山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第12章 圆与圆相交（2） .doc

1、上述两式相除得由题设有，则由式有，即有，亦即对于式，应用性质35，知，四点共圆即知，有公共弦此时，又由性质35，当，有公共弦时，有，亦即，从而有设直线交于，对及截线应用梅涅劳斯定理，有由上式和式两式相除，得将式代入式，得注意到已知条件，有从而与重合，故，三点共线由推论9，即得如下结论：推论10在凸（或折）四边形中，分别在线段，上，点，分别在线段，或其延长线上，且满足，则，三点共线推论11 三个圆两两相交（或相切）有公共弦（或公切点），过点的割线段，依次交三个圆于、，、，则，的三个重心共线，且三个垂心共线证明仅就图12-37的情形给出证明设的重心分别为、，又、分别为，的中点，则注意到性质35，有

2、而分别在线段上，且，则由推论10，知三点共线设分别为，的外心，则由性质34，知三点共线，且由性质35必要性证法1中，知再注意到欧拉线定理，三角形的外心，重心，垂心共线，且其间距离成比例，从而由推论10知，的垂心，共线由性质35还可得到如下结论：推论12 两圆相交的公共弦为，过点的割线与分别交第一个圆于，交第二个圆于，若有一点，使得与反向相似，则证明 在图12-38，与以及与似乎顺向相似，但、是不存在的反向相似存在于图12-38（2）中设在直线，上的射影分别为、，则由反向的，知，即有此时，四点共圆，且为其直径注意到性质35，知、四点共圆，即知、五点共圆于是，故推论13 两圆相交的公共弦为，过点的

3、割线与分别交第一个圆于，交第二个圆于，若线段的中垂线与线段的中垂线相交于点，则证明 如图12-39，设，分别为，的中点，则，从而，即知、四点共圆，且为其直径此时，注意到性质35，知，四点共圆于是，、五点共圆，有，故推论14两圆相交的公共弦为，过点的割线与分别交第一个圆于、，交第二个圆于、若、四点共圆，圆心为，则证明 如图12-40，设，分别为XZ，的中点，则，从而即知、四点共圆，且为其直径，此时，注意到性质35，知、五点共圆，有，故注：此推论即为前面的性质10性质36 三个圆两两相交，一条与三圆相交（异于公共弦的端点）的直线依次与各圆交于六点，过第一、五、六点分别作该圆的直径，则这三个圆共一条

4、公共弦，且三条直径的另一端点为顶点的三角形的垂心在公共弦所在直线上的充分必要条件是这三条直弪的端点构成完全四边形的六个顶点证明 如图12-41，三个圆的圆心分别为，点，相应为直线与三个圆的交点，分别为三条直径的另一端点，充分性当，构成完全四边形的六个顶点时，则，分别为完全四边形的三条对角线，的中点，设，分别为，的垂心注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心，即知三个圆的根心，对于，在它的边所在直线上的点，关于以，为直径的圆的幂相等，即在这三个圆两两的根轴上同样，对在它的边所在直线上的点，其垂心关于以，为直径的圆的幂相等，即在这三个圆两两的根轴上同理，也都在这三个

5、圆两两的根轴上于是，均在这三个圆两两的根轴上，即这三个圆两两的根轴重合，亦即共轴三个圆两两相交时，三个圆共公共弦如图，显然的垂心在直线上必要性 设，共公共弦，且的垂心在直线上时联结，由于在直线上，则知在这三个圆两两的根轴上，即关于以，为直径的圆的幂相等，从而知这三个圆分别过的三条高，(如图)的端点，于是知，分别在边，所在直线上故与交于点，点，三点共线，即，为完全四边形的六个顶点，结论证毕（注：三圆两两不相交时，也有类似于性质36的结论）推论15完全四边形的三条对角线的中点共线，且三中点所在直线垂直于以对角线为直径的三圆的公共根轴，事实上，这可由性质34及性质36证明后的注即证三条对角线的中点所

6、在直线也常称为牛顿线或高斯线下面给出应用上述结论处理问题的几个例子：例1（第21届俄罗斯数学奥林匹克题）试证：若五边形中，则证明 如图12-42，设与交于点，联结，则由，知，四点共圆此时，即知，四点共圆于是与相交于，两点，和是过点的两条割线段，由推论1，知，故例2 （2006年全国女子数学奥林匹克题）设凸四边形的对角线交于点，的外接圆交于，两点，直线分别交，的外接圆于，两点求证：是线段的中点证明 如图12-43，联结，由与相交于，两点，应用推论1，有，亦即有联结，同理，由与相交于，两点，有，亦有 联结，有由再代入即得故是线段的中点例3 （1992年冬令营试题）凸四边形内接于圆，对角线与相交于，

