专题09 二次函数与三角形的综合-2019年中考数学函数考点全突破学霸冲冲冲shop348121278.taobao.com.doc

1、一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题 2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘

2、高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1. 如图，已知抛物线(a为常数，且a0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为5(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,

3、 求PBD面积的最大值DBOAyxC解答：(1)抛物线令y0，解得x2或x4，A(2，0)，B(4，0)直线经过点B(4，0)，解得，直线BD解析式为：当x5时，y3，D(5，3)点D(5，)在抛物线上，抛物线的函数表达式为：(2)设P(m, ) BPD面积的最大值为【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式

4、； HF解答：1）A（1，0）CD4AC，点D的横坐标为4，.直线l的函数表达式为yaxa（2）过点E作EHy轴，交直线l于点H设E（x，ax 22ax3a），则H（x，axa）. ADE的面积的最大值为，解得.抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax22ax+a+4（a0）经过点B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=3x+3，y=3，B（0，3），把

5、B（0，3）代入y=ax22ax+a+4，3=a+4，a=1，二次函数解析式为：y=x2+2x+3；（2）令y=0代入y=x2+2x+3，0=x2+2x+3，x=1或3，抛物线与x轴的交点横坐标为1和3，S=DMBE+DMOE=DM（BE+OE）=DMOB=3=（m）2+0m3，当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求

6、使BPC为直角三角形的点P的坐标解答：（1）依题意得：，解得，抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又B（3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t3）2=t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t26t+10解得：t=；若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t26t+10=4+t2解得：t=4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18解得：，.综上所述P的坐

7、标为（，）或（，4）或（，）或（，）【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a0，m0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，3)，点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段

8、GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CDAB，求点D的坐标，由ADMAEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.过点F作FHx轴于点H，在RtCGO和RtFGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得ADGFAE=345，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角

9、形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C（0，-3）代入函数表达式得，.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=m，x2=3mA(m，0)，B(3m，0).CDAB，点D的坐标为（2m，3）AB平分DAEDAM=EANDMA=ENA=900，ADMAEN, .设点E的坐标为（x,）,x=4m.为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FHx轴于点H，在RtCGO和RtFGH中,tanCGO, tanFGH, =OG=3m,由勾股定理得，GF=，AD=.由（2

10、）得，ADGFAE=345以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（1，0）B点在抛物线yx2x2的图像上，过点B作BDx轴，垂足为D，且B点的横坐标为3 (1)求BC所在直线的函数关系式 (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC 为直角边的直角三角形？若

11、存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解答：（1）C点坐标为（-1,0），BD=CO=1B点的横坐标为-3，B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得BC所在直线的函数关系式为y=x （2）若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1AC，因为BCAC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。又因为直线BC的解析式为y=x，所以将代入可得点P1的坐标为(-, -)。若以为AC直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2AC，如图所示，过点A作AP2BC，因为BC的解析式为y=x，设直线AP2的解析式为y=x+d。直线交对

12、称轴直线于点P2，即点P2的横坐标为-。因为OD=3，OC=1，所以OA=CD=2，所以A点的坐标为(0,2)。将点A的坐标代入直线AP2，所以直线的解析式为2y=x+2，所以点P2的坐标为(-, )。综上所述，点的坐标为P1 (-, -)、P2(-, )。三、二次函数问题中等腰等边三角形问题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=-x2+bx的图像过点A(4,0),顶点为B，连接AB、BO.(1)求二次函数的表达式；(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CP的对称点为B，当OCB为等边三角形时，求BQ的长度；(3)若点D在线段BO上，OD=2BD，点E、F在OA

13、B的边上，且满足DOF与DEF全等，求点E的坐标. 解答：(1)将A(4,0)代入y=-x2+bx得，-42+b4=0,解得b=2,所以二次函数的表达式为y=-x2+2x；(3) 当点F在OB上时，如图，当且仅当DEOA，即点E与点A重合时DOFFED，此时点E的坐标为E(4,0)；点F在OA时，如图DFOA，当OF=EF时DOFDEF，由于OD=2BD，所以点D坐标为(，)，点F坐标为(，0)，点E坐标为(，0)；综上满足条件的点E的坐标为(4,0)、(，0)、(2+，2-)2.如图1，已知的三顶点坐标分别为，二次函数y = ax2 + bx+c恰好经过A、B、C三点(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，若点P是边AB上的一个动点，过点P作PQ，交于点Q，连接CP，当的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，点是直线上的一个动点，点N是二次函数图像上的一动点，若 构成以为斜边的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点N的横坐标 解答： (1) 3分(2)设点()，则AP=t+1，BP=3t，三角形的面积为6， 5分又 8分t=1时，最大，此时点9分 (3) 所有满足条件的点N的横坐标为12分