山东省淄博实验中学2019届高三寒假学习效果检测（开学考试）数学（理科）试题 WORD版含解析.doc

1、淄博实验中学高三年级假期学习效果检测试题 数学（理科）第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 AxN|x3，Bx|x2+6x160，则 AB（）A.x|8x2 B.0，1 C.1 D.0，1，2【答案】B【解析】【分析】化简集合 A、B，求出 AB 即可【详解】集合 AxN|x30，1，2，3，Bx|x2+6x160 x|8x2，AB0，1故选 B【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目 2.已知i 为虚数单位，则复数22i+1iz 的模为（）A.2 B.22 C.

2、3 D.2【答案】A【解析】【分析】由复数除法运算法则，求出 z，再由模长公式即可求解【详解】22222(1)2i+21,|1121i1iiziiz .故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算、模长，属于基础题.3.已知向量,a b 的夹角为 23，且3,4,2ab，则 2ab()A.2 3B.2 21C.2D.84 【答案】B【解析】向 量,a b 的 夹 角 为 23，且3,4a，22345a，又2b，2222222444 54 5 2 cos2843abaa bb ，2842 21ab，故选 B.4.下列说法正确的是()A.若命题,pq 均真命题，则命题 pq为真命题 B.“若6，则1s

3、in2”的否命题是“若1sin62，则”C.在 ABC，“2C”是“sincosAB”的充要条件 D.命题:p“2000,50 xR xx”的否定为:p“2,50 xR xx”【答案】D【解析】【分析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可【详解】对于 A：若命题 p，q 均为真命题，则 q 是假命题，所以命题 pq 为假命题，所以A 不正确；对于 B：“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”，所以 B 不正确；对于 C：在ABC 中，“2C”“A+B=2”“A=2-B”sinA=cosB，反之 sinA=cosB，A+B=2，或 A=2+

4、B，“C=2”不一定成立，C=2 是 sinA=cosB 成立的充分不必要条件，所以 C 不正确；对于 D：命题 p：“x0R，x02-x0-50”的否定为p：“xR，x2-x-50”，所以 D 正确 故选 D【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查 5.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A.14 B.64 2 C.86 2 D.84 2【答案】C【解析】根据题意知原图是一个直三棱柱，躺在平面上，上下底面是等腰直角三角形

5、，则表面积由五个面构成，表面积为：12223 222 386 2.2 故答案为 C.6.已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足11f xfx，且当0,1x时，2xf xm，则2019f（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】根据 f（x）是 R 上的奇函数，并且 f（x+1）=f（1-x），便可推出 f（x+4）=f（x），即 f（x）的周期为 4，而由 x0，1时，f（x）=2x-m 及 f（x）是奇函数，即可得出 f（0）=1-m=0，从而求得 m=1，这样便可得出 f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1【详解】fx 是定义在 R 上的奇函数，且11f xfx；(2

6、)()()f xfxf x；(4)()f xf x；fx 的周期为 4；0,1x时，()2xf xm；由奇函数性质可得(0)10fm；1m ；0,1x时，()21xf x ；(2019)(1 505 4)(1)(1)1ffff .故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图，如果输入1a ，2b ，则输出的a 的值为（）A.16B.8C.4D.2【答案】B【解析】试题分析：由题意得，若输入1a ，2b ；则第一次不满足条件6a，则2a；第二次不满足条件6a，则2

7、 24a ；第二次不满足条件6a，则4 28a ；此时满足条件6a，输出8a，故选 B 考点：程序框图 8.为得到函数2sin 36xy的图象，只需把函数2cosyx的图象上所有的点()A.向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 13倍(纵坐标不变)B.向右平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 13倍(纵坐标不变)C.向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)D.向右平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，

8、得出结论【详解】把函数222ycosxsin x（）的图象上所有的点向右平移 3 个单位长度，可得26ysin x（）的图象；再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变，可得函数2sin 36xy的图象，故选 D【点睛】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题 9.已知函数 log31(0af xxa1)a 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线40mxny上，其中0mn，则121mn的最小值为（）A.23 B.43 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】令3 1 x，求出定点(2,1)A，代入直线方程可得24mn，利用基本不等式，即可求解.【详解】函数 lo

9、g31(0af xxa1)a 的图象恒过定点(2,1)A,点 A 在直线40mxny上，24,(1)32nmnm，0mn，12112(1)()1321nmmnmn 12(1)4232(1)3mmnn，当且仅当122,32nmmn时，等号成立.故选:B【点睛】本题考查函数过定点、基本不等式求最值，拼凑积为定值是解题关键，属于基础题.10.如图，正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A-B-CD-，及抛物线2(1)yx 和2(1)yx,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A.23B.13C.16D.12【答案】B【解析】【分析】利用几

