河北省2019年中考数学复习第二部分热点专题突破专题四取值范围的确定试题含解析.doc

1、专题四取值范围的确定几何背景例1 (2018，石家庄模拟)如图，在矩形纸片ABCD中，AB4，BC3，翻折矩形纸片，使点A落在对角线DB上的点F处，折痕为DE，打开矩形纸片，并连接EF.(1)BD的长为 5 ；(2)求AE的长；(3)在BE上是否存在点P，使得PFPC的值最小？若存在，请你确定点P的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由例1题图【思路分析】 (1)根据勾股定理解答即可(2)设AEx，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可(3)延长CB到点G，使BGBC，连接FG，交BE于点P，确定点P的位置，连接PC，再利用相似三角形的判定和性质，最后利用勾股定理解答即可解：(1)5(2

2、)设AEx.AB4，BE4x.根据折叠的性质，知RtFDERtADE.FEAEx，FDADBC3，EFDA90.BFBDFD532.在RtBEF中，根据勾股定理，得FE2BF2BE2，即x24(4x)2.解得x.AE的长为.(3)存在如答图，延长CB到点G，使BGBC，连接FG，交BE于点P，则点P即为所求连接PC，此时有PCPG.PFPCGF.过点F作FHBC，交BC于点H，则有FHDC.BFHBDC.，即.FH，BH.GHBGBH3.在RtGFH中，根据勾股定理，得GF.所以PFPC的最小值为.例1答图 针对训练1 (2012，河北，导学号5892921)如图，在ABC中，AB13，BC1

3、4，cosABC.【探究】如图，AHBC于点H，则AH 12 ，AC 15 ，ABC的面积为 84 .【拓展】如图，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F.设BDx，AEm，CFn.(当点D与点A重合时，我们认为SABD0)(1)用含x，m，n的代数式表示SABD及SCBD；(2)求mn关于x的函数解析式，并求mn的最大值和最小值；(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围【发现】请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值训练1题图【思路分析】 【探究】先在RtABH中，由A

4、B13，cosABC，可得AH12，BH5，则CH9，再解RtACH，即可求出AC的长，最后根据三角形的面积公式即可求出SABC的值【拓展】(1)由三角形的面积公式即可求解(2)首先由(1)可得m，n，再根据SABDSCBDSABC84，即可求出mn关于x的函数解析式，然后由点D在AC上(可与点A，C重合)，可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长，由此便可确定mn的最大值与最小值(3)因为BCBA，所以当以点B为圆心，大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意故根据点D的唯一性，分两种情况：当BD为ABC的边AC上的高时，点D符合题意当ABBDBC时，点D符合题意【发现】

5、因为ACBCAB，所以使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线解：【探究】121584【拓展】(1)由三角形的面积公式，得SABDBDAExm，SCBDBDCFxn.(2)由(1)得m，n，mn.AC边上的高为，x的取值范围是x14.mn随x的增大而减小，当x时，mn的最大值为15.当x14时，mn的最小值为12.(3)x的取值范围是x或13x14.【发现】ACBCAB，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高为.这个最小值为. 针对训练2 (2011，河北)如图至中，两平行线AB，CD间的距离均为6，M为AB上一定点【思考】如

6、图，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN8，P为半圆上一点，设MOP.当 90 时，点P到CD的距离最小，最小值为 2 .【探究一】在图的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图，得到最大旋转角BMO 30 ，此时点N到CD的距离是 2 .【探究二】将图中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转(1)如图，当60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；(2)如图，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的

7、取值范围训练2题图【思路分析】 【思考】根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案【探究一】根据sinBMO，得到最大旋转角BMO30，此时点N到CD的距离是2.【探究二】(1)由已知得出点M与点P的距离为4，当PMAB时，点P到AB的距离最大，从而点P到CD的距离最小，当弧MP与AB相切时，可得出BMO的最大值(2)当弧MP与CD相切于点P时，可求出的最大值当点P在CD上且与AB距离最小时，可求出的最小值，进而可得出的取值范围解：【思考】902【探究一】302【探究二】(1)如答图，连接MP.60，MOP是等边三角形MPMO4.当PMAB时，点P到AB的距离最大，是4.点M与点P之间的距离为4

