2021版高考数学一轮复习 高频考点集中练 立体几何 苏教版.doc

1、高频考点集中练立体几何1.(2018全国卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【命题思维分析】求异面直线所成的角是高考常考的题目,本题主要是考查空间直角坐标系的建立,各点坐标的表示及利用向量数量积求向量夹角,然后根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.【解析】选C.方法一:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),设异面直线AD1与DB1所成角为,则cos =

2、|cos􀎮,􀎯|=.方法二:如图.连接A1D交AD1于点E.取A1B1中点F,连接EF,则EF􀱀B1D,连接D1F,在D1FE中,D1EF为异面直线AD1与DB1的夹角.由已知EF=DB1=,D1E=AD1=1,D1F=,所以cosD1EF=.【真题拾贝】求异面直线所成角主要有以下两种方法:(1)几何法:平移两直线中的一条或两条,到一个平面中;利用边角关系,找到(或构造)所求角所在的三角形;求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角.(2)向量法:求两直线的方向向量;求两向量夹角的余弦;因为直线夹角为锐角,所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的

3、余弦值.2.(2018全国卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.【命题思维分析】本题考查正方体的截面问题,命题思维是由正方体的棱分为三组,每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果.【解析】选A.由于平面与每条棱所成的角都相等,所以平面与平面AB1D1平行或重合(如图),而在与平面AB1D1平行的所有平面中,面积最大的为由各棱的中点构成的截面EFGHMN,而平面EF

4、GHMN的面积S=6=.【真题拾贝】该题考查的是有关正方体被平面所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面积的求法,应用相关的公式求得结果.3. (2018全国卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54【解析】选B.设ABC的边长为a,则SABC=a2sin C=a2=9,解得a=6,如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O

5、,则在直角三角形AHO中,AH=6=2,OA=R=4,则OH=2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=SABCDH=96=18.【真题拾贝】本题主要考查三棱锥的外接球,考查了勾股定理,三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出当DH平面ABC时,三棱锥D-ABC体积最大很关键,由H为等边三角形ABC的中心,计算得到AH=AE=2,再由勾股定理得到OH,进而得到结果.4.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为_.【解析】如图:设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底

6、面所成角为45,所以l=r,在SAB中,AB2=SA2+SB2-2SASBcosASB=r2,AB=r,AB边上的高为=r,SAB的面积为5,所以rr=5,解得r=2,所以该圆锥的侧面积为rl=r2=40.答案:405.(2017全国卷)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_.【命题思维分析】本题主要

7、考查折叠问题,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,由题意得,ODBC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h=,SABC=2x3x=3x2,则V=SABCh=x2=,令f=25x4-10x5,x,f=100x3-50x4,令f0,即x4-2x30,x2,则ff=80,则V=4,所以体积最大值为4 cm 3.答案:4 cm 3【真题拾贝】1.折叠问题要注意折叠前后哪些元素不变,哪些元素的相对位置或长度等发生了变化.2.立

8、体几何、函数、导数交汇问题的解决原理一般是,先设出线段长度,把所求问题表示成关于x的函数,将立体几何问题转化为研究函数最值问题,再用导数求解.3.数学建模要有较强的空间想象能力和转化化归能力.6.(2018全国卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【命题思维分析】(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系,即BFPF,BFEF,又因为PFEF=F,利用线面垂直的判定定理可以得出BF平面PEF,又BF平面ABFD,利用面面垂直的判定定理

9、证得平面PEF平面ABFD.(2)结合题意,建立相应的空间直角坐标系,正确写出相应的点的坐标,求得平面ABFD的法向量,设DP与平面ABFD所成角为,利用线面角的定义,可以求得sin =,得到结果.【解析】(1)由已知可得,BFPF,BFEF,PFEF=F,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)方法一:作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,设正方形ABCD的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEPF.可得PH=,

10、EH=.则H(0,0,0),P,D,=,=为平面ABFD的一个法向量.设DP与平面ABFD所成角为,则sin =.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.方法二:因为PFBF,BFED,所以PFED,又PFPD,EDDP=D,所以PF平面PED,所以PFPE,设AB=4,则EF=4,PF=2,所以PE=2,过P作PHEF交EF于H点,由平面PEF平面ABFD,所以PH平面ABFD,连接DH,则PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角,由PEPF=EFPH,所以PH=,因为PD=4,所以sinPDH=,所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.【真题拾贝】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解,属于常规题目,在解题的过程中,需要明确面面垂直的判定定理的条件,这里需要先证明线面垂直,所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系,从而证得结果;对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成,注意相对应的等量关系即可.