（新教材）2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：8-6-2 直线与平面垂直（一） .ppt

1、8.6.2 直线与平面垂直(一)基础预习初探1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系.问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示:垂直.2.如图,直线l与平面内的无数条直线a,b,c,都垂直,直线l与平面一定垂直吗?为什么?提示:不一定.当平面内的无数条直线a,b,c,都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,都垂直的条件下,与平面可能垂直也可能斜交或平行.3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直?提

2、示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.(2)由折痕ADBC,翻折之后垂直关系不变,即ADCD,ADBD,你能得到什么结论?提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.4.直线与平面所成的角的取值范围是什么?提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0.因此,直线与平面所成的角的范围是090.【概念生成】1.直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面内的_都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直记法

3、l有关概念直线l叫做平面的_,平面叫做直线l的_,它们唯一的公共点P叫做_图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条直线垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的_垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言la,lb,a,b,_=Pl图形语言两条相交直线ab3.直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面_,但不和平面_,图中_斜足斜线和平面的_,图中_射影过斜线上斜足以外的一点向平面引_,过_和_的直线叫做斜线在这个平面上的射影,图中斜线PA在平面上的射影为直线_相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足AO直线与平面所成的角定义:平面

4、的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,图中_.规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是_;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是_取值范围设直线与平面所成的角为,则090PAO900核心互动探究探究点一 直线与平面垂直的定义及应用【典例1】(1)设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是()A.若lm,m,则lB.若l,lm,则mC.若l,m,则lmD.若l,m,则lm(2),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四种说法:如果mn,m,n,那么;如果m,n,那么mn;如果,m,那么m;如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的说法有_.(填写所有正确说法的

5、编号)【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.【解析】(1)选B.对于A,由lm及m可知,l与的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,l与m的位置关系为平行、异面或相交,故D错误.(2)对于借助长方体可知或与相交,故错误;对于,n,由线面平行的性质定理可知n与内的一条直线l平行,因为m,所以ml,所以mn,故正确;对于,设过m的平面交于直线l,因为,m,由面面平行的性质定理可知ml,由线面平行的判定定理可知m,故正确;对于,若m,n分别与平面,平行(或垂直),结论显然成立,若m,n分别与平面,不平行,也不垂直,可以分别作出m,

6、n在,内的射影,由等角定理可知结论也成立,故正确.答案:【类题通法】直线与平面垂直的定义的“双向”作用(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直线面垂直.(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直线线垂直.【定向训练】已知两条直线m,n,两个平面,给出下面三个命题,其中正确命题的序号是(),m,nmn;mn,mn;,mn,mn.A.B.C.D.【解析】选C.对于,设正方体ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1所在平面是,下底面ABCD所在平面是,直线A1C1是m且直线BD是n,则满

7、足,m,n,但直线m,n是异面直线,得不出mn,故不正确;对于,若mn且m,则n或n,故不正确;对于,因为且m,所以m,结合mn,可得n.故正确.探究点二 线面垂直判定定理的应用【典例2】如图,在ABC中,ABC=90,D是AC的中点,S是ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.【思维导引】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,ABBC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的结论可利用.

8、【证明】(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SDAC.连接BD.在RtABC中,有AD=DC=DB,所以SDBSDA,所以SDB=SDA=90,所以SDBD.又ACBD=D,所以SD平面ABC.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BDAC.又由(1)知SDBD,且ACSD=D,所以BD平面SAC.【类题通法】证线面垂直的方法1.线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用).(2)判定定理最常用(有时作辅助线).2.平行转化法(利用推论)(1)ab,ab.(2),aa.【定向训练】1.在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,下列

9、结论中不成立的是()A.BC平面PDF B.BC平面PAEC.DF平面PAE D.AE平面APC【解析】选D.因为D,F分别为AB,AC的中点,所以DFBC,且BC平面PDF,故BC平面PDF,故A项正确.又AB=AC,PB=PC,E为BC的中点,所以AEBC,PEBC,所以BC平面PAE,又DFBC,所以DF平面PAE,故B、C项正确.由于AE与AP不垂直(否则,等腰三角形PAE将有两个直角),故AE与平面APC不垂直.2.(2020全国卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EFAC;(