8、，点P到CD的最小距离为642.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，BMO的最大值为90.(2)如答图.由【探究一】可知，当P是弧MP与CD的切点时，最大，即OPCD，此时延长PO交AB于点R，的最大值为OMRORM3090120.如答图，连接MP，作HOMP于点H.当点P在CD上且与AB距离最小，即MPCD时，最小由垂径定理，得MH3.在RtMOH中，MO4.sinMOH.MOH49.2MOH，最小为98.的取值范围为98120.训练2答图例2 (2017，河北，导学号5892921)如图，AB16，O为AB的中点，点C在线段OB上(不与点O，B重

9、合)，将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧 CD 于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.(1)求证：APBQ；(2)当BQ4时，求 弧QD 的长；(3)若APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围例2题图【思路分析】 (1)连接OQ，只要证明RtAPORtBQO即可解决问题(2)求出优弧DQ所对的圆心角以及所在圆的半径即可解决问题(3)由APO的外心是OA的中点，OA8，推出APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC8.(1)证明：如答图，连接OQ.AP，BQ是O的切线，OPAP，OQBQ.APOBQO90.在RtAPO和RtBQO中，R

10、tAPO RtBQO.APBQ.(2)解：RtAPO RtBQO，AOPBOQ，P，O，Q三点共线在RtBOQ中，cos B，B30.BOQ60.OQOBAB4.优弧QD的长为.(3)解：APO的外心是OA的中点，OA8，当APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC8.例2答图针对训练3 (2018，石家庄模拟)如图，在RtABO中，B90，OAB30，OA3.以点O为原点，斜边OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P(4，0)为圆心，PA的长为半径画圆，P与x轴的另一交点为N，点M在P上，且满足MPN60，P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动设运动时间为t s.【发现

11、】(1)弧MN的长度为（ ）；(2)当t2时，求扇形MPN与RtABO重叠部分的面积【探究】当P和ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标【拓展】当弧MN与RtABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围训练3题图【思路分析】 【发现】(1)先确定出弧MN所在圆的半径，进而用弧长公式即可得出结论(2)先求出PA1，进而求出AQ，PQ的长，即可用面积公式得出结论【探究】分圆和直线AB、直线OB相切，利用三角函数即可得出结论【拓展】先找出弧MN和RtABO的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论解：【发现】(1)(2)设P的半径为r，则有r431.当t2时，如答图，点N与点A重合，PAr1.设

12、MP与AB相交于点Q.OAB30，MPN60，PQA90.PQPA.AQAPcos 30.S重叠部分SAPQPQAQ，即重叠部分的面积为.【探究】如答图，当P与AB边所在的直线相切于点C时，连接PC，则有PCAB，PCr1.OAB30，AP2.OPOAAP321.点P的坐标为(1，0)如答图，当P与OB边所在的直线相切于点D时，连接PD，则有PDOB，PDr1.PDAB.OPDOAB30.cosOPD，OP.点P的坐标为.如答图，当P与OB边所在的直线相切于点E时，连接PE，则有PEOB，PEr1.同理OP.点P的坐标为.综上所述，当P和ABO的边所在的直线相切时，点P的坐标为(1，0)或或.

13、【拓展】t的取值范围是2t3，4t5.训练3答图针对训练4 (2014，河北，导学号5892921)如图和图，优弧AB所在O的半径为2，AB2.P为优弧AB上一点(点P不与点A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A.(1)点O到弦AB的距离是 1 ，当BP经过点O时，ABA 60；(2)当BA与O相切时，如图，求折痕的长；(3)若线段BA与优弧AB只有一个公共点B，设ABP.确定的取值范围训练4题图 【思路分析】 (1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到弦AB的距离利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出ABA.(2)根据切线的性质得到OBA90，从而得到ABA120，就可求出AB

14、P，进而求出OBP30.过点O作OGBP，垂足为G，容易求出BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长(3)根据点A的位置不同，得到线段BA与优弧AB只有一个公共点B时，的取值范围是030或60120.解：(1)160(2)如答图，连接OB，过点O作OGBP，垂足为G.训练4答图BA与O相切，OBAB.OBA90.OBA30，ABA120.ABPABP60.OBP30.BGOBcos 30.OGBP，PGBG.BP2.折痕的长为2.(3)点P不与点A重合，0.由(1)，得当增大到30时，点A在弧AB上当030时，点A在O内，线段BA与优弧AB只有一个公共点B.由(2)，知当增大到60时，BA与O相

