河北省元氏县第四中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷 WORD版含答案.doc

1、2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学试题 时间：120分钟 满分：150分一单选题（共8小题，每小题5分，满分40分。）1已知直线l1：tx+2y30，l2：（t1）x+ty+30，则“t2+2t+10”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是（）ABCD3已知命题p：xR，x2x+10命题q：若a2b2，则ab，下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq4已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为3，则该双曲

2、线的离心率为（）A52B72C3D55已知ABC的周长为20，且顶点B（0，4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）Ax236+y220=1（x0）Bx220+y236=1（x0）Cx26+y220=1（x0）Dx220+y26=1（x0）6直线xsin+y+20的倾斜角的取值范围是（）A0，） B0，434，） C0，4 D0，4（2，）7直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C2，32D22，328直线x+y1与圆x2+y22ay0（a0）没有公共点，则a的取值范围是（）A（0，2-1）B（2-1，2+

3、1） C（-2-1，2+1）D（0，2+1）二多项选择题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）Axy+10Bx+y30C2xy0Dxy1010已知双曲线C过点（3，2）且渐近线为y33x，则下列结论正确的是（）AC的方程为x23-y21BC的离心率为3C曲线yex21经过C的一个焦点D直线x-2y-10与C有两个公共点11已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（）Ap是q的既不充分也不必要条件Bp

4、是s的充分条件Cr是q的必要不充分条件Ds是q的充要条件12已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A椭圆C的方程为y23+x21 B椭圆C的方程为x23+y21C|PQ|=233 DPF2Q的周长为43三填空题（共4小题，每小题5分，满分20分。）13坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为 14若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 15已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 16若直线3x4y+50与圆x2+y

5、2r2（r0）相交于A，B两点，且AOB120，（O为坐标原点），则r 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知直线l的方程为2xy+10（1）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（2）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为5的直线l2的方程18（12分）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，-3），且圆心C在直线yx上（1）求圆C的方程；（2）过点（1，33）的直线l截圆所得弦长为23，求直线l的方程19（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AC，AB1的中点，（1）求直线AB1 和平面A1B1C1D1 所成的角大小；（2）求证：EF平面BB

6、1C1C20（12分）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|（1）若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；（2）若cosAF2B=35，求椭圆E的离心率21（12分）已知p：对于xR，x2+kx+k0成立，q：关于k的不等式（km）（k2）0（m2）成立（1）若p为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围22（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面AD

7、C1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90的角）的余弦值2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学 参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1 已知直线l1：tx+2y30，l2：（t1）x+ty+30，则“t2+2t+10”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：t2+2t+10，t1，由l1：tx+2y30，l2：（t1）x+ty+30，当l1l2时，有t（t1）+2t0，解得t0或1，故t2+2t+10l1l2，但l1l2推不出t2+2t+10，故t2+2t+10是l1l2的充分不必要条件，故选：A

8、2 已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是（）ABCD【解答】解：l平面且可以得到直线l平面，又由直线m平面，所以有lm；即为真命题；因为直线l平面且可得直线l平行与平面或在平面内，又由直线m平面，所以l与m，可以平行，相交，异面；故为假命题；因为直线l平面且lm可得直线m平面，又由直线m平面可得；即为真命题；由直线l平面以及lm可得直线m平行与平面或在平面内，又由直线m平面得与可以平行也可以相交，即为假命题所以真命题为故选：C3 已知命题p：xR，x2x+10命题q：若a2b2，则ab，下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【解答】解：命

9、题p：x0R，使x2x+10成立故命题p为真命题；当a1，b2时，a2b2成立，但ab不成立，故命题q为假命题，故命题pq，pq，pq均为假命题；命题pq为真命题，故选：B4 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为（）A52B72C3D5【解答】解：由题意可得2，一条渐近线l：bxay0，设双曲线的右焦点为F（c，0），则点F到直线l的距离d=|bc|a2+b2=|bc|c=b=3，所以c=a2+b2=7，离心率e=ca=72，故选：B5 已知ABC的周长为20，且顶点B（0，4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）Ax2

