2021新高考数学二轮复习专题练：高考模拟卷（二） WORD版含解析.doc

1、高考模拟卷(二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 My|y4x2，xZ的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.32解析 因为 My|y4x2，xZ0，2，3，所以集合 M 的真子集一共有2317(个).故选 A.答案 A2.已知 i 是虚数单位，若复数 z 2i31i，则z()A.1i B.1iC.1i D.1i解析 z 2i31i2i（1i）（1i）（1i）2i（1i）2i(1i)1i，z1i.故选 B.答案 B3.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的

2、点数之和小于 5 的概率为()A.16B.518C.19D.512解析 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，共有 6636 种情况，其中向上的点数之和小于 5 的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共 6 种，所以向上的点数之和小于 5 的概率 P 63616，故选 A.答案 A4.如图，已知圆柱 OO1 的轴截面是边长为 2 的正方形，A1，B1，C1 是圆 O1 的三等分点，BB1AA1OO1，那么异面直线 AC1 与 OB 所成角的大小为()A.30 B.45C.60 D.90解析 法一 如图，取劣弧AB的中点 D，连接 AD，易知 ADOB，则C1AD

3、 或其补角为异面直线 AC1 与 OB 所成的角.连接 DO 并延长交圆 O 于点 C，连接 C1C，C1D，由已知易得 C1C2，AD1，C1A 7，C1D2 2，所以 C1A2AD2C1D2，得C1AD90，故选 D.法二 如图，取优弧AB的中点 C，连接 C1C，AC，则 OBAC，OBCC1，故 OB平面 AC1C，所以 OBAC1，所以异面直线 AC1 与 OB 所成的角为 90，故选 D.答案 D5.已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图：根据该折线图可知，下列说法错误的是()A.该超市 2019 年的 12 个月中 7 月份的收益最高B.该超市 2019

4、 年的 12 个月中 4 月份的收益最低C.该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90万元D.该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益解析 用列表法表示该超市 2019 年 12 个月的收入与支出及收益如下表：月份123456789101112收入/万元406030305060807070809080支出/万元203010202030203040504050收益/万元203020103030604030305030总收益/万元140240由上表可知 C 错误.故选 C.答案 C6.某

5、食品的保鲜时长 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时长是 192 小时，在 22 的保鲜时长是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时长是()A.16 小时B.20 小时C.24 小时D.28 小时解析 由已知条件得，192eb，所以 bln 192.又因为 48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，所以 e11k481921212.设该食品在 33 的保鲜时长是 t 小时，则 te33kln 192192e33k192(e11k)319212324.故选 C.答案

6、 C7.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AD，CD 的中点，AF 与 BE 相交于点 M，则AM()A.34AB14AEB.45AB15AEC.14AB34AED.15AB45AE解析 由题意作出示意图，如图.设AM xAF，BM yBE.因为四边形 ABCD 是平行四边形，且 E，F 分别为边 AD，CD 的中点，所以AM xAF x(AD DF)x2AE12AB x2AB2xAE.因为 E，M，B 三点共线，所以x22x1，解得 x25.所以AM 15AB45AE.故选 D.答案 D8.已知函数 f(x)ln（2x），x1，x21，x1，若|f(x)|axa0 恒成立，则实数

7、 a 的取值范围是()A.12，1B.0，1C.1，)D.0，2解析 由题意，知|f(x)|ln（2x），x1，x21，x1，且|f(x)|a(x1)恒成立，则分别作出函数 y|f(x)|及 ya(x1)的图象，如图.由图知，当 a0，则当 ya(x1)与 y|f(x)|(x1)图象相切于点(1，0)时，|f(x)|a(x1)恒成立.由导数的几何意义知，(x21)|x1212.当 a0 时，ya(x1)0，由图知|f(x)|0，所以当 a0 时，|f(x)|a(x1)恒成立.结合图形可知0a2.故选 D.答案 D二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个

