山西省2020届高三数学2月开学模拟考试（网络考试）试题 文（含解析）.doc

1、山西省2020届高三数学2月开学模拟考试（网络考试）试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合，然后再求.【详解】由，得所以，又.故选：B【点睛】本题考查两个集合的交集，属于基础题.2.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ）A. 2B. 1C. -1D. -2【答案】C【解析】【分析】化简得，再根据条件求.【详解】由于由复数在复平面内对应的点位于实轴上.所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，和复数在复平面上

2、对应的点，属于基础题.3.已知向量不共线，若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量共线的性质得，由此能求出实数的值【详解】由于，所以存在实数，使得，因此且，解得.故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到下表：分数段人数5152010将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是 （ ）A. 110B. 115C. 120D. 125【答案】B【解析】【分析】直方图四个小矩形的面积从左向右依次为0.1， 0.3， 0.4， 0.2，故中位

3、数位于第3个小矩形处，可计算出中位数.【详解】由题意可知， 频率分布直方图四个小矩形的面积从左向右依次为0.1， 0.3， 0.4， 0.2， 故中位数位于第3个小矩形处， 而前2个小矩形面积之和为0.4， 故第3小矩形在中位数左侧的面积为0.1， 故中位数为区间的靠左的四等分点处， 故中位数为115.故选：B【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数，属于基础题.5.设分别为椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与相交于两点，若为正三角形，则 （ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由 轴，可求出，在中可以建立关于的方程，求解出.【详解】设由 轴，则，则，在中，.，即，解得

4、，.故选：A【点睛】本题考查椭圆的基本性质，求椭圆方程中的参数，属于基础题.6.函数的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案.【详解】.当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为6.故选：D【点睛】本题考查利用均值不等式求函数最小值，属于基础题.7.已知变量的取值完全由变量的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好四个变量的取值，然后记录相应的变量的值，得到下表：试验编号11114111221122102221则关于的表达式不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依次将, , , 中

5、的值代入各个选项中进行验证，可得到答案.【详解】将, , , 中的值代入中都满足条件，将中的数据值代入C，得，不满足条件所以关于的表达式不可能是C.故选：C【点睛】本题考查推理，考查变量之间的关系，属于基础题.8.对于函数的图象，下列说法正确的是 （ ）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】由，设,可得为奇函数,由图像平移可得答案.【详解】，令，则，为奇函数，其图象关于原点对称，将图象向上平移1个单位长度可得图象，所以图象关于对称.故选：D【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题.9.已知数列的通项公式为，则

6、数列的最大项是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先讨论出数列的单调性，根据单调性得出答案.【详解】由，解得，又，所以.于是，当时，故，因此最大项为.故选：C【点睛】本题考查求数列的最大项和数列的单调性，属于中档题.10.执行如图所示的程序框图（其中表示除以后所得的余数），则输出的的值是 （ ）A. 78B. 79C. 80D. 81【答案】D【解析】【分析】模拟程序框图的运行过程，得程序功能是统计1至2020中所有是20的倍数但不是100的倍数的整数个数，从而得出答案.【详解】容易看出，该程序框图的功能是，统计1至2020中所有是20的倍数但不是100的倍数的整数个数.在

7、1-2020中，能被20整除的数共有101个，但其中100，200，300，2000这20个能被100整除.故符合条件的整数个数为101-20=81.故选：D【点睛】本题考查程序框图的运行过程，解题时要弄清程序的功能，属于基础题.11.已知直角三角形 两直角边长之和为3，将绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设将绕长度为的直角边旋转，则其体积为，然后求其最大值即可.【详解】设直角三角形的两边长分别为，则，以长度为的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为，当时，；当时，.所以当时，体积最大，最大值为.故选：B【点睛】本题考查旋转

8、体的体积和利用导数讨论函数的单调性求最大值，属于中档题.12.设分别为双曲线左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线的右支相交于两点，与的渐近线相交于四点，若四边形的面积与四边形的面积相等，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得，从而可得四边形的面积，然后求出点圆与的渐近线在第一象限的交点为，可求出四边形的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知，得，四边形的面积为，由，当，解得，圆与的渐近线在第一象限的交点为.四边形的面积，即.故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.二、填空题

9、：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.已知是向量，命题“若，则”的逆否命题是_【答案】若，则.【解析】【分析】根据逆否命题和原命题的关系写出逆否命题【详解】根据逆否命题的定义可知，原命题的逆否命题为：若，则.故答案为：若，则.【点睛】本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系，属于基础题14.已知等差数列的公差为，且，前面和为，若也成等差数列，则_【答案】-1【解析】【分析】由成等差数列，即，将前项和的公式代入，可求出答案.【详解】由成等差数列知，即，故，整理得，又，故.故答案为：-1【点睛】本题考查等差数列的简单应用和等差数列的前项和的公式的应用，属于基础题.15.