10、36+y220=1（x0）Bx220+y236=1（x0）Cx26+y220=1（x0）Dx220+y26=1（x0）【解答】解：ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4），BC8，AB+AC20812，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a6，c4b220，椭圆的方程是x220+y236=1(x0)故选：B6 直线xsin+y+20的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，434，）C0，4D0，4（2，）【解答】解：直线xsin+y+20的斜率为ksin，1sin1，1k1倾斜角的取值范围是0，434，）故选：B7 直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两

11、点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C2，32D22，32【解答】解：直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，令x0，得y2，令y0，得x2，A（2，0），B（0，2），|AB|=4+4=22，点P在圆（x2）2+y22上，设P（2+2cos，2sin），点P到直线x+y+20的距离：d=|2+2cos+2sin+2|2=|2sin(+4)+4|2，sin（+4）1，1，d=|2sin(+4)+4|22，32，ABP面积的取值范围是：12222，1222322，6故选：A8 直线x+y1与圆x2+y22ay0（a0）没有公共点，则a的取值范围是

12、（）A（0，2-1）B（2-1，2+1）C（-2-1，2+1）D（0，2+1）【解答】解：把圆x2+y22ay0（a0）化为标准方程为x2+（ya）2a2，所以圆心（0，a），半径ra，由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y1的距离d=|a-1|1+1ra，当a10即a1时，化简为a12a，即a（1-2）1，因为a0，无解；当a10即0a1时，化简为a+12a，即（2+1）a1，a12+1=2-1，所以a的范围是（0，2-1）故选：A二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9 若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）Axy+10Bx+y3

13、0C2xy0Dxy10【解答】解：当直线经过原点时，斜率为k=2-01-0=2，所求的直线方程为y2x，即2xy0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为xyk，把点A（1，2）代入可得12k，或1+2k，求得k1，或k3，故所求的直线方程为xy+10，或x+y30；综上知，所求的直线方程为 2xy0、xy+10，或x+y30故选：ABC10 已知双曲线C过点（3，2）且渐近线为y33x，则下列结论正确的是（）AC的方程为x23-y21BC的离心率为3C曲线yex21经过C的一个焦点D直线x-2y-10与C有两个公共点【解答】解：设双曲线C的方程为x2m+y2n=1（mn0），根据条件可得9m+

14、2n=1，且-nm=13，解得m3，n1，所以双曲线C的方程为x23-y2=1，故A对；离心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B错；双曲线C的焦点为（2，0），（2，0），将x2代入得ye010，所以C对；联立x23-y2=1x-2y-1=0，整理得y222y+20，则880，故只有一个公共点，故D错，故选：AC11 已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（）Ap是q的既不充分也不必要条件Bp是s的充分条件Cr是q的必要不充分条件Ds是q的充要条件【解答】解：由已知得：prsq；qrsp是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条

15、件正确的是B、D故选：BD12 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（）A椭圆C的方程为y23+x21B椭圆C的方程为x23+y21C|PQ|=233DPF2Q的周长为43【解答】解：由已知得，2b2，b1，ca=63，又a2b2+c2，解得a23椭圆方程为x2+y23=1如图：|PQ|=2b2a=23=233，PF2Q的周长为4a43故选：ACD三填空题（共4小题）13坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为（6，6）【解答】解：设坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为（a，b），则b

16、a1=-1a2-b2-6=0，解得a6，b6，坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为（6，6）故答案为：（6，6）14若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y50【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为-1KOP=-12-01-0=-12，故切线的方程为y2=-12（x1），即 x+2y50，故答案为：x+2y5015已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为92【解答】解：设正方体的棱长为a，这个正方体的表面积为18，6a218，则a23，即a=3，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于

17、球的直径，即3a2R，即R=32，则球的体积V=43（32）3=92；故答案为：9216若直线3x4y+50与圆x2+y2r2（r0）相交于A，B两点，且AOB120，（O为坐标原点），则r2【解答】解：若直线3x4y+50与圆x2+y2r2（r0）交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB120，则圆心（0，0）到直线3x4y+50的距离drcos1202=12r，即532+42=12r，解得r2，故答案为：2四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知直线l的方程为2xy+10（1）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（2）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为5的直线

