上海市大同中学2021-2022学年高三数学下学期期中试题（Word版附解析）.docx

1、上海市大同中学2021-2022学年高三下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合，则_【答案】【解析】【分析】根据对数函数的定义域与指数函数的值域，结合交集与补集的运算求解即可.【详解】集合，所以，则故答案为：2. 已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数_【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简可得，再结合共轭复数的定义，即得解详解】由题意，故故答案为：3. 的展开式中的系数为_【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果.【详解】展开式的通项公式为，令，则，所以的系数为故答案为:4. 记

2、是公差不为的等差数列的前项和，若，则_.【答案】#【解析】【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得：，.故答案为：.5. 直线的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】将直线化为一般式，得到其斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系，即可得到结果.【详解】直线方程为，斜率为，则倾斜角为故答案为: 6. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有_种【答案】60【解析】【分析】先根据部分均匀分组，由先分组再分配解决即可.【详解】由题知，将5名大学生分成的三组

3、，有种分组方法，甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有种情况，所以有种方案故答案为：607. 已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】作出图形，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可知，当点、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，即可求解.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，当点、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，且最小值为故答案为：.8. 中国古塔多为六角形或八角形已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，则_【答案】【解析】【分析】根据投影的定义，

4、可得，结合余弦定理即可得到，从而得到结果.【详解】由投影的概念，因为，正八边形每个内角为，则，易得为等腰直角三角形，则，所以故答案为：9. 已知，则_【答案】#-06【解析】【分析】利用和差公式计算得到，再化简得到原式为，代入计算得到答案.【详解】，所以，所以，所以或（舍去），所以故答案为：10. 已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】不妨设，结合函数图像可得，从而得出，即可得出答案.【详解】不妨设，由图可得，所以即，由得，所以的取值范围是故答案为：11. 过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则线段长度的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用向量数

5、乘的坐标运算可得，由此可求得点轨迹为直线，将问题转化为原点到直线距离的求解即可.【详解】设，由，得：，两式相乘得：，同理可得：，由题意知：且，否则与矛盾，点轨迹为，即直线，线段长度的最小值即为原点到直线的距离，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用向量坐标运算求得动点的轨迹方程，根据轨迹为直线可将问题转化为坐标原点到直线距离的求解.12. 若，则下列结论中正确的有_若为整数，则；是正整数；是的小数部分；设，若、为整数，则.【答案】【解析】【分析】求出可判断的正误；取可判断的正误；利用二项式定理可判断的正误；分为偶数和为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断的正误.【详解】

6、因，所以，则，正确；，因为不是正整数，故错误；，两部分都是整数，所以，且，所以是的小数部分，正确；，当为奇数时，所以，所以，故，当为偶数时，同理，所以，所以，故正确；故答案为:【点睛】关键点点睛：中将转化为二项展开式的形式展开求解，的讨论关键在于当为奇数时，为偶数时，.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13. 已知a，则“”的一个必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.【详解】解：对于A选项，当时，此时，故不是的必要条件，故错误；对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；对于C选项，当时，但此时，故

7、不是的必要条件，故错误；对于D选项，当时，但此时，故故不是必要条件，故错误.故选：B14. 函数在上的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值可判断【详解】因为所以函数为奇函数，故排除选项C，D；因为在上，所以排除选项B故选：A15. 已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件确定的范围，求解不等式作答.【详解】由得，而当，时，又，函数在内有且仅有两个零点，于是得，解得，所以的取值范围是.故选：D16. 若双曲线的左右焦点分别为，点P为C的左支上任意

8、一点，直线l是双曲线的一条渐近线，垂足为Q当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得，设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.【详解】，又，双曲线的渐近线方程为：，即，焦点到渐近线的距离为，即的最小值为b，即，不妨设直线OQ为：，点，的中点为，将其代入双曲线C的方程，得：，即，解得：又，故双曲线C的方程为故选：B.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. 如图，在多面体中，为等边三角形，为的中点.（1）证明：平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析

9、 （2）【解析】【分析】（1）考虑所给的条件，找出相应的几何关系即可；（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，用空间向量的方法即可.【小问1详解】取中点，连结，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；【小问2详解】，又，平面，平面，平面平面，取的中点，以OE为x轴，AB为y轴，过点O做平行于BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以平面和平面所成的锐二面角的余弦值为；故答案为：证明见解析， .18. 已知四边形内接于圆，是钝角.（1）求的最大值；（2），求四边形周长的最大值.【答案】（1）4 （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出圆

10、的直径即得的最大值；（2）先在中根据所给条件，利用正弦定理求出的值和的长，然后在中通过余弦定理和基本不等式求出与之和的最大值即可求解.【小问1详解】设圆的半径为.因为内接于圆，且，由正弦定理得.又是圆的弦，所以，所以的最大值为4.【小问2详解】在中，由正弦定理得，即，所以.因为是钝角，所以，所以，即.由得，设，在中，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时，取得最大值，所以四边形周长的最大值为.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元

11、，同时奖金不超过投资收益的20%(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x25，1600时，f(x)是增函数;f (x) 75恒成立; 恒成立(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围【答案】(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) 1，2【解析】【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.【详解】(1)对于函数模型,当x25, 1600时， f (x)是单调递增函数，则f (x) f (1

12、600) 75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x60不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求，但是不满足，故函数模型，不符合公司要求(2)当x25，1600时，单调递增，最大值设恒成立，恒成立，即,，当且仅当x=25时取等号，a22+2=4a1, 1a2, 故a的取值范围为1，2【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.20. 已知圆过点，且与直线相切（1）求圆心的轨迹的方程；（2）为轨迹上的动点，为直线上的动点，求的最小值；（3）过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为问是否经过定点，若经过定点，求出

13、定点坐标；若不经过，请说明理由【答案】（1）； （2）； （3）过定点.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可；（3）根据直线斜率公式，结合直线方程进行求解即可.小问1详解】由题意得点到直线的距离等于到点的距离，所以点是以为焦点，以为准线的抛物线，焦点到准线的距离，所以点的轨迹方程为；【小问2详解】设，到直线的距离 ，所以的最小值为；【小问3详解】设，则直线的方程为，因为过点，所以，所以因为与关于轴对称，故，同理，直线的方程为，因为，所以的方程为，所以直线过定点【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.21. 已知行列的数表

14、中，对任意的，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.（1）若数表，请直接写出B，C是否是典型表；（2）当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；（3）求的最小值.【答案】（1）B不是典型表，C是典型表； （2）不存在； （3）为偶数时 ，为奇数时.【解析】【分析】（1）由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可.（2）根据题设分析知：数值分配时有即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定最小时在数表上的分布情况，即可判断是否存在.（3）结合（2）的分析，讨论为偶数、奇数情况下的最小值.【小问1详解】对于数表B有，而不成立，故数表B不是典型表；对于数表C，当

15、时总有成立，故数表C是典型表.【小问2详解】由题设知：当要存在典型表A使得，则需.要使最小，即典型表A中的“1”最少，又时总有，让尽量多的横列和，故将表分成4个数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证最小.如典型表，有.不存在典型表A使得.【小问3详解】要使最小，需让尽量多的横列和或典型表中“1”尽量少，当为偶数时，由（2）知：；当为奇数时，在偶数的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加个“1”，即可满足典型数列，此时；【点睛】关键点点睛：第二问，通过，结合数表的对称性确定最小时的数值分布情况，即可判断存在性，第三问，由第二问情况归纳为偶数时，进而推广到为奇数时.