上海市行知中学2022届高三数学下学期期中试题（Word版附解析）.docx

1、上海市行知中学2021-2022学年高三下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】由对数函数单调性，求出集合A，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：，故答案为：.2. _.【答案】【解析】分析】利用极限运算求解.【详解】，故答案为：3. 二项展开式第六项的系数为_.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式第六项即可.【详解】二项展开式第六项是，所以其系数是.故答案为：.4. 公比为q的无穷等比数列各项的和为，则_.【答案】1【解析】【分析】由无穷等比数列各项和公式变形

2、即可得解.【详解】解：因公比为q的无穷等比数列各项的和为，则有，所以.故答案为：15. 如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为_.【答案】【解析】【分析】根据三视图得到圆柱的底面半径和高，代入圆柱的侧面积公式求解.【详解】由三视图知：圆柱的底面半径为0.3米，高为0.6米，所以该圆柱的侧面积为.故答案为：.6. 已知非负实数x、y满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先画出非负实数x、y满足所表示的平面区域，然后求点到直线的距离即可.【详解】非负实数x、y满足所表示的平面区域如下图所示的阴影部分：所表示的意义为平面区域内的点到直线的距离，从上图可知点到直线的距离最小，其值为.故答案

3、为：.7. 函数，的反函数为_.【答案】()【解析】【分析】先求出tanx，再由反函数定义即可得解.【详解】因，则，所以所求反函数为().故答案为：()8. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类物理学类力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是_(结果用最简分数表示).【答案】【解析】【分析】先计算出将5位同学分配到某一个专业的所有不同分配方式的种数，再计算出三个专业都有我校学生的不同分配方式的种数，最后计算三个专业都有我校学生的概率即可.【详解】解：将5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随

4、机地进入教学类物理学类力学类这三个专业中的某一个专业，所有的不同分配方式有种，三个专业都有我校学生的情况有种不同分配方式，三个专业都有我校学生的概率：，故答案为：.【点睛】本题考查排列组合的综合问题、分步乘法计数原理、部分平均分组问题、古典概型求概率，是中档题.9. 已知，若，则_.【答案】【解析】【分析】由给定条件，求出，把用表示出即可得解.【详解】，有，又，则，.故答案为：【点睛】关键点睛：给值求值的三角问题，探讨角的关系是解题的关键.10. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.【

5、详解】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时 需满足，即，解得，综上可知故答案为：【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.11. 若正实数a、b满足，则的最小值为_.【答案】7【解析】【分析】由可得，将它们替换目标式中、，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题设知：，即，又且，当且仅当时等号成立.故答案为：.12. 已知中，点为线段上的动点，动点满足，则的最小值等于_【答案】【解析】【详解】令，设（），当且仅当时，等号成立，即的最小值是，故填：二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13. 有13名同学参

6、加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（ ）A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差【答案】C【解析】【分析】成绩由小到大排列，能否进入决赛就看小明成绩排名是否在第7以前即可得解.【详解】把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数.故选：C14. 关于、的方程组有无穷多组解，则下列说法错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件得出，然后计算每个选项中的行列

7、式，可得出结果.【详解】关于、的方程组有无穷多组解，得，对于A选项，A对；对于B选项，B对；对于C选项，C对；对于D选项，因为，等式无意义，D错.故选：D.15. 已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论【详解】解：令，由，可得，所以，即，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，所以，设，则数列是单调递增的等差数列，若存在正整数

8、，当时，则有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，取，时，则，此时数列不是单调数列；（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，此时数列为，由，若数列单调，则，全为正或全为负，由，则，全为正，而，这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列单调时，数列一定有无穷多项故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.16. 已知函数，若不等式解集为，其中，则的最大值为（ ）A.

9、1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】化简函数的解析式，再画出、的图象，结合题意可得，运用二次方程的两根之差，求出，关于的函数，可得的范围【详解】作出函数的图象，由函数的图象可得时，当时，由，即有，的图象和的图象相切，当时，即有，解得舍去），由题意可得，当时，由，可得，即有，当时，由，即为，解得，可得，则，由，可得，所以其最大值为2.故选：B【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是数形结合思想的运用，二是韦达定理的运用，三是方程与函数思想的运用三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【

10、答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）由等腰三角形三线合一性质和线面垂直性质可证得，由线面垂直的判定可证得结论；（）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角向量求法可求得结果.【详解】（）由棱柱的性质知：，又为中点，；平面，平面平面，平面，又，平面，又平面，；又，平面，平面；（）以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，令，解得：，；平面轴，平面的一个法向量为，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.18. 已知函数，它们的最小正周期为.（1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D；（2）若的一个零点为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】

11、【分析】（1）根据周期求，根据是奇函数求，然后再分别求函数和在上减区间，两个减区间求交集即为公共减区间.（2）把零点代入函数的解析式求，然后对函数进行化简，从而求最大值.【详解】（1）由，得，又因为是奇函数且，所以，所以，在上，函数的单调递减区间是，函数的单调递减区间是，所以.（2），把点代入得，即，因为，所以，所以，所以当，即时，取最大值，即.19. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.（1）求关于x的函数表达式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值

12、最大？并求出最大值.【答案】（1）； （2），.【解析】【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.【小问1详解】解：根据题意，可算得，因为，所以，所以，.【小问2详解】解：根据题意，可知，当时，.综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.20. 已知抛物线和圆，抛物线的焦点为.（1）求的圆心到的准线的距离；（2）若点在抛物线上，且满足， 过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围；（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为”

13、【答案】（1）4；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；（2）根据条件可表示出四边形的面积，利用函数的单调性即可得解；（3）充分性：令直线方程为，分别求出、四点坐标后即可证明；必要性：设的方程为，由可得，即可得出与的关系，进而可得出直线的方程为.【详解】（1）由可得:，的圆心与的焦点重合，的圆心到的准线的距离为.（2）四边形的面积为:，当时，四边形的面积的取值范围为. （2）证明(充分性) :若直线的方程为，将分别代入得，.，.(必要性) :若，则线段与线段的中点重合，设的方程为，则，将代入得，即，同理可得，即或，而当时，将其代入得不可能成立； .当时，由得

14、：，将代入得，或（舍去）直线的方程为.的充要条件是“直线的方程为”.【点睛】本题考查了抛物线和圆的性质、直线与圆锥曲线的综合、条件之间的关系，考查了转化化归的思想和计算能力，属于难题.21. 设数列与满足：的各项均为正数，.（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.【解析】【分析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值【详解】（1）解：，公比为由解得，数列的通项公式为.（2）证明：反证法，设存在则，此时公比，考虑不等式当时，即时，有(其中表示不超过x的最大整数)，这与的值域为矛盾假设不成立，得证（3）解：，由等差数列性质即，特别地，现考虑的最大值为使取最大值，应有，否则在中将替换为，且，将得到一个更大的由可知，特别地，；于是解得，所以的最大值为8.【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用