆E相交于A、B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围【思路点拨】(1)利用两圆外切的性质求曲线C的方程(2)利用|PF1|可求点P的横坐标，进一步求|PF2|的长，再结合椭圆的定义求出椭圆的方程(3)设出直线l的方程，与椭圆方程联立利用根与系数的关系求解或用点差法求解【尝试解答】(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x0)因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，所以|CF2|x1，x1，化简整理得y24x，曲线C的方程为y24x(x0)；(2)依题意，c1，|PF1|，可得xp，|PF2|，又由椭圆定义得2a|PF1|PF2|4，a2.b2a2c23，所以曲线E

5、的标准方程为1；(3)(方法一)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(x0，y0)，设直线l方程为ykxm(k0，m0)，与1联立得(34k2)x28kmx4m2120，由0得4k2m230；由韦达定理得x1x2，x0，y0，将M代入y24x，整理得m，将代入得162k2(34k2)81，令t4k2(t0)，则64t2192t810，0t.k且k0.(方法二)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(x0，y0)，将A，B的坐标代入椭圆方程中，得两式相减得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，y4

6、x0，直线AB的斜率ky0，由(2)知xp，y4xp，yP，由题设y0(y00)，y0，即k(k0)方法与技巧1.在第(2)问方法一中，根据0求t的范围，进而去求k的取值范围，这是求解的关键.2.涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出kAB和x1x2，y1y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想.跟踪练习设抛物线过定点A(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围【解】(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x1，y

7、)再根据抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹C的方程为x21.(2)设弦MN的中点为P(，y0)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆上的点，可知两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN2()1，yMyN2y0，代入上式得k.又点P(，y0)在弦MN的垂直平分线上，所以y0km.所以my0ky0.由点P(，y0)在线段BB上(B、B为直线x与椭圆的交点，如图所示)，所以yBy0yB，也即y0.所以m，且m0.考点二 最值与范围问题例(2013课标全国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于

8、A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【思路点拨】(1)涉及到弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a，b的方程组，解得a，b的值，确立M的方程；(2)将四边形的面积表示出来，可转化为S|AB|h，然后利用函数的知识求最值【尝试解答】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.

9、由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB| ，当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.方法与技巧在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利

10、用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.跟踪练习(2014玉溪模拟)已知定点A(1,0)和定直线x1上的两个动点E、F，满足，动点P满足，(其中O为坐标原点)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若0，求直线l的斜率的取值范围【解】(1)设P(x，y)，E(1，y1)，F(1，y2)(y1、y2均不为0)，由得y1y，即E(1，y)，由得y2，即F，由得0(2，y1)(2，y2)0y1y24y24x(x0)，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)(2)设直线l的方程ykx2(k0)，M，N，联立得消去x得ky24y80，y1y2，

11、y1y2，且1632k0即k.y1y2(yy)y1y211.0，12k0.考点三 定值、定点问题例设M、N为抛物线C：yx2上图881的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|1.(1)求点P的轨迹方程；(2)求证：MNP的面积为一个定值，并求出这个定值【思路点拨】(1)设出M、N的坐标，再求出切线l1，l2的方程，然后求出交点P的坐标，最后利用|AB|1可求得点P的轨迹方程(2)设出直线MN的方程，再与抛物线方程联立，结合根与系数关系表示出弦长|MN|，再求出点P到直线MN的距离，证明MNP的面积为定值【尝试解答】(1)设

12、M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y2mxm2，y2nxn2，则A，B.设P(x，y)，由得因为|AB|1，所以|nm|2，即(mn)24mn4，将代入上式，得yx21.点P的轨迹方程为yx21.(2)证明设直线MN的方程为ykxb(b0)联立方程消去y，得x2kxb0.所以mnk，mnb.点P到直线MN的距离d，|MN|mn|，SMNPd|MN|kmnb|mn|(mn)2|mn|2.即MNP的面积为定值2.方法与技巧1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定

13、值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关跟踪练习在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点【解】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0).