上海市徐汇区2021-2022学年高三数学下学期二模试题（Word版附解析）.docx

1、2022届徐汇区高三数学二模卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 若，则_.【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了二倍角的计算，意在考查学生的计算能力.2. 不等式的解集为_.【答案】【解析】【详解】因为，解集为.故答案为：3. 在的二项展开式中，项的系数为_【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，得出含项时对应的值，从而得出答案.【详解】的二项展开式的通项公式为： 令，解得，则所以项的系数为 故答案为：4. 已知球的体积为，则该球的左

2、视图所表示图形的面积为_【答案】【解析】【分析】已知球的体积，可由球的体积公式得到球的半径，又因为球从每个方向看都是半径为的圆，即可求解.【详解】设球的半径为，则由题意得，球的体积，解得；又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为：.5. 圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【解析】【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为考点：点到直线的距离6. 若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则_【答案】【解析】【分析】根据实系数一元二次方程的根的特征，可得的共轭复数也是方程的根，利用韦达定理得到方程，计算可得；【详解】解：

3、因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：7. 已知，若直线：与直线：平行，则_【答案】3【解析】【分析】根据两条直线平行的充要条件列方程组求解即可得答案.【详解】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.8. 已知实数、满足约束条件，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.9. 设是定义在上的

4、奇函数，当时，若存在反函数，则的取值范围是_【答案】或.【解析】【分析】先求出的解析式，若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，计算得解.【详解】当时，是定义在上的奇函数，所以，即时，所以，若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，当，；所以或所以或.故答案为：或.10. 上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是_（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得.【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人

5、恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案：.11. 在中，已知，若点是所在平面上一点，且满足，则实数的值为_【答案】或【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把用表示出来，再用建立方程，解出的值.【详解】由，得，即，在中，已知，所以，即，解得或所以实数的值为或.故答案为：或.12. 已知定义在上的函数满足，当时，设在区间上的最小值为若存在，使得有解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当，时，的解析式，进而求出，然后，得到存在，使得有解，则有有解，进而必有，进

6、而求出,即可求解.【详解】当时，因为定义在上的函数满足，令，则，所以，当时，有，所以，当时，令，则，有，所以，当时，同理可得，时，根据规律，明显可见当，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. 下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据范围依次排除得到答案.【详解】A. ，排除；B

7、. ，排除；C. ，排除；故选：D【点睛】本题考查了参数方程，意在考查学生对于参数方程的理解和掌握情况.14. 已知函数，则“”是“的值域为”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】充分性：取，则成立，此时，则，可得，充分性不成立；必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条

8、件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.15. 某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100【答案】A【解析】【分析】因为方差，平均数，利用数字特征，通过计算各个选项排除求解.【详解】设所有参赛的500名选手成绩为：，；则平均数；方差，即；对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；

9、综上所述，不可能是参赛选手成绩；故选：A.16. 设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，则数列为收敛数列下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A. 若等比数列是收敛数列，则公比B. 等差数列不可能是收敛数列C. 设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D. 设数列的前项和为，满足，则数列是收敛数列【答案】C【解析】【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB不正确；选项C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，所

10、以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D：因为，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. 如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，圆柱的表面积为（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据表面积为，求得，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；（2）根据题意证得平面，得到平面平面，过点作，证得平面，

11、得到为直线与平面所成的角，再直角中，求得，即，即可求解.【小问1详解】解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.【小问2详解】解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即，所以直线与平面所成的角的大小.18. 已知为实数，函数，（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取

12、值范围【答案】（1）和 （2）【解析】【分析】（1）当时，化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的增区间；（2）由已知可得，推导出，可得出，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，当时，此时函数的单调递增区间为；当时，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和.【小问2详解】解：当时，由可得，即，所以，所以，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，令，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，因此，.19. 某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动

13、区如图，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区设（1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）米，米； （2）当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.【解析】【分析】（1）由角的关系易得：，；在中，由正弦定理得：，可解得，同理在中得：，解得.（2）活动区的面积最大即休息区尽可能小，又（1）可得：利用三角恒等变换及计算得到，根据三角函数的值域可知时，得到休息区的最小值，从而得到活动区最大值.【小问1详解】由题意得，米，则，又由，

14、所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中，即米；综上所述：米，米.【小问2详解】由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为:化简得：又，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.20. 在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1） （2）

15、 （3）在轴上存在一定点，使得、三点共线,理由见解析.【解析】【分析】(1)先得出点，由向量的数量积的坐标运算可得答案.(2) 设，,则，则可得到，然后利用条件消元，从而可得答案. (3) 设直线的方程为与曲线的方程联立，得出韦达定理，由点的坐标得出直线的方程，令，将韦达定理代入，可得出答案.小问1详解】由点关于直线的对称点为，则 则，所以，即所以曲线的方程为：【小问2详解】由点在曲线上，设，点在直线上，设 由，即， 由，则 所以当时，此时不满足，即不满足.所以，由，则 由，则设 由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为【小问3详解】在轴上存在一定点，使得、三点

16、共线.设 则由题意设直线的方程为 由，可得 所以 直线的方程为 令，得 所以直线：恒过点 所以在轴上存在一定点，使得、三点共线.【点睛】关键点睛：本题考查利用向量的坐标运算求轨迹方程，利用函数思想求两点间距离的最大值，以及求直线过定点问题，解答本题的关键是联立方程得出韦达定理，得出直线的方程为，令将韦达定理代入得出定点，运算比较复杂，属于难题.21. 对于数列，记（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，求的最大值【答案】（1）4 （2）证明见解析 （3）2021.【解析】分析】（1）直接求出，即可求；（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；（3）先计算出，利用放缩法和裂项求和法求出的最大值.【小问1详解】由通项公式得：.所以小问2详解】充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有：.必要性：用反证法. 若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述：的充分必要条件是【小问3详解】由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时, 取得最大值2021.【点睛】(1)数学中的新定义题目解题策略：仔细阅读，理解新定义的内涵；根据新定义，对对应知识进行再迁移.(2)数列求和常用方法：