河北省2019年中考数学复习二次函数第16讲二次函数的解析式试题含解析.doc

1、第16讲二次函数的解析式1. (2012，河北)如图，抛物线y1a(x2)23与y2(x3)21交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.以下结论：无论x取何值，y2的值总是正数；a1；当x0时，y2y14；2AB3AC.其中正确结论是(D)第1题图A. B. C. D. 【解析】 抛物线y2(x3)21的开口向上，顶点在x轴的上方，无论x取何值，y2的值总是正数故此结论正确把A(1，3)的坐标代入y1a(x2)23，得3a(12)23.解得a.故此结论错误可知抛物线y1a(x2)23的解析式为y1(x2)23.当x0时，y1(02)23，y2(03)21.故y2y

2、1.故此结论错误抛物线y1a(x2)23与y2(x3)21交于点A(1，3)，y1的对称轴为x2，y2的对称轴为x3.B(5，3)，C(5，3)AB6，AC4.2AB3AC.故此结论正确2. (2015，河北节选)如图，已知点O(0，0)，A(5，0)，B(2，1)，抛物线l：y(xh)21(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1x20，比较y1与y2的大小第2题图【思路分析】 (1)把点B的坐标代入抛物线的解析式，得出关于h的方程，求得h的值

3、利用抛物线解析式得到它的对称轴和顶点坐标(2)把点C的横坐标代入抛物线的解析式得到yCh21，则由二次函数的最值的求法易得yC的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据函数的增减性来比较y1与y2的大小解：(1)把点B(2，1)的坐标代入y(xh)21，得1(2h)21.解得h2.所以该抛物线的解析式为y(x2)21(或yx24x3)所以抛物线l的对称轴为x2，顶点坐标是(2，1)(2)点C的横坐标为0，yCh21.当h0时，yC有最大值，最大值为1.所以此时抛物线l的解析式为yx21，对称轴为y轴，开口方向向下当x0时，y随x的增大而减小x1x20，y1y2.求二次函数的解析式例1(201

4、8，徐州，导学号5892921)已知二次函数的图象以A(1，4)为顶点，且过点B(2，5)(1)求该函数的解析式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B两点随图象移至点A，B，求OAB的面积【思路分析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设该二次函数的解析式为顶点式，然后将点B的坐标代入，即可求出二次函数的解析式(2)根据函数解析式，令x0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y0，可求得抛物线与x轴的交点坐标(3)由(2)可知抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位长度，由此可求出点A，B

5、的坐标可用割补法求出OAB的面积解：(1)设该函数的解析式为ya(x1)24.将B(2，5)的坐标代入，得5a(21)24.解得a1.该函数的解析式为y(x1)24x22x3.(2)令x0，得y3.所以与y轴的交点坐标为(0，3)令y0，得x22x30，解得x13，x21.所以与x轴的交点坐标为(3，0)，(1，0) (3)设该函数图象与x轴的交点为M，N(点M在点N的左侧)由(2)知M(3，0)，N(1，0)当函数图象向右平移经过原点时，点M与点O重合，该函数图象向右平移了3个单位长度A(2，4)，B(5，5)，如答图SOAB(25)(45)245515.例1答图针对训练1(2018，荆门京

6、山模拟)一条抛物线和抛物线y2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A. y2(x1)23 B. y2(x1)23C. y(2x1)23 D. y(2x1)23【解析】 根据题意可知该抛物线的解析式为y2(x1)23.针对训练2(2017，百色)经过A(4，0)，B(2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是 （yx2x3） .【解析】 设该抛物线的解析式为ya(x2)(x4)把C(0，3)的坐标代入，得8a3.解得a.该抛物线的解析式为y(x2)(x4)x2x3.二次函数图象与系数a，b，c的特殊关系例2(2018，抚顺一模)抛物线y1ax2bxc与

7、直线y2mxn如图所示下列结论：abc0；abc0；5ac0；当x或x6时，y1y2.其中正确结论的序号是 .例2题图【解析】 由题意，得a0，b0，c0.abc0.故正确观察图象，可知当x1时，y10，abc0.故正确3，b6a.当x5时，y0，且对称轴为x3，当x1时，y0.abc0.5ac0，即5ac0.故正确观察图象，可知当x或x6时，y1y2.故正确.针对训练3(2018，泸州泸县一模)如图，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为x1，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，其部分图象如图所示下列结论：4acb2；方程ax2bxc0的两个根是x11，x23；3ac0；当y0时，x的取值范围