10、何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【详解】A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），正方体的 ABCD 的面积 S224，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S210 121x dx2（21x3x3）10|2（113）022433，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是41343 故选 B【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键 11.已知函数84,1()ln,1xe xf xx x，记()()g xf xexa，若()g x 存在 3 个零点，则实数a 的取值范围是（）A

11、.3(2,)2ee B.(2,)ee C.3(,)2 ee D.1(,)2ee【答案】C【解析】【分析】由 g（x）0 得 f（x）ex+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可【详解】由 g（x）0 得 f（x）ex+a，作出函数 f（x）和 yex+a 的图象如图：当直线 yex+a 过 A 12e（，）点时，截距 a=32 e，此时两个函数的图象有 2 个交点，将直线 yex+a 向上平移到过 B（1，0）时，截距 a=-e，两个函数的图象有 2 个交点，在平移过程中直线 yex+a 与函数 f（x）图像有三个交点，即函数 g（x）存在 3 个零点

12、，故实数 a 的取值范围是3,2 ee，故选 C 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 的一条直线与双曲线C 和 y 轴分别交于,A B 两点，若2|OAOF，|3|OBOA，则双曲线C 的离心率为（）A.212 B.312 C.21 D.31 【答案】D【解析】【分析】由条件得到2OF A=3，连接 A1F，在三角形12F F A 中，由余弦定理可得 A13Fc，再由双曲线定义 A12AFF

13、=2a，可得 ca.【详解】2OAOF，得到|233|OBOAOF，2OF A=3，又2OAOFc，连接 A1F，122F Fc，在三角形12F F A 中，由余弦定理可得 A13Fc，又由双曲线定义 A12AFF=2a，可得 32cca，ca=31，故选 D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第 II 卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知实数,x y 满足约束条件222,22xyxyxy 则2zxy的最大值为_【答案】1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数

14、的几何意义，进行求最值即可【详解】由 z=x-2y 得1122yxz，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122yxz，1122yxz，的截距最小，此时 z 最大，由2222xyxy ，得 A（1，0）代入目标函数 z=x-2y，得 z=1-20=1，故答案为 1【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法 14.设数列 na的前n 项和为nS，且11a，123nnaS，则4S _【答案】66【解析】试题解析：依题，与原式作差得，即，可见，数列从第二项起是公比为 3 的等比数列，所以345(1 3)11 3S

15、 66故答案为 66 考点：1数列的求和；2等比数列 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点1,1M的直线l 与圆22125xy相切,且与直线10axy 垂直,则实数a _【答案】12【解析】因为1,1M在圆22125xy上，所以圆心与切点1,1M的连线与切线l 垂直，又知l 与直线与直线10axy 垂直，所以圆心与切点1,1M的连线与直线10axy 斜率相等，1 211(1)2a ，所以12a，故填：12 16.已知 a，bR，e 为自然对数的底数若存在 b3e，e2，使得函数()f x exaxb在1，3上存在零点，则 a 的取值范围为_【答案】2,4ee 【解析】分析：先转化为00

16、 xeaxb存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求 a 的最大值和最小值得解.详解:由题得存在23,bee ，使得函数 xf xeaxb在1,3 上存在零点，所以存在01,3x,使得000()0 xf xeaxb,所以00 xeaxb,令(),xg xe直线 y=ax+b,则两个函数的图像存在一个交点，当直线 y=ax+b 过点（1，e）,(0,-3e)时，此时 a 最大，此时 b=-3e,a=4e，所以 a4e.当直线 y=ax+b 过点2(0,)e且与xye相切时，a 最小，设切点为(,)tt e，则切线方程为()(1)ttttye xtee xet，此时2(1),2.tetet 所以

17、a 的最小值为2.tee 所以a 的取值范围为2,4ee.故答案为2,4ee 点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力.(2)本题的关键有两点，其一是转化为00 xeaxb存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出 a 的最大值和最小值.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知函数 f xa b，其中2cos,32,cos,1,axsin xbxxR（1）求函数 yf x的单调递增区间；（2）在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,2,7a b c f Aa，且2bc，求

18、 ABC的面积【答案】（1）,36kkkZ；（2）7 36.【解析】【分析】（1）利 用 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 公 式、降 次 公 式 和 辅 助 角 公 式，化 简 f x为sinAxB的形式，将x代入2,2 22kk中，解出 x 的范围，由此求得函数的单调区间.（2）利用 2fA 求得角 A的大小，利用余弦定理和2bc列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积.【详解】（1）=，令2 22,262kxk解得，kZ，函数 y=f（x）的单调递增区间是（kZ）（2）f（A）=2，即，又0A，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=7，b=

