山东省青岛市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 WORD版含解析.doc

1、高二数学试题一单择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足(为虚数单位)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据复数除法运算法则，求出，即可得出结论.【详解】.故选：B.点睛】本题考查复数代数运算和共轭复数，属于基础题.2.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到，得到答案.【详解】，故，.故选：.【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3.函数的最大值是( )A. 1B. C. 0D. 【答案】A【

2、解析】【分析】求导函数,求出函数的单调区间，得到函数在处取得最大值.【详解】，令解得 在上单增，在单减故选：A【点睛】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值4.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为5.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C

3、【解析】【分析】首先通过函数的定义域排除选项A，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R，而函数的定义域不是R,所以选项A不符合题意；由图象可知函数是一个奇函数，选项D中，存在实数，使得，所以函数不奇函数，所以选项D不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B，所以函数是一个非单调函数，所以选项C不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C，所以函数是增函数，所以选项C符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知下表所示数据的回归直线方程为y，则

4、实数a的值为x23456y3711a21A. 16B. 18C. 20D. 22【答案】B【解析】【详解】，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B.7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，求导得到，再根据函数的图象在点处的切线的斜率为3，由求解，从而得到，则，再利用裂项相消法求解.【详解】因为，所以，因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，所以，解得，所以，数列，所以，.故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上

5、钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.【详解】设这个球落入号球槽为事件，落入号球槽两次向右，三次向左，所以.故选：D.【点睛】本题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键，属于基础题.二、

6、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9.下列说法正确的是（ ）A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍B. 设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则【答案】BD【解析】【分析】对A，将一组数据中的毎个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍；对B，根据回归直线的意义；对C，线性相关系数越大，两变量的线性相关性越强；对D，服从正态分布；对D

7、，根据正态分布曲线关于对称.【详解】对A，将一组数据中的毎个数据都乘以同一个非零常数后，利用公式标准差变为原来的倍，故A错误；对B，设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故B正确；对C，线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，故C错误；对D，服从正态分布，则位于区域内的概率为0.5，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，考查对概念的理解与应用.10.在正方形中，分别为棱和棱的中点，则下列说法正确的是( )A. 平面B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形C. 平面D. 异面直

8、线与所成的角为60【答案】ABD【解析】【分析】由及线面平行的判定定理知选项A正确；因，知平面截正方体所得截面为，故B正确；利用反证法可判断C不正确；因，可得异面直线与所成的角为即可判断选项D正确.【详解】如图，因为，分别为棱和棱的中点，所以，又平面，平面，由线面平行的判定定理，知平面，故A正确；由，知平面截正方体所得截面为，是等腰梯形，故B正确；若平面，则，又，所以平面，而平面，这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾，故C不正确；异面直线与所成的角为，而为等边三角形，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查线面平行的判断、异面直线所成的角、平面的截面问题、线面垂直的判断，考查学生空间想象和逻辑推

9、理能力，是一道中档题.11.若则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】A.利用通项公式求第三项的系数即可.B.根据，令求解.C.先令，得，再令求解.D.令求解.【详解】因为，所以，所以，故A正确.因为，令，得，故B正确.令，得，令得：，所以，故C错误.令，得，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查二项式的通项，二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题.12.已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数，根据这些函数在的单调性可得结果.【详解】设，则在上恒成立，故

10、函数单调递增，故，即，A正确；设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，即，故，B错误；设，则在上恒成立，故函数单调递增，即，C正确；设，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，故，D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键.三填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.在某市举行的数学竞赛中，A，B，C三所学校分别有1名、2名、3名同学获一等奖，将这6名同学排成一排合影，若要求同校的同学相邻，有_种不同的排法（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，计算得到答案.【详解】利用捆绑法将每个学

11、校的同学看成一个整体，则共有种排法.故答案为：.【点睛】本题考查了排列的应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.14.设的展开式中的系数为，二项式系数为，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】列出展开式的通项公式，可知当时，为的项，从而可确定二项式系数和系数，作比得到结果.【详解】展开式通项公式为：当，即时， 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项的系数、二项式系数的问题，属于基础题.15.易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_.【答

12、案】【解析】【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。故答案为：。【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事

13、件的个数。16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数，则的对称中心为_；计算=_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求导得到，故得到对称中心，故，计算得到答案.【详解】，则，则.，故的对称中心为.故，则.故答案为：；.【点睛】本题考查了求函数的导数，新定义问题，利用函数的对称性求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四解答题（本大题共6个小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.在等

14、差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）现从的前10项中随机取数， ，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答条件：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响条件：若从10个数中一次取出三个数【答案】（1）；（2）若选择条件，若选择条件，【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.（2）若选择条件，；若选择条件，计算得到答案.【详解】（1），故，故.（2）若选择条件：的前10项为.则.若选择条件：的前10项为.则.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，概率计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.在如图所

15、示的几何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所

16、以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为.设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知（为实数）（1）当，时，求在上的最小值；（2）当时，若在R上单调递增，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，得到函数单调区间，得到，计算得到答案.（2）求导得到恒成立，设，则，解得答案.【详解】（1），则，当时，即时，函

17、数单调递减，当，即时，函数单调递增，故.（2），故恒成立，即，设，故在上恒成立，故，解得.【点睛】本题考查了函数的最值，根据函数的单调性求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分

18、布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】【分析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，即可求出， ， ， ，进而求出的数学期望 （2）分别求出选手选择方案甲通过测试的概率为，和选手选择方案乙通过测试的概率为 ，比较大小，即可求出结果【详解】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中， 的所有可能取值为，则， ， ， 的分布列为： ，所以， 所以，的数学期望为 （2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案

19、乙通过测试的概率为 ， 因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化21.推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问

20、卷测试试估计其得分不低于60分的概率：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望附：临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）；（2）列联表见解析，有9

21、5%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）直接根据频率分布表得到答案.（2）根据频率分布表得到列联表，计算得到答案.（3）的可能取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（1）根据频率分布表：.（2）根据频率分布表得到列联表：故，故有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.不太了解比较了解合计男性250330580女性150270420合计4006001000（3）不低于80分的居民的样本中，男性有90人，女性有60人，故抽取男性人，抽取女性人，故的可能取值为，；.故分布列为：故.【点睛】本题考查了概

22、率的计算，独立性检验，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.22.已知函数（1）若在上恒成立，求的取值范围；（2）设，当时，若，求零点的个数【答案】（1）；（2）函数有两个零点【解析】【分析】（1）变换得到，设，求导得到函数单调区间，计算最值得到答案.（2）求导得到，得到函数单调区间，得到，且当时，当时，得到答案.【详解】（1）在上恒成立，故，设，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，故.（2），则，则，当时，故，函数单调递增；当时，故，函数单调递减.，且当时，；当时，.根据零点存在定理知：函数在和上各有一个零点，故函数有两个零点.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，函数的零点个数，意在考查学生的计算能力和应用能力，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.