18、l2的方程【解答】解：（）设与直线l：2xy+10垂直的直线l1的方程为：x+2y+m0，把点A（3，2）代入可得，3+22+m0，解得m7过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y70；（）设与直线l：2xy+10平行的直线l2的方程为：2xy+c0，点P（3，0）到直线l2的距离为5|23+c|22+12=5，解得c1或11直线l2方程为：2xy10或2xy11018（12分）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，-3），且圆心C在直线yx上（1）求圆C的方程；（2）过点（1，33）的直线l截圆所得弦长为23，求直线l的方程【解答】解：（1）AB的中点坐标（32，-32），A

19、B的斜率为3可得AB垂直平分线为23x+6y0，与xy0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y24；（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，33），直线l的方程为y-33=k（x1），即ykx+33-k，则圆心（0，0）到直线的距离d=|33-k|1+k2，又圆的半径r2，截得的弦长为23，则有(|33-k|1+k2)2+(3)2=4，解得：k=-33，则直线l的方程为y=-33x+233当直线的斜率不存在时，直线方程为x1，满足题意直线l的方程：x1或y=-33x+23319（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是

20、AC，AB1的中点，（1）求直线AB1 和平面A1B1C1D1 所成的角大小；（2）求证：EF平面BB1C1C【解答】解法一（向量法）解：（1）以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，A（2，0，2），B1（2，2，0），AB1=（0，2，2），平面A1B1C1D1 的法向量n=（0，0，1），设直线AB1 和平面A1B1C1D1 所成的角为，则sin=|AB1n|AB1|n|=222=22，45，直线AB1 和平面A1B1C1D1 所成的角为45证明：（2）E（2，1，1），F（1，1，2），EF=（1，0，

21、1），平面BB1C1C的法向量m=（0，1，0），EFn=0，且EF平面BB1C1CEF平面BB1C1C解法二（几何法）：解：（1）AA1平面A1B1C1D1，AB1D1是直线AB1 和平面A1B1C1D1 所成的角，AA1A1B1，且AA1A1B1，AB1D145，直线AB1 和平面A1B1C1D1 所成的角为45证明：（2）连结B1C，E，F分别是AC，AB1的中点，EFB1C，EF平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，EF平面BB1C1C20（12分）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|（1

22、）若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；（2）若cosAF2B=35，求椭圆E的离心率【解答】解：（1）|AB|4，|AF1|3|F1B|，|AF1|3，|F1B|1，ABF2的周长为16，4a16，|AF1|+|AF2|2a8，|AF2|5；（2）设|F1B|k（k0），则|AF1|3k，|AB|4k，|AF2|2a3k，|BF2|2akcosAF2B=35，在ABF2中，由余弦定理得，|AB|2|AF2|2+|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，（4k）2（2a3k）2+（2ak）2-35（2a3k）（2ak），化简可得（a+k）（a3k）0，而a+k0，故a3k，|

23、AF2|AF1|3k，|BF2|5k，|BF2|2|AF2|2+|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形，c=22a，e=ca=2221（12分）已知p：对于xR，x2+kx+k0成立，q：关于k的不等式（km）（k2）0（m2）成立（1）若p为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围【解答】解：（1）若p为真命题，则判别式k24k0，得0k4，即实数k的取值范围是（0，4）（2）由（km）（k2）0（m2）得mk2，即q：mk2若p是q的必要不充分条件，即qp，反之不成立，即当mk2时，x2+kx+k0恒成立，即m，2（0，4），即0m2，即实数m的

24、取值范围是（0，2）22（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90的角）的余弦值【解答】解：（1）以AB，AC，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），A1B=（2，0，4），C1D=（1，1，4），cosA1B，异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010（2）AC=(0，2，0)是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为m=(x，y，z)，AD=(1，1，0)，AC1=(0，2，4)mAD=x+y=0mAC1=2y+4z=0，取z1，得y2，x2，平面ADC1的法向量为m=（2，2，1），设平面ADC1与ABA1所成二面角为，cos|cosAC，n|-429|=23，平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：23