19、2c，由得，【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.18.如图 1，在平行四边形 ABCD 中，60BAD，1AB ，2AD，以对角线 BD为折痕把 BCD折起，使点C 到图 2 所示点 P 的位置，使得5PA.（）求证:平面 PAB 平面 PBD；()求二面角 BPA D的余弦值.【答案】（）见解析；（）14.【解析】【分析】（）在图 1 中，求解三角形可得 ABBD，同理 CDBD，图 2 中，在PAD 中，求解三角形可得 ADPD，结合 PDBD，得到 PD平面 ABD，进一步得到 PDAB，又 ABBD，可得 AB

20、平面 PBD，由面面垂直的判定可得平面 PAB平面 PBD；（）以 D 为坐标原点，分别以 DB，DP 所在直线为 y，z 轴，过点 D 在平面 ABD 内平行于AB 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 PAD 与平面 PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 B-PA-D 的余弦值【详解】（）图 1 中，60,1,2BADABAD，由余弦定理得21 42 1 2 cos603BD ，222BDABAD，90ABD，即 ABBD，同理CDBD.图 2 中，在 PAD中，2,1,5ADPDPA，222PDADPA，90PDA，即 ADPD 又,PDBD ADBDD，

21、PD 平面 ABD.AB 平面 ABD，PDAB，又,ABBD PDBDD.AB 平面 PBD，AB 平面 PAB，平面 PAB 平面 PBD.()如图，以 D 为坐标原点，,DB DP 所在直线分别为,y z 轴，过点 D 在平面 ABD内平行于 AB 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系.则0,0,0,0,3,0,1,3,0,0,0,1DBAP，1,3,0,0,0,1DADP 设平面 PAD 的法向量为,nx y z 由00n DAn DP 得300 xyz 令1y ，得平面 PAD 的一个法向量为3,1,0n 同理可得平面 PAB一个法向量0,1,3m 11cos,2 24m nm nm

22、n.又二面角 BPAD的平面角为锐角，所以，二面角 BPAD的余弦值为 14.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题 19.已知椭圆C 的中心在原点O，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为1F,2F,离心率为 12，右焦点到右顶点的距离为 1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 A,B,则1F AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）22143xy；（2）1F AB的面积取得最大值 3,1x.【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合题

23、意求解椭圆方程即可；（2）很明显直线l 的斜率不为零，设出直线方程的 x 轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.【详解】（1）设椭圆C：22221(0)xyabab因为12cea，1ac所以2,1ac即椭圆C：22143xy.（2）设 1122,A x yB xy，不妨设120,0yy由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1xmy，由221143xmyxy得2234690mymy，则12122269,3434myyy ymm，12121221121234F ABmSF Fyym，令21mt ，可知1t 则221mt，1212121313F ABtSt

24、tt 令 13f ttt，则 213tft ，当1t 时，0ft，即 f t 在区间1,上单调递增，14f tf，13F ABS，即当1,0tm时，1F AB的面积取得最大值 3，此时直线的方程为1x【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 20.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个

25、科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案 某学校为了解高一年级 420 名学生选考科目的意向，随机选取 30 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有 8 人 884211选考方案待确定的有 6 人 430100女生 选考方案确定的有 10 人 896331选考方案待确定的有 6 人 541001（1）估计该学校高一年级选考方案确定学生中选考生物的学生有多少人？（2）假设

26、男生、女生选择选考科目是相互独立的从选考方案确定的 8 位男生中随机选出 1人，从选考方案确定的 10 位女生中随机选出 1 人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（3）从选考方案确定的 8 名男生中随机选出 2 名，设随机变量1,2,2,1,名男生选考方案相同名男生选考方案不同求 的分布列及数学期望 E 【答案】（1）140；（2）340；（3）分布列见解析，74E 【解析】【分析】（1）求出 30 人中选考方案确定的学生中选考生物的概率，即可估计出结果；（2）分别求出选考方案确定的 8 位男生中和 10 名女生中各选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率，按相互独立同时发

27、生的概率关系，即可求解；（3）根据数据，求出选考方案确定的男生的选考科目情况，的取值为 1，2，求出概率，得到分布列，即可求出结论.【详解】（1）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 4 人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有 6 人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有10184201401830人（2）由数据可知，选考方案确定的 8 位男生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为2184；选考方案确定的 10 位女生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为 310 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为 13341040（3）由数据可

