山东省滨州双城教育数学竞赛讲义 第16章《平面几何》.doc

1、第十六章 平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。塞瓦定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则ABCD+BCADACBD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理 设P为ABC

2、的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理 ABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且二、方法与例题1同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例1 在ABC中

3、，ABC=700，ACB=300，P，Q为ABC内部两点，QBC=QCB=100，PBQ=PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。2面积法。例2 见图16-1，ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为BPD的平分线。3几何变换。例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB是O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。4三角法。例5 设AD，BE与CF为ABC的内角平分线，D，E

4、，F在ABC的边上，如果EDF=900，求BAC的所有可能的值。5向量法。例6 设P是ABC所在平面上的一点，G是ABC的重心，求证：PA+PB+PC3PG.6解析法。例7 H是ABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。7四点共圆。例8 见图16-5，直线l与O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。三、习题精选1O1和O2分别是ABC的边AB，AC上的旁切圆，O1与CB，CA的延长线切于E，G，O2与BC，BA的延长线切于F，H，直线E

5、G与FH交于点P，求证：PABC。2设O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：E，O，F三点共线。3已知两小圆O1与O2相外切且都与大圆O相内切，AB是O1与O2的一条外公切线，A， B在O上，CD是O1与O2的内公切线，O1与O2相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：P是ABC的内心。4ABC内有两点M，N，使得MAB=NAC且MBA=NBC，求证：5ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。6设点I，H分别是锐角ABC的内心和垂心，点B1，C1分

6、别是边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2(B2B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于点K，A1为BHC的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2的面积相等。7已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上 ，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。求证：M，N，L三点共线。8ABC中，C=900，A=300，BC=1，求ABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9ABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。