7、的外接圆相交于和另一点，且，三点两两不重合试证：证明 如图12-44，由于与相交于，且，为过点的两条割线段，因，四点共圆，则由性质10，即知，即（与重合，与重合，则变为1997年全国高中联赛题）例4 （2007年中国国家队集训第5次测试题）凸四边形内接于，的延长线相交于点，对角线、相交于点，、分别为、的外心设与交于点，射线分别交，于点，设为的中点，求证：证明 如图12-45，过点作，则知切于于是，即知，从而，而，则同理，即知为平行四边形，所以分别为，的中点在射线上取点，使，则知，四点共圆而，亦知，四点共圆，即知与相交于，且，为过点的两条割线段，则由性质9，即知为的中点，亦知与重合又，知，四点共

8、圆，则，即知于是，在中，为斜边上的中线，故注：证得为的中点后，应用性质11，知，即有例5（2010年中国数学奥林匹克题）两圆，过点的一条直线分别交圆，于点，过点交于点，过点的一条直线分别交圆，于点，直线分别交圆，于点，设，分别是弧，的中点若，求证：，四点共圆证明 如图12-46，圆与圆相交于，而，为过点的两条割线段，则由推论3知平分 联结，因是弧的中点，则知是的平分线同理，是的平分线在中，三线共点于其内心，设内心为在圆，中，由圆幂定理，有，于是，有故由圆幂定理的逆定理知，四点共圆例6 （1999年第25届全俄数学奥林匹克题）点是锐角的外心，过，作圆分别交，于，证明：和的外接圆相等证明 如图12

9、-47，联结，则与内接于同一个圆而与有公共边，因此要证明与的外接圆相等，由性质6，知只需证明是等腰三角形，即证事实上，由，有在中，有，于是，故和的外接圆相等例7（2003年国家集训队训练题）设是的边上一点，但不是其中点，设和分别是和的外心，求证：的中线的垂直平分线过线段的中点证明 如图12-48，联结，则由性质1，知是的垂直平分线设为的中点，则联结，则由性质11，知于是，这说明在线段酌中垂线上故的垂直平分线过线段的中点例8 （2007年中国国家集训队训练题）锐角的外接圆在和处的切线于点，是的中点证明：证明 如图12-49，过点作与切于点的，与交于点，与的延长线交于点，联结，则，于是，四点共圆注

10、意到，则此时，又，从而于是，此说明过，的圆即与切于点由性质14，知例9 （2004年中国国家集训队测试题）圆心为和的两个半径相等的圆相交于，两点，是公共弦的中点，过任作两条割线和（、均不与重合），点，在圆上，点，在圆上，联结和，点，分别是，的中点，已知和不在两圆的公共部分内，点，均不与点重合求证：，三点共线证明 如图12-50，设，分别为，的中点，联结，则由性质11，知，即知为等腰三角形，亦即知点在的中垂线上联结，则由性质5(2)，知又联结，则由中点性质，知，从而，知为菱形，它的对角线互相垂直平分，即，也在线段的中垂线上故，三点共线，例10 （IM049预选题）设，是凸四边形内的两点，且满足四

11、边形和四边形均为圆内接四边形若在线段上存在一点，使得，证明：四边形为圆内接四边形证明 如图12-51，由性质20，知与的外接圆切于点假若直线与交于点，则由切割线定理有又，所以若直线与交于点，亦有从而，即，三条直线交于一点由此即证得为圆内接四边形若，则四边形为等腰梯形，由，可得是的中点，这与矛盾假若，则四边形，均为等腰梯形，从而四边形为等腰梯形，因此，四边形为圆内接四边形例11 （2010年中国国家集训队测试题）如图12-52，在中，是边上的高，圆与圆相交于，两点，且圆过边的中点，圆过边的中点，直线是圆与圆的一条公切线，过边上的任一点P作直线，的平行线，分别与边，交于点，求证：，四点共圆证明 注

12、意到，有，从而有，即有，设为的中点，则，从而由性质17（2），有因此另一方面，由题设可知，所以由性质3(1)，故但，所以，从而，四点共圆，于是，综上所述即知，所以不失一般性，设在，之间，则在，之间，在，之间，于是，这表明故，四点共圆例12 两圆与相交于，两点，过点的割线段，分别交于，交，于，直线与直线交于点求证：证明 如图12-53，由性质5（3）知，有，从而又由性质5（2），知，四点共圆，从而注意到，于是，即有，故例13 两圆与相交于，两点，过点的割线段交于点，交于点，两圆在，处的切线交于点，直线交的外接圆于另一点求证：等于的外接圆的直径证明 如图12-54，设直线与直线交于点，则知，四点共

13、圆又由推论1知，四点共圆，故知，五点共圆因此，分别延长，交圆于，设两圆在，的切线交与，则由性质5（1）知，注意到性质5（2）知，于是，知点在的外接圆上由上即知为的外接圆直径于是，即有设直线与直线交于点，则由及，有，即知即等于的外接圆直径例14（2009年土耳其数学奥林匹克题）已知圆和直线不相交，为圆上的点，与，与分别交于点，且，在直线上试确定所有以为直径的圆的公共点，解 令圆的圆心为，半径为，作的外接圆交于点，联结，则，于是，知，四点共圆由性质24，知由圆幂定理，有，即有对任何一对满足条件的点，因为，是固定的，所以，以为直径的圆一定过直线上的两点，其到直线的距离为例15 （2006年第35届美