28、知，选考方案确定的男生中有 4 人选择物理、化学和生物；有 2 人选择物理、化学和历史；有 1 人选择物理、化学和地理；有 1 人选择物理、化学和政治 由已知得 的取值为 1，2 11112242222242882113(1),(2)44CCCCCCCPPC，或3(2)1(1)4PP 所以 的分布列为 1 2 P 14 34 所以13712444E 【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率、离散型随机变量的分布列期望，属于中档题.21.已知函数 21xf xexax.（1）当0a 时，求证：0f x；（2）当0 x 时，若不等式 0f x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若0 x，证明21

29、ln1xexx.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当0a 时，1xf xex，根据导数可得函数 f x 的最小值为 0，从而可得结论成立；（2）由条件得 1 2xfxeax，令 1 2xh xeax，则 2xh xea然后分为21a 和21a 两种情况进行讨论，可得所求范围（3）由（2）得当12a，0 x 时，222122xe xxxx故要证不等式成立，只需证21ln1xxex，只需证明2222ln1xxxx，只需证2ln12xxx，然后构造函数并利用函数的单调性可得结论成立【详解】（1）当0a 时，1xf xex，1xfxe，当,0 x 时，0fx

30、；当0,x 时，0fx，故 f x,0上单调递减，在0,上单调递增，min00f xf，0f x.（2）由条件得 1 2xfxeax，令 1 2xh xeax，则 2xh xea.当21a 时，在0,上，0h x，h x 单调递增，0h xh，即 00fxf，f x 在0,上为增函数，00f xf，12a 时满足条件.当21a 时，令 0h x，解得ln2xa，在0,ln2 a 上，0h x，h x 单调递减，当0,ln2xa时，有 00h xh，即 00fxf，f x 在0,ln2a 上为减函数，00f xf，不合题意.综上实数a 的取值范围为12，（3）由（2）得，当12a，0 x 时，2

31、12xxex，即222122xe xxxx，要证不等式21 ln1xexx，只需证明21ln1xxex，只需证明2222ln1xxxx，只需证2ln12xxx，设 2ln1(0)2xF xxxx，则 222141212xFxxxxx，当0 x 时，0Fx恒成立，故 F x 在0,上单调递增，又 00F，0F x 恒成立 原不等式成立【点睛】（1）解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，通过分离参数转化为求函数的最值的问题求解；若参数无法分离，则采用参数讨论的方法求解，通过逐步排除的方法达到求解的目的（2）证明不等式的常用方法是构造函数法，然后转化为求函数的最值的问题求解有时也可通过放缩的方法进行

32、证明，即若证 f xg x，则可通过证明 f xh x，且 h xg x，以达到证明的目的 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修 44：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos2sin1xy（为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系直线l 的极坐标方程为cos24（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于 MN、两点，与 x 轴交于点 P，求PM PN 【答案】（1）C：22 sin30，直线l：20 xy；（2）1【解析】【分析】

33、（1）由曲线 C 的参数方程，能求出曲线 C 的普通方程，由此能求出曲线 C 的极坐标方程；直线 l 的极坐标方程转化为 cos+sin2，由此能求出直线 l 的直角坐标方程（2）联立22(1)420 xyxy，求出 M，N 的坐标，在直线 l：x+y20 中，令 y0，得 P（2，0），由此能求出|PM|PN|【详解】（1）曲线C 的参数方程为221xcosysin（为参数），曲线C 的普通方程为2214xy，即22230 xyy，曲线C 的极坐标方程为22 sin30 直线l 的极坐标方程为 cos24 cos cossin sin244，即 cossin2，直线l 的直角坐标方程为20

34、xy（2）联立221420 xyxy，得172372xy或172372xy，可设17 3717 37,2222MN，在直线:20l xy中，令0y，得 2,0P，2217373720222PM，2217373720222PN，37 37122PM PN 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 选修 45：不等式选讲 23.设函数()212f xxx.（1）求不等式()2f x 的解集；（2）若xR，211()2f xtt恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）15x

35、 xx 或；（2）152t 【解析】试题分析：（1）根据绝对值的意义，对 x 分三种情况讨论，去掉函数 212f xxx 中的绝对值符号，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）由（1）得出函数 fx的最小值，若 211,2xR f xtt 恒成立，等价于 2min112f xtt，根据一元二次不等式的解法，解不等式可求出实数t 的取值范围.试题解析：（1）1321312232xxf xxxxx，当12x ，32x ，5x ，5x 当122x，312x ，1x，12x 当2x，32x，1x ，2x 综上所述15x xx或 （2）易得 min52f x，若xR，2112f xtt恒成立，则只需 2min51122f xtt 212115052ttt，综上所述 152t.