2021版高中数学 课时分层作业二十七 指数型、对数型函数模型的应用举例（含解析）新人教A版必修1.doc

1、课时分层作业二十七指数型、对数型函数模型的应用举例(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的路程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】选D.对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项：由

2、题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80110=8(升)，则C错；对于D选项：当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对.2.我们定义函数y=x(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y=x(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如4.3=4，5=5；4.3=5，5=5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2

3、小时)收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为 () (单位：元)A.2x+1B.2(x+1)C.2xD.2x【解析】选C.如x=1时，应付费2元，此时2x+1=4，2(x+1)=4，排除A，B；当x=0.5时，付费为2元，此时2x=1，排除D.3.温度对反应速率的影响可以用阿累尼乌斯公式：lg=表示，其中k1，k2分别为温度T1，T2时的某反应的速率常数，E为反应的活化能(单位：KJ/mol)，R为摩尔气体常数，R=8.314 J/(molK)(假定活化能在温度变化范围不大时是常数).又已知同一反应在不同温度下反应速率常数与反应时间的关系如下：=，若现在温度为300K，鲜牛

4、奶5小时后变酸，但是在275K的冰箱里可以保存50小时，则牛奶变酸反应的活化能为_KJ/mol(精确到0.01).()A.63.19B.7.60C.-69.19D.-7.60【解析】选A.因为=，所以=10，所以代入阿累尼乌斯公式得lg=，所以E=63.19 KJ/mol.4.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2020年B.2021年C.202

5、2年D.2023年【解析】选B.若2018年是第一年，则第n年科研经费为1 3001.12n，由1 3001.12n2 000，可得lg 1.3+nlg 1.12lg 2，得n0.050.19，n3.8，n4，即到2021年科研经费超过2 000万元.【补偿训练】 (2019重庆市第一中学高一检测)在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家纳皮尔.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，

6、为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来：6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64256=16 384.按照这样的方法计算：16 38432 768=()

7、A.134 217 728B.268 435 356C.536 870 912D.513 765 802【解析】选C.根据已知的规律，16 384对应第一行中的14，32 768对应第一行中的15，计算14+15=29，在第一行找到29，对应的第二行中的数是536 870 912，所以C是正确的.二、填空题(每小题5分，共10分)5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为10天，为使投资的回报最多，你会选择

8、的方案为_.【解析】方案一：投资10天的回报为4010=400元；方案二：投资10天的回报为10+20+30+40+90+100=550元；方案三：投资10天的回报为0.4+0.42+0.422+0.429=0.4(1+2+22+29)=409.2元.所以投资回报最多的为方案二.答案：方案二6.某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y=kax(a0且a1)，xN*.当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为_元.【解析】由题意可得方程组：结合a0且a1可得 即 y=128，

9、则该商品上架第4天的价格为128=40.5，即该商品上架第4天的价格为40.5元.答案：40.5三、解答题7.(10分)医学上，为了研究某种传染病传播过程中病毒的发展规律及其预防，将病毒注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒在小白鼠体内的总个数与天数的关系如表：天数1234567病毒总个数1248163264已知该种病毒在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠就会死亡.但是注射某种药物，可以杀死此时小白鼠体内98%的病毒.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应该在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应该在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，参考数据：lg 20.3

10、01 0，lg 30.477 1)【解析】(1)由题意可得病毒总个数y与天数x的函数关系式为y=2x-1，xN*，由2x-1108，两边取对数得(x-1)lg 28，所以x1+1+27.58，所以第一次最迟应该在第27天注射该种药物.(2)由(1)知第一次最迟应该在第27天注射该种药物，小白鼠体内的病毒总个数为226(1-98%)=2262%.再经过x天后，小白鼠体内的病毒总个数变为2262%2x，由2262%2x108，两边取对数得26lg 2+lg 2-2+xlg 28，所以x-276.2，所以第二次最迟应该再经过6天即第33天注射该种药物，才能维持小白鼠的生命.(45分钟75分)一、选择

11、题(每小题5分，共25分)1.已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=ae-n t，那么桶2中的水就是y2=a-ae-n t，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，则桶1中的水只有 L需要再过()A.5 minB.4 minC.3 minD.2 min【解析】选A.由题意得ae-5n=a-ae-5n，即e-5n=.设再过t min后桶1中的水有 L，则ae-n(t+5)=，e-n(t+5)=.将式平方得e-10n=.比较、得-n(t+5)=-10n，所以t=5.即再过5 min后桶1中的水只有L.2.某校生物小组在器皿中培养