8、选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0分.9.已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点 P62，32，点 F 为双曲线 C 的右焦点，则下列结论正确的是()A.双曲线 C 的离心率为 62B.双曲线 C 的渐近线方程为 x 2y0C.若点 F 到双曲线 C 的渐近线的距离为 2，则双曲线 C 的方程为x24y221D.设 O 为坐标原点，若|PO|PF|，则 SPOF3 22解析 因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点 P62，32，所以渐近线方程为 y 22 x，即 x 2y0，B 错误；易得ba

9、 22，所以离心率 ecaa2b2a2112 62，A 正确；若点 F 到双曲线 C 的渐近线的距离为 2，即b 2，a2，则双曲线 C 的方程为x24y221，C 正确；O 为坐标原点，P62，32，若|PO|PF|，则 F(6，0)，所以 SPOF12 6 32 3 24，D 错误.故选 AC.答案 AC10.设正实数 a，b 满足 ab1，则()A.1a1b有最小值 4B.ab有最小值12C.a b有最大值 2D.a2b2 有最小值12解析 对于 A，因为 a，b 是正实数，且 ab1，所以有1a1baba abb 2baab22baab4(当且仅当 ab 时取等号)，故 A 正确；对于

10、 B，因为 a，b是正实数，所以有 1ab2 ab ab12(当且仅当 ab 时取等号)，故 B 不正确；对于 C，因为 a，b 是正实数，所有以 a b2（a）2（b）2212 a b 2(当且仅当 ab 时取等号)，故 C 正确；对于 D，因为 a，b 是正实数，所以有ab2 a2b22a2b212(当且仅当 ab 时取等号).故 D 正确.故选 ACD.答案 ACD11.已知函数 f(x)sin xcos x，g(x)是 f(x)的导函数，则下列结论中正确的是()A.函数 f(x)的值域与函数 g(x)的值域相同B.若 x0 是函数 f(x)的极值点，则 x0 是函数 g(x)的零点C.

11、把函数 f(x)的图象向右平移2个单位长度，就可以得到函数 g(x)的图象D.函数 f(x)和 g(x)在区间4，4 上均单调递增解析 f(x)sin xcos x 2sinx4，g(x)f(x)cos xsin x 2sinx4，A 正确；若 x0 是函数 f(x)的极值点，则 x04k2，kZ，即 x0k34，kZ，g(x0)2sink34 4 0，kZ，即 x0 是函数 g(x)的零点，B 正确；把函数 f(x)的图象向右平移2个单位长度，可以得到函数 h(x)sinx2 cosx2 cos xsin x 的图象，C 错误；令 2k2 x42k2(kZ)，则函数 f(x)在2k4，2k3

12、4(kZ)上单调递增，令 2k2x40)，则 h(x)（x3）（x1）x2.当 x(0，1)时，h(x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4，则 ah(x)min4，故实数a 的取值范围是(，4.答案(，416.我们知道，在 n 次独立重复试验(伯努利试验)中，每次试验事件 A 发生的概率均为 p，则事件 A 发生的次数 X 服从二项分布 B(n，p).事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件 A 首次发生时试验进行的次数 Y，显然 P(Yk)p(1p)k1，k1，2，3，我们称 Y 服从“几何分布”，经计算得 E(Y)1p.由此推广，在无限

13、次伯努利试验中，试验进行到事件 A 和A都发生后停止，此时所进行的试验次数记为 Z，则 P(Zk)p(1p)k1(1p)pk1，k2，3，那么 E(Z)_.解析 由题意可知 A 发生的概率为 p，则A发生的概率为 1p.设事件A首次发生时试验进行的次数为 W，则由“几何分布”的定义可知，P(Wm)(1p)pm1，m1，2，3，所以 E(W)11p.因为 E(W)1(1p)p02(1p)p3(1p)p2m(1p)pm1，m1，2，3，E(Y)1p且 E(Y)1p(1p)02p(1p)3p(1p)2kp(1p)k1，k1，2，3，所以 E(Z)2p(1p)2(1p)p3p(1p)23(1p)p2k