10、2)点C1在平面AEF内.【证明】(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1,所以BB1平面ABCD,所以ACBB1,因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,所以ACBD,因为BB1BD=B,BB1,BD平面BB1D1D,因此AC平面BB1D1D,因为EF平面BB1D1D,所以EFAC;(2)在CC1上取点M使得CM=2MC1,连接DM,MF,EC1,因为D1E=2ED,DD1CC1,DD1=CC1,所以ED=MC1,EDMC1,所以四边形DMC1E为平行四边形,所以DMEC1,因为MFDA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形,所以DMAF,所

11、以EC1AF,因此点C1在平面AEF内.探究点三 直线与平面所成的角【典例3】已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面BCD所成的角的正弦值.【思维导引】作AO平面BCD,垂足为O,连接OD取OD中点P,连接QP,CPQCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角求出sinQCP.【解析】过点A作AO平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.取OD中点P,连接QP,CP.由AO平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平分线的交点.设四面体的棱长为a,则OD=,AO=.因为Q是AD中点,P是OD中点,所以QPAO.因为AO平面BCD,所以QP平

12、面BCD.所以QCP就是CQ与平面BCD所成的角.在正三角形ACD中,Q是AD的中点,所以CQ=a.又QP=AO=a,所以sinQCP=.【类题通法】(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【补偿训练】1.(2019天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3,(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD.

13、(2)求证:PA平面PCD.(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接BD,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GHPD,利用线面平行的判定定理证得结果.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DNPA,利用线面垂直的判定定理证得结果.(3)利用线面角的定义得到DAN为直线AD与平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得结果.【解析】(1)连接BD,易知ACBD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GHPD,又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,

14、得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA,又因为PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=,所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值.【解析】如图,设正三棱锥的底面边长为a,则侧棱长为2a.设O为底面中心,则SAO为SA与平面ABC所成的角.在RtSOA中,因为A

15、O=,所以cosSAO=,即侧棱与底面所成角的余弦值为.【定向训练】如图,在RtBMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,MBC=60,则MC与平面CAB所成角的正弦值为_.【解析】由题意知,点A是点M在平面ABC内的射影,所以MA平面ABC,所以MC在平面CAB内的射影为AC.所以MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.因为在RtMBC中,BM=5,MBC=60,所以MC=BMsinMBC=5sin 60=5 .在RtMAB中,MA=3.在RtMAC中,sinMCA=.答案:【补偿训练】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA平面ABCD,PDA=30,O,

16、E,F分别是AC,AB,PC的中点.(1)证明:平面EFO平面PAD.(2)证明:FO平面ABCD.(3)求EF与平面ABCD所成角的大小.【解题指南】(1)要证面面平行,可先证线面平行,也可证一个平面内有两条相交直线与另一平面的两条直线分别平行,题中利用中位线定理可得线线平行,从而证得面面平行.(2)由(1)得FOPA,再结合PA平面ABCD,可得.(3)由线面所成角的定义知FEO为所求角,解三角形可得.【解析】(1)在PAC中,因为F,O分别为PC,AC的中点,所以FOPA,在ABC中,因为E,O分别为AB,AC的中点,所以EOBC,又BCAD,所以EOAD,又因为EOFO=O,所以平面E

17、FO平面PAD.(2)因为PA平面ABCD,又由(1)知PAFO,因此FO平面ABCD.(3)因为FO平面ABCD,所以FEO即为EF与平面ABCD所成的角,又FO=PA,EO=AD,所以FEO=PDA=30,即EF与平面ABCD所成角的大小为30.【课堂小结】课堂素养达标1.直线l平面,直线m,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直【解析】选A.由直线与平面垂直的定义可知,lm,l与m可能相交或异面,但不可能平行.2.如图所示,定点A和B都在平面内,定点P,PB,C是平面内异于A和B的动点,且PCAC,则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.易证AC平面PBC,所以ACBC,所以ABC为直角三角形.3.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等,则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为()A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等,作SO底面ABCD,垂足为O,所以SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角,设AB=a,则SB=a,OB=BD=,所以cosSBO=,所以SBO=45,所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45.4.设PA与平面所成角为,斜线段PA=l,则它在平面内的射影长为_.【解析】如图,PA=l,PO,PAO=,所以AO=lcos.答案:lcos