专题1.2“导数工具处理最值”之数学模型通关.doc

1、专题02 “导数工具，处理最值”之数学模型通关一、导数为器，求解最值1已知函数（，且）.（）求函数的单调区间；（）求函数在上的最大值. 【思路引导】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由（）得在上单调递减，在上单调递增，由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.（）由（）得在上单调递减，在上单调递增，由此可知.， ，.设，则 .当时， ，在上单调递增.又，当时， ；当时， .当时， ，即，这时， ；当时， ，即，这时， .综上， 在上的最大值为：当时， ；当时， .2已知函数（）当时，求的单调区间（）当时，求函数在区间上的最小值（）在条件（）下，当最小值为

2、时，求的取值范围【思路引导】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可求得函数在区间上的最小值；（3）分三种情况讨论的范围，分别利用导数求出函数的最小值，排除不合题意的情况，即可筛选出符合题意的的取值范围.试题解析：（ ）由函数可知，函数的定义域是，且，当时， ，令，得；令，得，的单调增区间为，单调减区间是；当时，令得或，若，即，则恒成立，在上单调递增，若，即，则和时， ，当时， ，在和上单调递增，在上单调递减；若，即，则和时， ，当时， ，在和上单调递增

3、，在上单调递减，综上所述，当时， 的单调区间为，单调减区间是，当时， 的单调增区间为和，单调减区间是；当时， 的单调增区间是；当时， 的单调增区间是和，单调减区间是在的最小值是，综上所述，当时， 在上的最小值是；当时， 在上的最小值是；当时， 在上的最小值是（）由（）可知，当时， 在上单调递增，在上的最小值是；当时， 在上单调递减，在上单调递增，在上最小值是；当时， 在上单调递减，在上的最小值是；综上，若在区间上的最小值是，则，故的取值范围是3已知函数.（）设函数，试讨论函数的单调性；（）设函数 ，求函数的最小值.【思路引导】（） ， ，讨论导函数的正负从而得函数单调性；（）函数，令，则，从而

4、通过求和的最小值进而可得的最小值.试题解析：（）函数的定义域为， ， 故 令，得或， 当时， ， 在上为单调增函数，当时， ， 在上为单调减函数， 当时， ， 在上为单调增函数， 故函数在上单增，在上单减，在上单增 （）函数， 由（）得函数在上单增，在上单减，在上单增，时， ，而， 故函数的最小值为， 令，得 ，当时， ， 在上为单调减函数，当时， ， 在上为单调增函数， 函数的最小值为， 故当时，函数的最小值为.4已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程（）求的单调区间（）求证：当时，函数存在最小值【思路引导】（1）分别求得和，由点斜式可得直线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，由

5、导函数的正负求单调区间即可；（3）结合（2）得到函数f（x）在x-a，+）上f（x）f（-2），而x（-，-a）时，f（x）=exx（x+a）+a0，从而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（-2）即可试题解析：（）当时， ， ， ，曲线在点处的切线方程为： ，即当，即时，令，得或；令，得，的单调增区间是和，单调减区间是综上所述，当时，函数在上递增；当时， 的单调增区间是和，单调减区间是；当时， 的单调增区间是和，单调减区间是（）由（）得：当时，函数在上有，且，时， ， ， ，时，函数存在最小值【总结】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导

6、，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，本题中是将一个函数拆为两个函数分别求得最值，又恰好在同一处取到.二、构造函数，利用最值求证不等关系1已知函数.（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于.【思路引导】（1）第（1）问，直接求导，再利用二次求导求函数的单调性. (2)第（2）问，对a分类讨论，再利用导数求出求每一种情况下函

7、数的单调性，从而证明函数在上的最小值小于.（2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于.2已知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）比较与的大小，并加以证明；【思路引导】（）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，对应确定单调区间，（）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.试题解析：（1），令，得， ；令，得或；令，得.故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

8、.（2）.证明如下：设 ，为增函数，可设， ，.当时， ；当时， . ，又， .， .3已知函数， .（1）比较与的大小，并加以证明；（2）当时， ，且 ，证明： .【思路引导】（1）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.（2）先确定函数单调性，得，再根据，确定.试题解析：（1）.证明如下：设 ，为增函数，可设， ，.当时， ；当时， . ，又， .， .（2）证明：设 ，令，得， ，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，设， ， ，即 .当时， ，则.当时， ，.当或时，不合题意.从而.4已知函数 .（

