上海市上海师范大学附属中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）.docx

1、上海市上海师范大学附属中学2021-2022年高一下期末数学试卷一填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 若复数，(表示虚数单位），则_.【答案】【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出，然后可直接判断出的虚部.【详解】因为，所以的虚部为，所以，故答案为：.2. 若，则_【答案】【解析】【分析】根据，利用两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：3. 已知点A的坐标为，向量，则点B的坐标为_【答案】【解析】【分析】设，则，再由可求出的值，从而可求出点B的坐标【详解】设，则，因为，所以，所以，得，所以点B的坐标为，故答案为：4. 若点在直线上，在平面内，则用符号

2、表示之间的关系可记作_.【答案】，【解析】【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.【详解】点在直线上，在平面内，则，故之间的关系可记作，.故答案为：，5. 若则的位置关系是_.【答案】相交或异面【解析】【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果【详解】在正方体中，与相交，与异面，直线，则与的位置关系相交或异面故答案为相交或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用6. 为所在平面外一点，为在平面上的射影.若与平面所成的角相等，则是的_心.【答案】外【解析】【分析】由条件证明，由此判断是的外心.【详

3、解】如图，因为为在平面上的射影，所以平面，又平面，所以，即，因为平面，所以分别为，与平面所成的角的平面角，由已知可得，又，所以，所以，所以是的外心，故答案为：外.7. 下列3个函数：；其中最小正周期为的偶函数的编号为_.【答案】【解析】【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符合要求的函数的编号.【详解】记，则函数的定义域为，且，所以为偶函数，因为，所以为函数的周期，若为函数的周期，则，矛盾，所以为函数的最小正周期，所以函数满足要求，记，则，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，又函数的最小正周期为，所以函数满足要求，记，则，所以函数的定义域

4、为，且，函数不满足要求，故答案为：.8. 如图，定点A和B都在平面内，定点，是内一动点，且.那么，动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为_【答案】【解析】【分析】连接BC，证明AC平面PBC得ACBC，从而得到C的轨迹形状及其围成图形的面积【详解】连接BC，ACPCPB，AC，PBAC又PBPCP，PB、PC平面PBC，AC平面PBC，BC平面PBC，ACBC，故C的轨迹是平面内以AB为直径的圆(去掉A、B两点)，故动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为故答案为：9. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，对下列命题：若，则.若，则且.若，则.若，则.若，则.其中正确的命题是_（填序号）.【答案】【

5、解析】【分析】由给定条件，举例说明判断命题，利用线面垂直的性质判断，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断作答.【详解】如图，长方体中，记平面为，对于，记直线为，直线为，则，但与相交，不正确；对于，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而，不正确；对于，因为，所以，又，所以，正确，对于，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而与是异面直线，不正确；对于，因，则过直线作平面，令，如图，于是得，而，则有，由，所以，正确.故答案为：10. 如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为_.【答案】1【解析】【分析】由

6、于几何体是由四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,则,即,将写为,利用数量积的运算律展开计算出结果即可.【详解】解:由题知几何体是由四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,则有,的不同值的个数为1.故答案为:111. 边长为的正方形沿折成的二面角，则中点与的距离是_.【答案】1【解析】【分析】取中点为，中点为，中线定理，数形结合即可解决.【详解】由题知，边长为的正方形沿折成的二面角，取中点为，由正方形的性质可知所以二面角的平面角为，又，所以为等边三角形，所以，设中点为，所以中，由中线定理可知1故答案为：112. 已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时_.【答案】【解析】【分析】先根据平面向量

7、数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的.【详解】，而， 又，因为向量满足，所以如图所示， 若，则，所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，由图象可得当且仅当，三点共线且时，最小，即取最小值，此时，又，所以.，故答案为：.二选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积【详解】解：方程根为，即，所以，所以，所以，所以，故

8、选：B14. 在下列各式中，正确的是（ ）A. B. C. 若，则D. 若，且，则【答案】C【解析】【分析】通过平面向量数量积的定义可判断A,B错误；对两边平方可判断正确；对进行移项、提公因式可判断错误【详解】对A，所以不一定成立，错；对B，不一定等于，错；对C，由两边平方，得，对；对D，由，得，又，或，可能成立，错故选：C15. 如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A，B，C中

9、，A，B，C，D四点显然不共面对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面故选：D16. 已知平面，直线，记与所成的角分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】讨论直线与平面的位置，根据线面角的定义确定，再分别求，的表达式，由此确定结论.【详解】如图，不妨设，设，过点作，垂足为，因为，所以，所以为直线与平面所成的角的平面角，即，过点作，垂足为，作且，连接，同理可得，因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，所以为直角三角形，为直角，所以，因为，所以，所以为直角三角形，为直角，所

10、以，因为，所以，当且仅当重合时取等号，B错误，D错误，若取直线为，则，则， C错误，故选：A.三解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 已知复数，其中是实数.（1）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围；（2）若，求.【答案】（1）的取值范围为； （2）.【解析】【分析】(1)由复数的几何意义列不等式求的取值范围；(2)先求，结合等比数列求和公式求即可.【小问1详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，由已知，所以，故的取值范围为；【小问2详解】因为，所以，所以.18. 已知函数.（1）求解方程:;（2）设,求函数的单调递增区间;（3）在中,角所对应的边为.若的面积

11、为.求的值.【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】(1)将代入方程,用反三角函数解出即可;(2) 将代入用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可;(3)先求出的值,再根据面积公式求出的值,根据的值求出角的值,再用余弦定理求出,再根据正弦定理即可求出.小问1详解】解:由题知,即,解得或;即【小问2详解】由题,即,的单调递增区间为:,解得:,故的单调递增区间为;【小问3详解】由,或,当时,在中由余弦定理得:,解得,此时在中由正弦定理得:,解得,当时,中由余弦定理得:,解得,此时在中由正弦定理得:,解得,综上:或.19. 在梯形中，分别为直线上的动点.（1）当为线段上的中点，试用

12、和来表示；（2）若，求；（3）若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值.【答案】（1）； （2）； （3）1.【解析】【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可；(2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求；(3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值.【小问1详解】因为为线段上的中点，所以，又方向相同，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，因为，所以，所以，又，所以又，所以；【小问3详解】设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心，由重心性质可得，又，所以，设，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1.20. 如图，四面体中，为的中点.（1）证明：平面平面；

13、（2）设，点在上；点为中点，求与所成的角的大小；当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）详见解析； （2）与所成的角的大小；与平面所成的角的正弦值为.【解析】【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明面面垂直；（2）取的中点，的中点，则（或其补角）为与所成的角，在中求解.先证平面平面，可得（或其补角）为与平面所成的角，在中求解.【小问1详解】因为，E为的中点，所以，在和中，所以，所以，又E为的中点，所以，又平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面；【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，则，所以（或其补角）为与所成的角，由且，所

14、以是等边三角形，则，由且，E为的中点，所以，在等腰直角中， ，在中，由勾股定理知为直角三角形，所以 ，在中，由余弦定理得 ，所以，在中， ，由余弦定理得，在中，所以，故 ，在中，故 ，所以与所成的角的大小.连接，由（1）知，平面，平面，所以，则，当时最小，即的面积最小.因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，作于（或交延长线），因为平面平面，平面，所以平面，所以（或其补角）为与平面所成的角，由知，所以 ，直角中， ，在直角中，所以，在等腰中，所以 ，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.【点睛】线面角的几何作法：直接法：即定义法，作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形,根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.垂面法：找一个过斜线且与平面垂直的面，根据面面垂直的性质知这两个面的交线即为斜线在平面内的射影，根据直角三角形或余弦定理求解.