14、p(1p)k1k(1p)pk1，k2，3，即 E(Z)E(Y)E(W)1p(1p)01(1p)p01p 11pp1p1p（1p）1.答案 1p（1p）1四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)在3asin C4ccos A，2bsin BC2 5asin B 这两个条件中任选一个，补充至横线上，然后解答补充完整的问题.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知_，a3 2.(1)求 sin A；(2)如图，点 M 为边 AC 上一点，MCMB，ABM

15、2，求ABC 的面积.解 选择条件.(1)由 3asin C4ccos A 及正弦定理，得3sin Asin C4sin Ccos A.因为 sin C0，所以 3sin A4cos A，9sin2A16cos2A，所以 25sin2A16.因为 sin A0，所以 sin A45.(2)法一 设 MBMCm，易知 cos BMCcos BMAsin A45.在BMC 中，由余弦定理，得 182m22m245，解得 m 5(负值已舍去).所以 SBMC12m2sin BMC1253532.在ABM 中，sin A45，BM 5，ABM2，则 AB3 54.所以 SABM158.所以 SABC3

16、2158 278.法二 因为 MBMC，所以MBCMCB.因为ABM2，所以 A2C2，则 2C2A，所以 sin 2Csin2A cos A.因为 A 为锐角，所以 sin 2Ccos A35.在ABC 中，由正弦定理，得bsin ABCcsin C asin A15 24，所以 b15 24sin ABC，c15 24sin C.所以 SABC12bcsin A1215 24sin ABC15 24sin C45454 sin2C sin C454sin Ccos C458 sin 2C278.选择条件.(1)因为 2bsin BC2 5asin B，所以 2bsin A2 5asin B

17、.由正弦定理，得 2sin Bcos A2 5sin Asin B.因为 sin B0，所以 2cos A2 5sin A，则 cos A2 5sin A2cos A2.因为 cos A20，所以 sin A2 15，则 cos A2 25，所以 sin A2sin A2cos A245.(2)同选择条件.18.(本小题满分 12 分)在数列an，bn中，a1b11，an13anbn3n1，bn13bnan3n1.等差数列cn的前两项依次为 a2，b2.(1)求数列cn的通项公式；(2)求数列(anbn)cn的前 n 项和 Sn.解(1)a1b11，a22，b26，则数列cn的公差 d6(2)

18、8.数列cn的通项公式为 cn28(n1)8n10.(2)an13anbn3n1，bn13bnan3n1，得 an1bn12(anbn).a1b12，数列anbn是首项为 2，公比为 2 的等比数列，anbn2n.Sn22622(8n10)2n，则 2Sn222623(8n10)2n1，Sn2Sn48(22232n)(8n10)2n1，即Sn48(2n14)(8n10)2n1(188n)2n136，Sn(4n9)2n236.19.(本小题满分 12 分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数(A

19、QI)的检测数据，结果统计如下：AQI0，50(50，100(100，150(150，200(200，250(250，300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数在0，50，(50，100内的 20 天中任取 3 天，求这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率；(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 y(单位：元)与空气质量指数 x 的关系式为 y0，0 x100，220，100 x250，1 480，250 x300.假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是16，1

20、3，16，112，112，16.9 月每天的空气质量对应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替.记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为 X 元，求 X 的分布列；试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过 2.88 万元？说明你的理由.解(1)设 为选取的 3 天中空气质量为优的天数，则P(2)P(2)P(3)C26C114C320 C36C014C320 23114.(2)X 的所有可能取值为 0，220，1 480.P(X0)P(0 x100)2010015，P(X220)P(100 x250)70100 710，P(X1 48

21、0)P(25028 800，所以这 3 个月经济损失总额的数学期望会超过 2.88 万元.20.(本小题满分 12 分)如图，PABC 是一个三棱锥，AB 是圆的直径，C 是圆上异于 A，B 的点，PC 垂直于圆所在的平面，D，E 分别是棱 PB，PC 的中点.(1)求证：DE平面 PAC；(2)若二面角 ADEC 是 45，ABPC4，求 AE 与平面 ACD 所成角的正弦值.(1)证明 因为 AB 是圆的直径，所以 BCAC.因为 PC 垂直于圆所在的平面，BC 在圆所在平面内，所以 PCBC.又因为 ACPCC，所以 BC平面 PAC.因为 D，E 分别是棱 PB，PC 的中点，所以 D

