2021新高考数学一轮复习（山东专用）学案：7-1 空间几何体的结构特征和直观图 WORD版含解析.doc

1、第七章立体几何第一节 空间几何体的结构特征和直观图课标要求考情分析1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2会用斜二测法画出它们的直观图 1.本节内容是高考中的重点考查内容，涉及空间几何体的结构特征、空间几何体的直观图等内容2命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的直观图的确认与应用，同时这类题目也重点考查了空间几何体的结构特征，解题要求有较强的空间想象能力.知识点一 空间几何体1多面体的结构特征 2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半

2、圆直径所在的直线知识点二 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则1原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为 45或 135，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直2原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)有 两 个

3、 平 面 平 行，其 余 各 面 都 是 四 边 形 的 多 面 体 是 棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形的几何体是棱台()(4)用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分是棱台()(5)棱台的侧面都是梯形()(6)棱台的侧棱长都相等()解析：(1)也可以是棱台(2)棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形(3)侧棱延长后必须交于一点(4)必须用平行于底面的平面去截棱锥(6)正棱台的侧棱长相等，非正棱台不一定相等2小题热身(1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(A)A圆柱B圆锥C四面体D三

4、棱柱(2)下列说法正确的是(D)A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行(3)如图，直观图所表示的平面图形是(D)A正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形(4)如图，一个立在水平地面上的圆锥的母线长为 4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处若该小虫爬行的最短路程为 4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于43m.解析：(1)由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形(2)由直观图的画法规则知，角度、长度

5、都有可能改变，而线段的平行关系不变(3)由直观图中，ACy轴，BCx轴，还原后 ACy轴，BCx 轴，所以ABC 是直角三角形故选 D(4)把圆锥侧面沿过点 P 的母线展开如图所示的扇形由题意知 OPOP4 m，PP4 3 m，则 cosPOP42424 3224412，所以POP23.设底面圆的半径为 r，则 2r23 4，所以 r43 m.考点一 空间几何体的结构特征【例 1】(1)以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个

6、数为()A0B1C2D3(2)给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_(填序号)【解析】(1)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确(2)对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确综上，命题不正确【答案】(1)B(2)方法技巧空

7、间几何体概念辨析题的常用方法1定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定.2反例法：通过反例对结构特征进行辨析.给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是.解析：不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角

8、；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体 AC1 中的三棱锥 C1-ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知考点二 空间几何中的简单计算问题【例 2】(1)有一根长为 3 cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_ cm.(2)一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm，则这个圆台的母线长为_ cm.【解析】(1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图)，由题意知 BC3

9、cm，AB4 cm，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度，又 AC AB2BC25(cm)，故铁丝的最短长度为 5 cm.(2)如图，过点 A 作 ACOB，交 OB 于点 C在 RtABC 中，AC12(cm)，BC835(cm)AB 1225213(cm)【答案】(1)5(2)13方法技巧这类计算问题关键是找出几何体的截面图，把空间几何体的问题转化为平面几何知识解决.已知正四棱锥 P-ABCD 的顶点均在球 O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为 2，则球 O 的表面积为(C)A4B6C8D16解析：设点 P 在底面 ABCD 上的投影为 O，则 A

10、O12AC 2，PA2，PO平面 ABCD，故 PO PA2AO2 2，而底面ABCD 所在截面圆的半径 AO 2，故该截面圆即为过球心 O 的圆，则球 O 的半径 R 2，故球 O 的表面积 S4R28，故选 C考点三 空间几何体的直观图命题方法 1 由斜二测画法画直观图【例 3】已知等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB 2，下底 AB3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_【解析】如图所示，作出等腰梯形 ABCD 的直观图因为 OE 2211，所以 OE12，EF 24，则直观图 ABCD的面积 S132 24 22.【答案】22命题方向 2 由

11、直观图还原平面图形【例 4】(1)如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6，OC2，则原图形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_【解析】(1)如图，在原图形 OABC 中，应有 OD2OD22 24 2，CDCD2，OAOA6.OC OD2CD24 22226，OAOC，故四边形 OABC 是菱形(2)如图，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，在 RtABE 中，AB1，ABE45，BE 22.四边形 AECD

12、 为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC 22 1.由此可还原原图形如图.在原图形中，AD1，AB2，BC 22 1，且 ADBC，ABBC，这块菜地的面积 S12(ADBC)AB1211 22 22 22.【答案】(1)C(2)2 22方法技巧1用斜二测画法画直观图的技巧,在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x轴或 y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，在直观图中作出相应的点后，用平滑的曲线连接而画出。2平面图形直观图与原图形面积间的关系,对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积 S 与直观图面

13、积 S之间的关系，能更快捷地进行相关问题的计算.1(方向 2)如图是水平放置的某个三角形的直观图，D是ABC中 BC边的中点且 ADy轴，AB，AD，AC三条线段对应原图形中的线段 AB，AD，AC，那么(C)A最长的是 AB，最短的是 ACB最长的是 AC，最短的是 ABC最长的是 AB，最短的是 ADD最长的是 AD，最短的是 AC解析：由题中的直观图可知，ADy轴，BCx轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中 ADy 轴，BCx 轴，又因为 D为 BC的中点，所以ABC 为等腰三角形，且 AD 为底边BC 上的高，则有 ABACAD 成立2(方向 1)已知正ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面积为(D)A 34 a2B 38 a2C 68 a2D 616a2解析：解法 1：ABC 的实际图形和直观图如图所示，由可 知，AB AB a，OC 12 OC 34 a，在 图 中 作CDAB于 D，则 CD22 OC68 A所以SABC12ABCD12a 68 a 616a2.解法 2：由 S 直观图 24 S 原图形的关系，得 S 直观图 24 12a 32 a 616a2.