8、是1x3；当x0时，y随x的增大而增大其中结论正确的是 .(填序号)训练3题图【解析】 抛物线与x轴有2个交点，b24ac0.所以正确抛物线的对称轴为x1，点(1，0)关于直线x1的对称点的坐标为(3，0)方程ax2bxc0的两个根是x11，x23.所以正确x1，b2a.当x1时，y0，abc0.3ac0.所以错误抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，当1x3时，y0.所以错误抛物线的对称轴为x1，当x1时，y随x的增大而增大所以正确.针对训练4(2018，芜湖繁昌县模拟)二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，且a0)中的x与y的部分对应值如下表：x1013y1353下列结论：a

9、c0；当x1时，y随x的增大而减小；当x2时，y5；x3是方程ax2(b1)xc0的一个根其中正确的是 .(填序号) 【解析】 将(1，1)，(0，3)，(1，5)代入yax2bxc，得解得二次函数的解析式为yx23x3.ac1330，该结论正确yx23x3，当x时，y随x的增大而减小该结论错误当x2时，y223235，该结论正确ax2(b1)xcx22x30，解得x3或x1.x3是方程ax2(b1)xc0的一个根该结论正确一、 选择题1. (2018，北京顺义区模拟)二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x1，则这个二次函数的解析式为(D)第1题图A. yx22x3 B. yx22x3C. y

10、x22x3 D . yx22x3【解析】 因为抛物线的对称轴为x1，所以设这个二次函数的解析式为ya(x1)2k.将(3，0)，(0，3)代入，得解得所以这个二次函数的解析式为y(x1)24x22x3.2. (2018，合肥包河区二模)已知二次函数yax2bx的图象经过点A(1，1)，则ab有(D)A. 最大值1 B. 最大值2C. 最小值0 D. 最小值【解析】 把点A(1，1)的坐标代入yax2bx，得ab1.ba1.aba(a1)a2a.ab有最小值.3. (2018，南京玄武区一模)已知二次函数yx25xm的图象与x轴有两个交点若其中一个交点的坐标为(1，0)，则另一个交点的坐标为(B

11、)A. (1，0) B. (4，0) C. (5，0) D. (6，0)【解析】 二次函数yx25xm的图象的对称轴为x.该二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，另一个交点的坐标为，即(4，0)4. (2018，枣庄)如图所示的是二次函数yax2bxc图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是x1.下列结论正确的是(D)第4题图A. b24ac B. ac0 C. 2ab0 D. abc0【解析】 A. 抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，即b24ac.所以此选项错误B. 抛物线的开口向上，a0.抛物线与y轴的交点在x轴的下方，c0.ac0.所以此选项错误C. 二次

12、函数图象的对称轴是x1，1.2ab0.所以此选项错误D. 抛物线过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是x1，抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)abc0.所以此选项正确5. (2018，滨州)如图，若二次函数yax2bxc(a0)的图象的对称轴为x1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(1，0)，则二次函数的最大值为abc；abc0；b24ac0；当y0时，1x3.其中正确的个数是(B)第5题图A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】 二次函数yax2bxc(a0)的图象的对称轴为x1，且开口向下，当x1时，y最大abc，即二次函数的最大值为abc.故该结论正确图象过点B(1，0)，当

13、x1时，abc0.故该结论错误图象与x轴有2个交点，故b24ac0.故该结论错误图象的对称轴为x1，与x轴交于点A，B(1，0)，A(3，0)故当y0时，1x3.故该结论正确6. (2018，莱芜)若函数yax22axm(a0)的图象过点(2，0)，则使函数值y0成立的x的取值范围是(A)A. x4或x2 B. 4x2C. x0或x2 D. 0x2【解析】 抛物线yax22axm的对称轴为x1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0)，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)a0，抛物线的开口向下当x4或x2时，y0.7. (2018，白银)如图所示的是二次函数yax2bxc(a，b，c是常数，

14、a0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x1.对于下列说法：ab0；2ab0；3ac0；abm(amb)(m为实数)；当1x3时，y0.其中正确的是(A)第7题图A. B. C. D. 【解析】 对称轴在y轴的右侧，a，b异号ab0.故正确对称轴x1，2ab0.故正确2ab0，b2a.由对称性可知，当x1时，yabc0，a(2a)c3ac0.故错误根据图象知，当m1时， am2bmc有最大值abc；当m1时，有am2bmcabc，所以abm(amb)(m为实数)故正确当1x3时，y不一定大于0.故错误二、 填空题8. (2018，洛阳洛宁县三模，导学号5892

15、921)抛物线yax2bxc经过A(2，4)，B(6，4)两点，且顶点在x轴上，则该抛物线的解析式为（ yx2x1 ）.【解析】 抛物线yax2bxc经过A(2，4)，B(6，4)两点，抛物线的对称轴是x2.顶点在x轴上，顶点坐标为(2，0)yax2bxca(x2)2.把(2，4)代入，得4a(22)2.解得a.y(x2)2x2x1.9. (2018，自贡)若函数yx22xm的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 1.【解析】 函数yx22xm的图象与x轴有且只有一个交点，2241(m)0.解得m1.10. (2018，黔西南州)已知二次函数yax2bxc图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对

