黑龙江省虎林高级中学高中数学课件：第四讲 1数学归纳法及其应用举例1选修4-5.ppt

1、从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”万百千在学习上存在什么问题?这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提

2、出带有规律性的结论.需证明一、复习：什么是归纳推理？例如已知数列an的第1项a1=1且(n=1,2,3),试归纳出这个数列的通项公式.解：猜想：这个猜想对于前4项是成立的，但还不能对以后继续的项也成立，因此这个猜想要证明。问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例猜想：都是质数法国的数学家费马（Pierre de Fermat）(1601年1665年)。十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法

3、 完全归纳法不完全归纳法由特殊一般特点:二、归纳法定义：完全归纳法对比引例有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明完全归纳法：优点：考查全面，结论正确。缺点：工作量大，有些对象无法全面考查。不完全归法：优点：考查对象少，得出结论快。缺点：观察片面化，结论不一定正确。再举几则生活事例(1)推倒自行车.(2)早操排队对齐.(3)放鞭炮等虎林高级中学栾红民在数学

4、研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意正整数n或不小于某个数n0 的任意正整数n，都有某种关系成立。对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法-数学归纳法与正整数有关的命题例如：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+)n21+nx (x-1,nN+).问题情境一问题 1:大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？完全归纳法模 拟 演 示n=5,a5=25问题情境一问题2：若an=(n2-5n+5)2，则an=1。对吗？当n=1,a1=1当n=2,a1=1当n=3,a1=1当n=4,a1=1问题情境一不完全归纳法问题3:已知：13=2 135=31357=41+35

5、79=5可猜想：1+35（1）n（2n1）（1）n n归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。归纳法如何解决不完全归纳法存在的问题呢？必须寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法。问题情境三多米诺骨牌操作实验数学归纳法我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.（1）证明当n取第一个值n0(例

6、如n0=1)时命题成立（2）假设当n=k(k N,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法叫做 数学归纳法k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4k=10,k+1=10+1=11下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,当n=1时，式（*）成立(2)假设当n=k时，式（*）成立，即1+35（1）k（2k1）（1）k k在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边是否成立.例1、用数学归纳法证明：当nN+时，1+35（1）n（2n1）（1）n n （*）当n=k+1时等式左边 1+35（1）k（2k1）

7、（1）k1 2(k+1)1（1）k1 2(k+1)1（1）k1(k+1)右边所以当n=k+1时等式（*）成立。由（1）（2）可知，1+35（1）n（2n1）（1）n n 利用假设凑结论从n=k到n=k+1有什么变化（1）k k（1）k1 k2(k+1)1练习巩固1.用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是22.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当 n=k+1 时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立C下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：（1）验证：

8、n=n0（n0N+）时命题成立。（2）证明：假设n=k（kn0）时命题成立，则n=k+1时命题也成立。对所有的n（n0N+，nn0）命题成立奠基假设与递推数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论:第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确第二步：假设n=k(kN，且k n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确结论：由（1）、（2）得出结论正确找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整数学归纳法主要步骤:课本50页练习1：证明1+3+5+(2n1)=n2证明：1.当n=1时左1，右121n=1时，命题成立2.假设n=k时，命题成

9、立，即1+3+5+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左1+3+5+(2k1)(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立由1、2知原命题对nN*都成立递推基础递推依据例2.用数学归纳法证明 122334n(n1)从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1)1)当n=1时，左边=12=2,右边=2.命题成立 n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。证明：当n=1时，左边右边n=1时等式成立。假设n=k时，命题成立，即那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。课

10、本50页2.用数学归纳法证明证明：1、当n=1时,左=12=1，右=n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+k2+(k+1)2=右n=k+1时，原不等式成立由1、2知当nN*时，原不等式都成立n 明确初始值n0，验证真假。（必不可少）n“假设n=k时命题正确”，写出命题形式。n 证明“n=k+1时”命题成立。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。注意用上假设，n 要作结论 用数学归纳法证明恒等式注意事项：（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于与正整数有关的问题。（2）两个步骤，一个结论缺一

11、不可，否则结论不能成立。（3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉归纳法完全归纳法不完全归纳法数学归纳法穷举法可能错误如何避免？n作业：50页31、三个步骤缺一不可:第一步:奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步:归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到 一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立);第三步:总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。用数学归纳法需注意：如下用数学归纳法

12、证明对吗？证明：当n=1时，左边右边等式成立。假设n=k时等式成立，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。根据可知，对nN，等式成立。注意:用上假设递推才真第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明既然不对，如何改正？三注意：1、有时 n0不一定等于1 2、项数不一定只增加一项。3、一定要用上假设分析课本50页3 用数学归纳法证明14411）此时n0=_左_ 右=_2）假设n=k时命题成立，即当n=k时，等式左边共有_项，第(k1)项是_。k(K1)3(k1)11(11)2=414+27+310+n(3n+1)=n(n+1)214+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2

13、练习巩固3）当n=k+1时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1 =(k+1)(k+1)+12(k+1)3(k+1)+1证明：（1）当n=1时，左边144，右边1224，等式成立。（2）假设 n=k时 命题成立，即1 4+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立当n=k+1时左边=14+27+310+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1=(k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12 右边哥德巴赫猜想n 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.n 1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现:问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”n 这就是著名的哥德巴赫猜想.