山西大学附中2022届高三数学理科11月期中考试试题（附答案）.doc

1、山西大学附中20212022学年高三第一学期期中考试数 学 试 题（理）一、选择题：（本题共12 小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项正确）1在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合，集合，则下列正确的是（ ）ABC D3命题“都有”的否定是（ ）A不存在 B存在C存在D对任意的4某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温171382月患病（人）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，

2、据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（ ）A38B40C46D585下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ）ABCD6被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应有，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ）A4 B C2 D7设函数，则下列结论正确的是（ ）A的图象关于直线对称 B的图象关于点对称C把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象D在区间上为增函数8已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )A3B2CD9如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若A

3、B=12m，借助测角仪测得CAB=45，CBA=60，则C处河面宽CD为（ ）A6（3+）mB6（3-）mC6（3+2）mD6（3-2）m10设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A函数有极大值和B函数有极小值和C函数有极小值和极大值D函数有极小值和极大值11已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BPPE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ）ABC4D12已知则（ ）A. B. C. D.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知平面向量，若，则_.14设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则_.15已知

4、下面四种几何体：圆锥，圆台，三棱锥，四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是_（将符合条件的几何体编号都填上）.16将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为_三、解答题：（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生读必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17（本题12分）下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数

5、为24，乙组数据的平均数为25.（1）求的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？18（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19（本题12分）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中. （1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20（本题12分）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，为椭圆上一点，且+.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，求的面积.21（本题12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.（

6、3）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（10分）22在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，求两点间的距离的值（10分）23已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，且的最小值为，求证：.山大附中20212022学年第一学期期中考试高三年级数学（理科）参考答案一、 单选题123456789101112DDCCD

7、ACDBDDA二、填空题13：【答案】14【答案】15【答案】16【答案】 三解答题17下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？【详解】（1）由，得，由，得5分（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，甲组数据的平均数为，因为，所以乙组的成绩更稳定12分18如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（

8、1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面；6分（2）取的中点，连接、，因为，所以.又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，由题意得、，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.所以，则直线

9、与平面所成角的正弦值为.12分19已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中. （1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；由得：，那么，以上个式子相乘，可得，又满足上式，所以的通项公式.6分（2）若，所以，两式相减得：，所以.12分20如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，为椭圆上一点，且+.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，求的面积.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，因为椭圆的两焦点分别为，可得，所以，可得，所以，则，所以椭圆的标准方程

10、为6分（2）因为点在第二象限，在中，由根据余弦定理得，即，解得，所以12分21已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.（3）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）当时，切点为，曲线在点处的切线方程为，即；4分（2），当时，恒成立，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，令，解得或（舍）x，的变化情况如下表：x0极小值函数的递增区间为，递减区间为，.综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.8分（3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，.所以由（2）的结论可知，当时，函数在上是增函数，满足题意；当

11、时，函数在上是增函数，满足题意；当时，函数在上是减函数，在上是增函数，不满足题意.综上，a的取值范围为.12分22 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值【详解】（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即； 即，转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；5分（2）的极坐标为，点的直角坐标为 ，直线的倾斜角直线的参数方程为代入，得 设，两点对应的参数为，则，10分23已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，且的最小值为，求证：.【详解】解：（1）当时，函数当时，由得，所以无解当时，由得，所以；当时，由得，所以.综上，不等式的解集为.5分（2）因为，当时，取到最小值，所以，即.所以，当且仅当时等号成立.即成立.10分