河北省乐亭新寨高级中学高一数学教案：第一章 解三角形 第五课时解三角形应用举例 必修5.doc

1、教学目标：会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定.教学过程：.课题导入解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果

2、我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.讲授新课例1自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为195 m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为140 m，计算BC的长（保留三个有效数字）.分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC140 m，AB195 m，BAC606206620.相当于已知ABC的两边和它们的

3、夹角，所以求解BC可根据余弦定理.解：由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA195214022195140cos66203571BC189（m）答：油泵顶杆BC约长189 m.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来. 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以9 n mileh的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n

4、mileh的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的1，2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.解：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，则AB21x n mile，BC9x n mile，AC10 n mile，ACB1245（180105）120根据余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcos120得 （21x）2102（9x）22109xcos120，即36x29x2100解得x1，x2（舍去）AB21x14，B

5、C9x6 再由余弦定理可得：cosBAC09286， BAC2147，4521476647.而舰艇方位角为6647，小时即40分钟.答：舰艇应以6647的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0，360）.在利用余弦定理建立方程求出x后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.从上述两个例题，大家可以看出，实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中，我们继续加以体会.例3如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距

6、A处（1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD10t海里，BD10t海里.BC2AB2AC22ABACcosA（1）2222（1）2cos1206BCsinABCABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120 sinBCD，BCD30，DCE903060由CBD120，BCD30，得D30BDBC，即10tt（小时）1

7、5（分钟）答：缉私船沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.例4用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角，EAC180两角与BDa一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得AE在RtAEG中，EGAEsinEFEGbb，答：气球的高度是b.评述：此题也可以通过解两个直角三角

8、形来解决，思路如下：设EGx，在RtEGA中，利用cot表示AG；在RtEGC中，利用cot表示CG，而CGAGCABDa，故可以求出EG，又GFCDb，故EF高度可求.例5如图所示，已知半圆的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与POB大小变化之间的联系，自然引入POB作为自变量建立函数关系.四边形OPDC可以分成OPC与等边PDC，SOPC可用OPOCsin表示，而

9、等边PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.解：设POB，四边形面积为y，则在POC中，由余弦定理得PC2OP2OC22OPOCcos54cosySOPCSPCD12sin（54cos）2sin（）当即时，ymax2.评述：本题中余弦定理为表示PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式sin()sincoscossin的构造及逆用，应要求学生予以重视. .课堂练习 课本P20 练习1，2，3，4.课时小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.课后作业课本P21习题 1，2，3.