15、切，即线段BA与优弧AB只有一个公共点B.当继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P不与点B重合，OBP90.OBAOBP，OBA30，120.当60120时，线段BA与优弧AB只有一个公共点B.综上所述，线段BA与优弧AB只有一个公共点B时，的取值范围是030或60120.函数背景1. 一次函数与反比例函数背景下确定取值范围例3 (2010，河北，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；(2)若反比例

16、函数y(x0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数y(x0)的图象与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围例3题图【思路分析】 (1)设直线DE的解析式为ykxb，直接把点D，E的坐标代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入直线DE的解析式求得其横坐标即可(2)利用点M的坐标求得反比例函数的解析式，根据点N在直线DE上求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可(3)满足条件的最内的双曲线的m4，最外的双曲线的m8，所以可得其取值范围解：(1)设直线DE的解析式为ykxb.

17、点D，E的坐标分别为(0，3)，(6，0)，解得直线DE的解析式为yx3.点M在AB边上，B(4，2)，四边形OABC是矩形，点M的纵坐标为2.点M在直线yx3上，2xM3.xM2.M(2，2)(2)y(x0)经过点M(2，2)，m4.y.点N在BC边上，B(4，2)，点N的横坐标为4.点N在直线yx3上，yN1.N(4，1)当x4时，y1，点N在函数y的图象上(3)4m8.针对训练5 (2018，石家庄43中模拟，导学号5892921)在平面直角坐标系中，已知直线yx4和点M(3，2)(1)判断点M是否在直线yx4上，并说明理由；(2)将直线yx4沿y轴平移，当它经过点M关于坐标轴的对称点时

18、，求平移的距离；(3)另一条直线ykxb经过点M且与直线yx4交点的横坐标为n，当ykxb随x的增大而增大时，n的取值范围是 2n3 .【思路分析】 (1)将x3代入yx4，求出y3412，即可得点M(3，2)不在直线yx4上(2)设直线yx4沿y轴平移后的解析式为yx4a.分两种情况进行讨论：点M(3，2)关于x轴的对称点为M1(3，2)；点M(3，2)关于y轴的对称点为M2(3，2)分别求出a的值，得到平移的距离(3)由直线ykxb经过点M(3，2)，把xn，代入yx4求出交点的坐标，再结合k0，得出结果解：(1)点M不在直线yx4上理由：当x3时，y3412，点M(3，2)不在直线yx4

19、上(2)设直线yx4沿y轴平移后的解析式为yx4a.点M(3，2)关于x轴的对称点为M1(3，2)点M1(3，2)在直线yx4a上，234a.a3，即平移的距离为3.点M(3，2)关于y轴的对称点为M2(3，2)点M2(3，2)在直线yx4a上，234a.a5，即平移的距离为5.综上所述，平移的距离为3或5.(3)2n3 针对训练6 (2018，张家口桥东区模拟，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)，直线l的解析式为ykx23k(k0)，反比例函数y的图象上有两点M，N，点M，N的纵坐标分别为2，1.(1)当k1时，直线l的解析式为 yx1 ，并直接在坐标系中

20、画出直线l；(2)通过计算说明：点A在直线l上；(3)记y(x0)图象上M，N两点及之间的部分为G.若图象G与直线l有公共点，求k的取值范围训练6题图【思路分析】 (1)将k1代入直线l的解析式即可解决问题(2)将点A的横坐标代入直线l的解析式判断即可解决问题(3)求出M，N两点的坐标，利用待定系数法，求出直线l经过M，N两点时k的值，即可判断解：(1)yx1直线l如答图所示(2)当x3时，y3k23k2.点A在直线l上(3)对于反比例函数y，当y2时，x1.当y1时，x2.M(1，2)，N(2，1)当点M在直线l上时，2k23k.解得k1.当点N在直线l上时，12k23k.解得k.所以满足条

21、件的k的取值范围为1k.训练6答图例4 (2018，秦皇岛海港区一模，导学号5892921)如图，抛物线C1：yx2bxc经过点A(1，0)和点B(5，0)已知直线l的解析式为ykx5.(1)求抛物线C1的解析式、对称轴和顶点坐标；(2)若直线l将线段AB分成13两部分，求k的值；(3)当k2时，直线l与抛物线交于M，N两点，P是抛物线位于直线l上方的一点，当PMN的面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值；(4)将抛物线C1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为C2，如图.直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；直接写出直线l与图象C2有四