14、国数学奥林匹克题）在四边形中，点和分别在边和上，且射线分别交线段和的延长线于和求证：，和的外接圆有一个公共点证明 如图12-56，延长交直线于点对及截线，对及截线分别应用梅涅劳斯定理，有，上述两式相除得（*）由题设，于是，由(*)式有，即有（*）设与的外接圆的另一交点为，对（*）式应用性质35，知也公共弦，即，四点共圆由，及，分别四点共圆，有，从而它们的补角相等，即于是，知，四点共圆故，与的外接圆有一个公共点例16 （2006年瑞士国家队选拔赛题）在锐角中，为的垂心，为的中点，分别为，的点，且，三点共线求证：的外接圆与的外接圆的公共弦垂直于证明 如图12-57，设直线，分别与，交于点，的外接圆

15、与的外接圆交于，两点(因)由，则知与反向相似，于是，由推论12，知又，所以，五点共圆而，在以为直径的圆上，为其圆心，于是，由推论14，知因此，三点共线故例17 （2009年西部数学奥林匹克题）设为锐角的垂心，为边的中点，过点的直线分别交边，于点，使得，射线与的外接圆交于点求证：，四点共圆证明 如图12-58，分别延长，交于点，交于点，则知，四点共圆，设其圆心为又设与的外接圆除交于点外，另一交点由于为的直径，则知注意到，四点共圆，其圆心为，则由推论14，知于是，三点共线又在上，即知与重合又由，有，即由上式，应哟那性质35，即知的外接圆，有公共弦故，四点共圆例18 （2003年德国国家第二轮数学竞

16、赛题）已知圆内接四边形的两条对角线，的交点为，在边，上的射影分别为，证明：的中垂线平分线段，证明 若，则四边形为等腰梯形，此时，三点共线，的中垂线就是等腰梯形的中位线故结论显然成立当时，可设直线与直线交于点，如图12-59由，则知，四点共圆，且为其直径设，分别为，的中点，则为的中垂线设，分别为，的中点，在完全四边形，应用推论15，则知，三点共线，即在直线上由，有，即又，分别为，的中点，即有于是，由推论10即知，共线，亦即在直线上故的中垂线过，的中点，结论获证练习十二l（2006年波兰数学奥林匹克题）已知是线段的中点，过点，的圆与过点、的圆相交于，两点，是上(不包含点)的中点，是上（不包含点）的

17、中点求证：2（2006年瑞士国家队选拔赛题）设是内部一点，是上不同于的一点，分别是过，三点的圆和过，三点的圆，圆，分别与交于，直线与交于，直线与交于点求证：3（2009年巴尔干地区数学奥林匹克题）在中，点，分别在边，上，且，与交于点，与的外接圆的另一个交点为证明：4（2010年湖南省夏令营题）与相交于，两点，为两圆的外公切线（离点较近）与相交于点，线段的中点为求证：5（IM046试题）给定凸四边形，且不平行于，设点和分别在边和的内部，满足直线和相交于点，直线和相交于点，直线和相交于点证明：当点和变动时，的外接圆经过除点外的另一个定点6（2006年第35届美国数学奥林匹克题）设，分别是凸四边形的

18、边和上的点，满足，射线分别与射线和交于点和证明：、和的外接圆有一个公共点7（1995年第21届俄罗斯，1996年罗马尼亚国家队选拔，1997年伊朗数学奥林匹克题）设是的一条直径，一直线与交于，两点，与直线交于点，的外接圆与的外接圆交于点证明：8（2009年越南国家队选拔赛题）设以为直径的圆为，为内的动点，的角平分线与交于点，的外角平分线与、分别交于点、，、分别与以、为直径的圆交于、证明：中过点的中线过一个定点9（2009年哥伦比亚数学竞赛题）在中，是边上一点，分别是，的内心，圆分别是以，为圆心且过点的圆设是圆，不同于点的交点，分别是圆与，靠近点的交点，分别是圆与、靠近点的交点，证明：，三线共点10（2003年第35届加拿大数学奥林匹克题）三个圆有公共弦，任一条过点的直线与三个圆的交点依次为，其中证明：为定值11（IM026试题）已知，以为圆心的圆经过三角形的顶点，且与边，分别交于另外的点，和的外接圆交于点，试证：是直角12（2006年国家集训队测试题）设，是的边上的两点，是边上的两点在，之间，在，之间，且求证：，的垂心在一条直线上13（中等数学2010（5）数学奥林匹克训练题）的三条高线，交于点，是内任意一点，求证：，的外心，三点共线14（中等数学2011（2）训练题）已知锐角，过点，的与边，分别交于点，为外接圆的弧上一点证明：，三线共点的充分必要条件是的内心与的内心重合