9、1）当时,求曲线在点处的切线方程;（2）讨论函数的单调区间;（3）求证：若函数在处取得极值,则对恒成立.【思路引导】（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（3）由，计算得出,取经检验满足条件， ,则,令利用导数求出的最小值即可得结果.试题解析：（1）因为,当时, ,当, ,所以曲线在点处的切线方程.（2）因为在, ,当时, 在上单调递减.当时, .当时, , 单调递减;当时, , 单调递增;综上所述,当时, 单调减区间,无增区间.当时

10、, 单调增区间,单调减区间.5设函数， .（1）讨论的单调性；（2）当时，记的最小值为，证明： .【思路引导】（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知， ， ， ，所以单调递减，又， ，所以存在，使得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减；所以，再证明出。试题解析（1）的定义域为， ，当时， ， 在上单调递增；当时，当， ， 单调递减；当， ， 单调递增；综上，当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知， ，即.解法一： ， ，单调递减，又， ，所以存在，使得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减； ，

11、又，即， ， ，令，则在上单调递增，又，所以，.解法二：要证，即证，即证： ，令，则只需证， ，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增；所以 ，所以，即.6已知函数 .（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数，记函数在上的最小值为，求证： .【思路引导】（1）求导得，结合，由点斜式可得切线方程；（2）由，得，令， ，则在上单调递增，又，则存在使得成立，从而得，求导求范围即可.试题解析：（1）由题意知， ， ，则所求切线方程为，即.（2）由题意知， ，.令，则在上单调递增，又，则存在使得成立，.当时， ，当时， ，.令，则，.7已知函数（）讨论的单调性；（）当时，证明【思路引导】（I）

12、首先求函数的导数 ，分和两种情况求函数的单调区间；（）由（I）知当时，函数的最大值是 ，即，再构造函数，利用函数的导数求函数的最大值小于等于0.试题解析：（1）f(x)的定义域为，若，则当时，故在单调递增若，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为所以等价于，即设，则当时，；当，.所以在（0,1）单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为所以当时，从而当时，即【总结】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思

13、路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.三、利用最值，求解恒成立问题1已知函数， ，函数的图象在点处的切线的斜率为，函数在处取得极小值.（1）求函数， 的解析式；（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）由已知有求出，由求得，所以， ；（2）令，将问题转化为对任意的恒成立， ，对实数分情况讨论，得出单调性，求出最小值，从而得出的范围。当时， ， 在上单调递减， ，满足题意.当时， ， 在上单调递减， ，满足题意.当时， 在上恒成立， 在上恒成立.所以在单调递减，在上单调递增，所以，不满足题意.综上所述，实数的取值范

14、围为.2已知函数（1）求函数的极值；（2）若恒成立，求的最小值【思路引导】（1）通过两次求导可得在上单调递增，又，当时， 递减，当时递增， 的极小值为，无极大值；（2）恒成立等价于恒成立，当在上单调递增，不合题意，当可得，即， ，令，只需利用导数求出即可的结果.试题解析：（1）， 恒成立，在上单调递增，又，当时， 递减，当时， 递增，的极小值为，无极大值.（2）即，令，即证当时， 恒成立，则，当在上单调递增，当时， ，与矛盾.当在上单调递减，当上单调递增，即，令，令得，令得，即当时， 的最小值为3已知函数， .（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，都有

15、恒成立，求实数的取值范围；（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即得在上恒成立，参变分离得，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围.试题解析：（1）由，得. 由题意， ，所以.（2）.因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立. 问题等价于函数，即在上为增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即实数的取值范围是.（3）不等式等价于，

16、整理得.构造函数，由题意知，在上存在一点，使得.因为，所以，令，得.当，即时， 在上单调递增.只需，解得.当即时， 在处取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化为.因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.当，即时， 在上单调递减，只需，解得.综上所述，实数的取值范围是.4已知函数， 为自然对数的底数.（1）若当时， 恒成立，求的取值范围；（2）设，若对恒成立，求的最大值.【思路引导】（1）因为，所以恒成立，由于，所以设，则恒成立，根据一次函数单调性即得的取值范围；（2）令，则原问题转化为对恒成立.根据二次求导可得， ，即得，再利用导数求函数最大值，即得的最大值.试题解析