22、个交点时k的取值范围例4题图【思路分析】 (1)根据二次函数的交点式可得函数的解析式(2)根据线段的比，可得直线l与x轴的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案(3)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PH.根据三角形的面积，可得二次函数根据二次函数的性质，可得答案(4)根据函数图象的增减趋势，可得答案找到界点，求出l过界点时k的值，可得答案解：(1)抛物线C1：yx2bxc经过点A(1，0)和点B(5，0)，y(x1)(x5)x26x5(x3)24.抛物线C1的解析式为yx26x5，对称轴为x3，顶点坐标为(3，4)(2)直线l将线段AB分成13两部分，l

23、经过点(2，0)或(4，0)02k5或04k5.k或k. 例4答图(3)如答图，设P(x，x26x5)是抛物线位于直线l上方的一点解方程组解得或不妨设M(0，5)，N(4，3)，0x4.过点P作PHx轴交直线l于点H，则H(x，2x5)PHx26x5(2x5)x24x.SPMNPHxN(x24x)42(x2)28.0x4，当x2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3)(4)当x1或3x5时，y随x的增大而增大当62k1时，直线l与图象C2有四个交点针对训练7 (2018，保定竞秀区一模，导学号5892921)在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：yx24x3与x轴交于A，B两点(点A在点B

24、的左侧)，顶点为C.(1)求点C和点A的坐标；(2)定义“L双抛图形”：直线xt将抛物线L分成两部分，先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线xt的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线xt的“L双抛图形”(特别地，当直线xt恰好是抛物线的对称轴时，得到的“L双抛图形”不变)当t0时，抛物线L关于直线x0的“L双抛图形”如图所示，直线y3与“L双抛图形”有 3 个交点；若抛物线L关于直线xt的“L双抛图形”与直线y3恰好有2个交点，结合图象，可知t的取值范围是 0t4 ；当直线xt经过点A时，“L双抛图形”如图所示，现将线段AC所在直线沿水平(x轴)方向向右平移，交“L双抛

25、图形”于点P，交x轴于点Q，满足PQAC时，求点P的坐标训练7题图【思路分析】 (1)令y0，得x24x30，然后求得方程的解，从而可得到点A，B的坐标，然后再求得抛物线的对称轴为x2，最后将x2代入可求得点C的纵坐标(2)抛物线与y轴交点坐标为(0，3)，然后作出直线y3，求出交点个数即可将y3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可得到直线y3与“L双抛图形”恰好有3个交点时t的值，然后结合函数图象可得到“L双抛图形”与直线y3恰好有2个交点时t的取值范围先证明四边形ACQP为平行四边形，由此得到点P的纵坐标为1，然后由函数解析式可求得点P的横坐标解：(1)令y0，得x24x30.解得x

26、1或x3.A(1，0)，B(3，0)抛物线的对称轴为x2.将x2代入抛物线的解析式，得y1.C(2，1)(2)30t4训练7答图如答图PQAC且PQAC，四边形ACQP为平行四边形点C的纵坐标为1，点P的纵坐标为1.将y1代入抛物线的解析式，得x24x31.解得x2或x2(舍去)点P的坐标为(2，1)针对训练8 (2018，石家庄桥西区一模，导学号5892921)如图，抛物线yx2mx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为(4，0)(1)求抛物线的解析式和点B，C的坐标；(2)判断ABC的形状，并求出ABC的外接圆的圆心坐标；(3)P是抛物线上一动点(不与点C重合)，当ABC

27、与ABP的面积相等时，求点P的坐标；(4)将图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，如图所示，过点C作直线l平行于x轴，与图象的交点从左到右依次为点D，E，C，F，直接写出新图象在直线l上方部分，y随x增大而增大时x的取值范围训练8题图【思路分析】 (1)利用待定系数法即可解决问题(2)利用勾股定理的逆定理即可判定ABC是直角三角形(3)由ABC与ABP的面积相等，推出点P的纵坐标为2或2，由此即可解决问题(4)求出点E，F的坐标，观察图象即可判定解：(1)A(4，0)在抛物线yx2mx2上，m.抛物线的解析式为yx2x2.令y0，得x2x20.解得x4或x1.B(1，0)令x0，得y2.C(0，2)(2)OA4，OC2，OB1，AB5，AC2，BC.AC2BC2AB2.ACB90，ABC是直角三角形ABC的外接圆的圆心坐标为.(3)如答图训练8答图ABC与ABP的面积相等，CP1AB，P2P3AB.点P的纵坐标为2或2.当y2时，易知P1(3，2)当y2时，x2x22.解得x.P2，P3.(4)3x或x.