12、果蝇，若果蝇的数量y(只)与时间t(天)的函数关系为y=，若果蝇的数量为180只，则需要的时间是_天(精确到个位).()A.10B.14C.15D.20(参考数据：1.277 8，0.004 9，ln 0.004 9-5.318 5)【解析】选C.由题意得=180，所以1+56.5e-0.37t=1.277 8，e-0.37t=0.004 9，-0.37t=ln 0.004 9，t15.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.32x-2+10(0x10， xN*)，若每台产品的售价为6万元，则当产量为8台时，生产者可获得的利润为()A.18.8万元B.19.8万元C

13、.20.8万元D.29.2万元【解析】选A.因为总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.32x-2+10(0x10， xN*)，且产量为8台，所以总成本为y=0.328-2+10=29.2(万元).因为每台产品的售价为6万元，所以当产量为8台时，生产者可获得的利润为68-29.2=48-29.2=18.8(万元).4.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A.B.y=(0.957 6C.D.【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%=1(1-t%)100，1-t%= ，所以y=(1-t%)x.【

14、拓展延伸】解决函数模型应用题应注意的几点(1)读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型.(2)对涉及的相关公式，记忆要准确.(3)在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速、正确地求解.5.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg，健康人体血液的pH保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()A.B.C.D.【解析】选C.因为=10-14，所以=101

15、4，因为7.35-lg7.45，所以10-7.4510-7.35，所以10-0.9=1014， lg=0.7lg 3lg 2，所以100.732，10-0.7，所以.二、填空题(每小题5分，共20分)6.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系式为：P=P0e-kt(k，P0均为正的常数).若在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤_小时才可以排放.【解析】t=0时，P=P0，由题意，知前5小时消除了90%的污染物，因为P=P0e-kt，所以(1-90%)P

16、0=P0e-5k，所以0.1=e-5k，即-5k=ln 0.1，所以k=-ln 0.1.由1%P0=P0e-kt，即0.01=e-kt，所以-kt=ln 0.01，t=ln 0.01，所以t=10，所以至少还需要过滤5小时才可以排放.答案：57.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T-Ta=(T0-Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降温到40 需要20 min，则降温到35 时，需要的时间为_min.(精确到1 min，参考数据：lg 20.30，lg 1.

17、10.04)【解析】由题意知40-24=(88-24)，即=，解得h=10.故T-24=(88-24).当T=35时，代入上式，得35-24=(88-24)，即=.两边取对数，得lg =lg ，所以t=1025，因此，约需要25 min，可降温到35 .答案：258.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表：强度(J)1.610193.210194.510196.41019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a，b为常数).利用散点图(如图)可知a

18、的值等于_.(取lg 2=0.3进行计算)【解析】由记录的部分数据可知x=1.61019时，y=5.0，x=3.21019时，y=5.2.所以5.0=alg(1.61019)+b，5.2=alg(3.21019)+b，-得0.2=alg ，0.2=alg 2.所以a=.答案：9.某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系t=且该食品在4 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午11时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下结论：该食品在6 时的保鲜时间是8小时；当x-6，6时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；到了此日13时，甲所

19、购买的食品还在保鲜时间内；到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是_.【解析】因为食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系t=且该食品在4 的保鲜时间是16小时.所以24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=-，所以t=当x=6时，t=8，故该食品在6 的保鲜时间是8小时，正确；当x-6，0时，保鲜时间恒为64小时，当x(0，6时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少，故错误；到了此日11时，温度为11，此时保鲜时间为小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；由可知到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确

20、，故正确的结论的序号为：.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)10.某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W(吨)与时间t(单位：小时，规定早晨六点时t=0)的函数关系为W=100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？【解析】设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt吨，减去生活用水10t吨，再减去生产

21、用水W=100吨，即y=100+10nt-10t-100(0t16).若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0y300，即0100+10nt-10t-100300，所以-+1n+1对一切t(0，16恒成立.因为-+1=-10+，+1=20-.所以0，且a1)发放；当年销售额x(万元)不小于64时，年终奖金y(万元)为年销售额x(万元)的一次函数.经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元.(1)求y关于x的函数解析式.(2)某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x(万元)的取值范围.【解析】(1)因为8

22、x64，年销售额越大，奖金越多，所以y=logax+b在(8，64上是增函数.所以，解得.所以8x64时，y=-3+log2x；又因为x64时，y是x的一次函数，设y=kx+m(k0)，由题意可得：解得.所以x64时，y=x-5.所以y关于x的函数解析式为y=(2)当0x8时，不合题意；当8x64时，2-3+log2x4，解得32x128.所以3264时，x-54，解得x72，所以64x72，综上，32x0，-1，所以Q=Q0为减函数.所以随着时间的增加，臭氧的含量减少.(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q=Q0=Q0， 即=，两边取自然对数， -=ln ，解得x=400ln 2277.2.所以278年后将会有一半的臭氧消失.