10、关于方程无实根，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】程无实根,即直线与曲线无公共点，找直线与曲线相切的时候的值，然后分析可得答案.【详解】由，得，若直线与曲线相切，设切点为， ，.直线恒过点.因为原方程无实数根，所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查方程的根的情况，转化为两曲线的交点问题，属于中档题.16.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意成立，则实数的最小值为_此时，函数在区间上的图象与直线所围成的封闭图形的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先将函数化简为，由平移得到的解析式，对任意成立，即函数的对称轴为，可求出的最小值，然后用割

11、补的方法，可得图形的面积.【详解】由图象向左平移个单位长度.则得到.所以.由若对任意成立，则函数的对称轴为.得，所以，则最小值为；此时，由对称性可知，如图即右边阴影部分的面积等于左边的面积.所求面积即为直线以及围成矩形面积，即为.故答案为：. ， 【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和对称性，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.如图，平面四边形中，.（1）求的长；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由条件求出，再由

12、余弦定理可求的长.(2)由正弦定理可求得，由可求得的值，则面积可求【详解】解：（1）由题意知，在中，根据余弦定理，解得（舍去）；（2）由题意知， 在中，由正弦定理得，即，解得，又，故.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用和求三角形的面积，属于中档题.18.如图，三棱柱中，.（1）证明：；（2）若，点是的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1) 取的中点，连接,根据条件可证明，从而可得.(2) 由，又，可求出点到平面的距离.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，为等边三角形，又，又，平面，又平面，为中点，；（2）连接，又，又，是的中点，平面，由 ，所以 在

13、中，.取中点为，在等腰三角形中，有.所以在中，.所以 设到平面的距离为，由，即，即，.故点到平面的距离为.【点睛】本题考查由线面垂直得线面垂直和用等体积法求点到面的距离,属于中档题.19.已知直线与圆相交于两点，为坐标原点.（1）当时，求；（2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在满足条件的实数.见解析【解析】【分析】(1)先求出圆心到直线的距离，然后解直角三角形可得弦长的值.(2) ）设,若，则，再方程联立韦达定理代入可得答案.【详解】解：（1）当时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，则；（2）设，则由，得，即，又，化简得，不存在满足条件的

14、实数.【点睛】本题考查圆中利用垂径定理求弦长，考查点到直线的距离和方程联立韦达定理的应用,属于中档题.20.某人某天的工作是：驾车从地出发，到两地办事，最后返回地，三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如下表：路段正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时.现有如下两个方案：方案甲：上午从地出发到地办事，然后到达地， 下午在地办事后返回地；方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地.设此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟

15、试验，按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，若到达某行最后一个数字，则从下一行最左侧数字继续读取，每次读取4位随机数，第1位数表示采取的方案，其中0-4表示采用方案甲，5-9表示采用方案乙；第2-4位依次分别表示当天行驶的三个路段上是否降水，若某路段降水概率为，则表示降水，表示不降水.（符号表示的数集包含）05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23099842 99 64 61 71 6299 15 061 29 169358 05 7

16、7 05 9151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（1）利用数据“5129”模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回地的时间；（2）利用随机数表依次取出采用甲、乙方案的模拟结果各两组，分别计算甲

17、、乙两个方案的平均时间，并回答哪个方案办完事后能尽早返回地.【答案】（1）19点；（2）甲方案有利于办完事后能更早返回地.【解析】【分析】（1）数据“5129”表示采用乙方案，上午路段降水，下午路段降水，路段未降水，由此能求出结果（2）根据规划，读取的两组甲方案对应数据依次为1693，2687，求出平均时间为10，读取的两组乙方案对应数据为5129，5805，求出平均时间为11，从而认为甲方案有利于办完事后能更早返回地【详解】解：（1）数据“5129”表示采用乙方案，上午路段降水，下午路段降水，路段未降水，故花费正常行驶时间7小时，降水延迟2小时，办事及午餐2小时共计11小时，故推算返回地的时

18、间为19点；（2）根据规则，读取的两组甲方案对应数据依次为1693，2687,得数据上午路段是否降水（0-2表示降水）上午路段是否降水（0-1表示降水）下午路段是否降水（0-8表示降水）总时间平均时间1693否否是10102687否否是10类似地，读取的两组乙方案对应数据为5129，5805，可得数据上午路段是否降水（0-2表示降水）上午路段是否降水（0-1表示降水）下午路段是否降水（0-8表示降水）总时间平均时间5129是是否11115805否是是11因为1011，故认为甲方案有利于办完事后能更早返回地.【点睛】本题考查时间的估算，考查随机数表的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21

19、.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，对于任意，都有.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)先求出，然后对的符号进行分类讨论即可.(2) 要证，即证,当时，不等式显然成立；当时，即证；当时，即证；构造进行证明分析可证.【详解】解析：（1）由题意的定义域为， 且，当时，；当时，时，；时，；当时，时，；时，；综上所述，当时，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.（2）要证，即证，当时，不等式显然成立；当时，即证；当时，即证；令，则，当时，在上，为减函数；在上，为增函数，.当时，在上，为增函数；在上，为减函数，综上所述，当时，成

20、立.【点睛】本题考查利用导数讨论含参数的单调性问题和构造函数证明不等式.属于难题.22.在极坐标系中，直线的方程分别为，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.（1）将直线的方程与曲线的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线上动点作直线的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化的公式，直接得出答案.(2)由条件可设，则矩形的两边长分别为，然后用换元法可求矩形面积的最大值.【详解】解：（1）由得直线的直角坐标方程分别为，曲线的方程为；（2）由（1）知曲线，故可设，矩形的两边长分别为，矩形的面积，令，则，当时，.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程以及换元法求最值，属于中档题.23.已知，且，求证：（1）；（2）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)由，同样处理另外两个式子，则可证明结论.(2)由，结合条件有则可证明结论.【详解】证明：（1）；（2）由，可知，于是：.【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，属于中档题.