22、EBC，所以 DE平面 PAC.(2)解 由(1)可知，DE平面 PAC，AE，CE平面 PAC，所以 DEAE，DEEC，所以AEC 为二面角 ADEC 的平面角，所以AEC45，因为 PC 垂直于圆所在的平面，AC 在圆所在平面内，所以 PCAC，所以 ACEC12PC2.由 BCAC，AB4，得 BC2 3.以 C 为坐标原点，分别以CB，CA，CP的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系 Cxyz，则 C(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，0，2)，D(3，0，2)，所以AE(0，2，2)，CA(0，2，0)，CD(3，0，2).设 n(x，y，z)是平

23、面 ACD 的法向量.由nCA0，nCD 0，得2y0，3x2z0.令 x2，得 y0，z 3，所以平面 ACD 的一个法向量为 n(2，0，3).所以 cosn，AE nAE|n|AE|2 372 2 4214.所以 AE 与平面 ACD 所成角的正弦值为 4214.21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm(k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线 l过定点(1，0)，求实数 k 的取值范围.解(1)由题意可知2b2，ca 32，a2b2c2，得

24、a2，b1，c 3，故椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 ykxm(k0)代入椭圆方程，消去 y 得，(14k2)x28kmx4m240，(8km)24(14k2)(4m24)0，即 m24k21.由一元二次方程根与系数的关系，得 x1x2 8km14k2，则 y1y2 2m14k2，所以线段 MN 的中点 P 的坐标为 4km14k2，m14k2.又线段 MN 的垂直平分线 l的方程为 y1k(x1)，由点 P 在直线 l上，得m14k21k 4km14k21，即 4k23km10，所以 m 13k(4k21).由得，（4k21）29k20，

25、所以 4k219k2，解得 k 55，故实数 k 的取值范围是，55 55，.22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)axsin x32(aR)，且在0，2 上的最大值为32.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明.解(1)由已知得 f(x)a(sin xxcos x)，对于任意 x0，2，有 sin xxcos x0.当 a0 时，f(x)32，不合题意；当 a0 时，x0，2 时，f(x)0，从而 f(x)在0，2 内单调递减，又 f(x)在0，2上的图象是连续不间断的，故 f(x)在0，2 上的最大值为 f(0)32，不合题意；

26、当 a0，x0，2 时，f(x)0，从而 f(x)在0，2 内单调递增，又 f(x)在0，2 上的图象是连续不间断的，故 f(x)在0，2 上的最大值为 f2，即2a3232，解得a1.综上所述，得 f(x)xsin x32.(2)f(x)在(0，)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，f(x)xsin x32，从而有 f(0)320，f2 32 0，又 f(x)在0，2 上的图象是连续不间断的，所以 f(x)在0，2 内至少存在一个零点.又由(1)知 f(x)在0，2 上单调递增，故 f(x)在0，2 内有且只有一个零点.当 x2，时，令 g(x)f(x)sin xxcos x.由 g2

27、 10，g()0，且 g(x)在2，上的图象是连续不间断的，故存在m2，使得 g(m)0.由 g(x)2cos xxsin x，知 x2，时，有 g(x)0，从而 g(x)在2，内单调递减.当 x2，m 时，g(x)g(m)0，即 f(x)0，从而 f(x)在2，m 内单调递增，故当x2，m 时，f(x)f2 32 0，故 f(x)在2，m 上无零点；当 x(m，)时，有 g(x)g(m)0，即 f(x)0，从而 f(x)在(m，)内单调递减.又 f(m)0，f()0，且 f(x)在m，上的图象是连续不断的，从而 f(x)在(m，)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点.