16、应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 (3，0) . x1012y0343【解析】 抛物线yax2bxc经过(0，3)，(2，3)两点，对称轴x1.点(1，0)关于对称轴的对称点为(3，0)二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标是(3，0)三、 解答题 11. (2018，淮北相山区二模)已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(2，5)，求此二次函数的解析式【思路分析】 设二次函数的解析式为ya(x1)24，然后把(2，5)代入求出a的值即可解：设该二次函数的解析式为ya(x1)24.把(2，5)代入，得a(21)245.解得a1.所以该二次函数的解析式为y(x1)2

17、4.12. (2018，宁夏)如图，抛物线yx2bxc经过点A(3，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AB，AC，BC，求ABC的面积第12题图【思路分析】 (1)利用待定系数法求抛物线的解析式(2)利用割补法求ABC的面积解：(1)抛物线yx2bxc经过A(3，0)，B(0，3)，解得抛物线的解析式为yx2x3.(2)由(1)知抛物线的解析式为yx2x3，抛物线的对称轴为x.把x代入yx2x3，得y4.点C的坐标为(，4)设线段AB所在直线的解析式为ykxn.线段AB所在直线经过点A(3，0)，B(0，3)，解得线段AB所在直线的

18、解析式为yx3.如答图，设抛物线的对称轴l与直线AB交于点D，与x轴交于点E.设点D的坐标为(，m)将点D(，m)的坐标代入yx3，解得m2.点D的坐标为(，2)由点C，D的坐标可知CE4，DE2.CDCEDE2.如答图，过点B作BFl于点F.BFOE.BFAEOEAEOA3，SABCSBCDSACDCDBFCDAECD(BFAE)233.第12题答图1. (2018，大庆，导学号5892921)如图，二次函数yax2bxc的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，C(4，y1)若D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数yax2bxc的最小值为4a；若1x24，则0y25a；若y

19、2y1，则x24；一元二次方程cx2bxa0的两个根为1和.其中正确结论的个数是(B)第1题图A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】 二次函数yax2bxc的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，抛物线的解析式为ya(x1)(x3)ax22ax3aa(x1)24a.当x1时，二次函数有最小值4a.所以正确当x4时，y19a4a5a，当1x24时，4ay25a.所以错误点C(4，5a)关于直线x1的对称点为(2，5a)，当y2y1时，x24或x22.所以错误易得b2a，c3a，方程cx2bxa0可化为3ax22axa0.整理，得3x22x10.解得x1或x.所以正确2. (2018，龙东

20、，导学号5892921)如图，抛物线yx2bxc与y轴交于点A(0，2)，对称轴为x2，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴的左侧，BC6.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P在x轴上，直线CP将ABC的面积分成23两部分，请直接写出点P的坐标第2题图【思路分析】 (1)由对称轴x2，以及点A的坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线的解析式(2)由抛物线的对称轴及BC的长，确定出点B与点C的横坐标，代入抛物线的解析式求出纵坐标，确定出点B与点C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，作直线CP，与AB相交于点Q，过点Q作QHy轴于点H，设BC与y轴相交于点M，由已知面积之比求

21、出QH的长，确定出点Q的横坐标，代入直线AB的解析式求出纵坐标，确定出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线CQ的解析式，即可确定出点P的坐标解：(1)由题意，得x2.解得b4.抛物线与y轴交于点A(0，2)，c2.所以此抛物线的解析式为yx24x2.(2)抛物线的对称轴为x2，BC6，点B的横坐标为5，点C的横坐标为1.把x1代入yx24x2，得y7.B(5，7)，C(1，7)设直线AB的解析式为ykx2.把点B的坐标代入，得k1，即yx2.如答图，作直线CP，与AB相交于点Q，过点Q作QHy轴于点H.设BC与y轴相交于点M，则AQHABM.点P在x轴上，直线CP将ABC的面积分成23两部分，AQQB23或AQQB32，即AQAB25或AQAB35.BM5，QH2或QH3.当QH2时，把x2代入直线AB的解析式，得y4.此时Q(2，4)，直线CQ的解析式为yx6.令y0，得x6，即P(6，0)当QH3时，把x3代入直线AB的解析式，得y5.此时Q(3，5)，直线CQ的解析式为yx.令y0，得x13，即P(13，0)综上所述，点P的坐标为(6，0)或(13，0)第2题答图