17、：（1）由题意得，且，注意到设，则，则为增函数，且.讨论如下：若， ，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，合题意；（2）当时， ，即.令，则原问题转化为对恒成立.令， .若，则，得单调递增，当时， ， 不可能恒成立，舍去；若，则；若，则易知在处取得最小值，所以， ，将看做新的自变量，即求函数的最大值，则，令，得.所以在上递增，在上递减，所以，即的最大值为，此时， .5设函数（）.（1）当时，求函数的极值；（2）若对任意及任意， ，恒有成立，求实数的取值范围. 【思路引导】(1)函数的定义域为,当时, ,由此求得函数的单调区间,并求得当时函数取得最小值为,无极大值.(2)利用导数求得函数在区

18、间上的最大值与最小值,得到的最大值为,故,分离常数得,而,所以.【试题解析】（1）函数的定义域为当时， ， .当时， ， 单调递减；当时， . 单调递增.，无极大值.（2），当时， 在上单减，是最大值， 是最小值.，而经整理得，由得，所以.6已知函数（1）求在上的最小值；（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值【思路引导】（1）对函数求导，由于不能因式分解，但是能观察出零点，进一步求二阶导可知导函数单调，所以导函数只有唯一零。（2）由，所以方程 有两个不同的实根 ，通过韦达定理把待证不等式消去，再分离参数t，可解。试题解析：（） , 在单调递增，又， 在单调递减， 在单调递增 （） 根

19、据题意，方程 有两个不同的实根 ， 所以，且 ， ， 由可得，又 所以上式化为对任意的恒成立（I）当 时，不等式恒成立， ；（III）当 时， 恒成立，即由（II），当 时， ，所以 综上所述7已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（）求的值;（）若时, ,求的取值范围.【思路引导】（）由已知得，即可求解的值；（）由（）知，设，求得，根据题意，得，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得实数的取值范围.试题解析：（）由已知得（）由（）知, ,设,则由题意知, ,即,令,则,当即时,由得, ,由得, ,所以在单调递减,在单调递增,所以在区间上的最小值,所以当时, 即恒成立

20、.当即时, 恒成立,即在单调递增,所以在区间上的最小值,所以当时, 即恒成立.当即时, 恒成立即在单调递增,所以在区间上的最小值,所以当时, 不可能恒成立.综上所示, 的取值范围是.【总结】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）四、利用最值，求解函数图象相关问题1已知函数和（）若，求证的图像永远在图像的上方 （）若和的图像有公共点，且在点处的切线相同，求的取值范围【思路引导】（1）原题等价于恒成立，研究函数的单调性使

21、得函数的最小值大于0即可；（2）根据导数的几何意义得到设的坐标为,，且，消去，可得，可得，有解即可.解析：（）若，有，令，当时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减，可得在处取得极小值，且为最小值，且， 即有恒成立，则的图象在图象上方（）设的坐标为， ， ， ，且，消去，可得， 可得， 令， 当时， ， 递增，当时， ， 递减 可得在处取得极小值，且为最小值，2已知函数（为自然对数的底, 为常数）.（）讨论函数的单调性;（）对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线,设,问函数与函数是否存在“分界线”？若存在,求出常数;若不存在,说明理由.【思路引导】（）当时，得在上单调递增，再分和两种情况讨论，即可求解函数的单调性；（）把存在恒成立，转化为恒成立，进而只需判断是否恒成立，设出新函数，利用导数得到函数单调性和最值，即可求解实数的值试题解析：（）当时, ,则在上单调递增当时, ,令若,则随的变化情况如下表：则在单调递减,在单调递增若,则随的变化情况如下表：则在单调递增,在单调递减综上,当时, 在R上单调递增;当时, 在单调递减,在单调递增;当时, 在单调递增,在单调递减则在处取得最小值,且则恒成立,即证恒成立故存在分界线,且, ,