专题16：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之半角模型- 中考数学解题方法系统训练（全国通用）.doc

1、专题16：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之半角模型一、单选题1如图，在中，点，为上两点，为外一点，且，有下列结论：；.其中正确的是（ ）ABCD2如图所示，在RtABC中，ABAC，D、E是斜边BC上的两点，且DAE45，将ADC绕点A按顺时针方向旋转90后得到AFB，连接EF，有下列结论：BEDC；BAFDAC；FAEDAE；BFDC其中正确的有（）ABCD二、填空题3如图，在RtABC和RtBCD中，BACBDC90，BC4，ABAC，CBD30，M，N分别在BD，CD上，MAN45，则DMN的周长为_4如图，在RtABC和RtBCD中，BACBDC90，BC8，ABAC，C

2、BD30，BD4，M，N分别在BD，CD上，MAN45，则DMN的周长为_三、解答题5问题情境：已知，在等边ABC中，BAC与ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且MON60，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并

3、证明6问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系（发现证明）小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AEAD，DF=40（1）米，现

4、要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）7如图，点、分别在边、上，过点作，且点在的延长线上（1）与全等吗？为什么？（2）若，求的长8如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且EAF45，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路例如图中ADF与ABG可以看作绕点A旋转90的关系这可以证明结论“EFBEDF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程（1）延长CB到点G，使BG ，连接AG；（2）证明：EFBEDF9请阅读下列材料：已知：如图（1）在RtABC中，BAC90，ABAC

5、，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数10如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接EM，AE，且使得（1）求证

6、：；（2）求证：.11（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD100，BADC90E，F分别是BC，CD上的点且EAF50探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E，F分别是BC，CD上的点，且2EAFBAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，EBF45，直接写出DEF的周长12在MAN内有一点D，过点

7、D分别作DBAM，DCAN，垂足分别为B，C且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上 （1）如图1，若BED=CFD，请说明DE=DF；（2）如图2，若BDC=120，EDF=60，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由13（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：BEA =G， EF=FG（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的长参考答案1A【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出AFBA

8、EC，即可得出CE=BF，根据勾股定理与等量代换可得正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出，再根据勾股定理以及等量代换即可得出【详解】BAC=,FAAE,DAE=，CAE=DAEBAD=BAD，FAB=DAEBAD=BAD，FAB=EAC，AB=AC,BAC=，ABC=ACB=，FBBC，FAB=，AFBAEC，CE=BF，故正确，：由中证明AFBAEC，AF=AE，DAE=，FAAE，FAD=DAE=，AFDAED，连接FD，FB=CE，FB2+BD2=FD2=DE2，故正确，：如图，设AD与EF的交点为G，FAD=EAD=，AF=AE，ADEF，EF=2EG，SADE=

9、ADEG=ADEF=ADEF，故正确，：FB2+BE2=EF2，CE=BF，CE2+BE2=EF2，在RTAEF中，AF=AE，AF2+AE2=EF2，EF2=2AE2，CE2+BE2=2AE2，故正确。故选A.【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判断（HL）和勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断（HL）、勾股定理和等量代换.2C【解析】【分析】利用旋转性质可得ABFACD，根据全等三角形的性质一一判断即可【详解】解：ADC绕A顺时针旋转90后得到AFB，ABFACD，BAFCAD，AFAD，BFCD，故正确，EAFBAF+BAECAD+BAEBACDAE904545D

10、AE故正确无法判断BECD，故错误，故选：C【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型32+2【解析】【分析】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，由旋转得出NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，求出EAMMAN，根据SAS推出AEMANM，根据全等得出MNME，求出MNCNBM，解直角三角形求出DC，即可求出DMN的周长BDDC，代入求出答案即可【详解】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，如图： 由旋转得：NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，BACD90，ABD+ACD3609090180，ABD+ABE180

11、，E，B，M三点共线，MAN45，BAC90，EAMEAB+BAMCAN+BAMBACMAN904545，EAMMAN，在AEM和ANM中， AEMANM（SAS），MNME，MNCN+BM，在RtBCD中，BDC90，CBD30，BC4，CDBC2，BD2，DMN的周长为DM+DN+MNDM+DN+BM+CNBD+DC2+2，故答案为：2+2【点评】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键44+4【解析】【分析】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，由旋转得出NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，求出EAMMAN，根据SAS推出

12、AEMANM，根据全等得出MNME，求出MNCN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出DMN的周长BD+DC，代入求出即可【详解】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，如图：由旋转得：NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，BACD90，ABD+ACD3609090180，ABD+ABE180，E，B，M三点共线，MAN45，BAC90，EAMEAB+BAMCAN+BAMBACMAN904545，EAMMAN，在AEM和ANM中，AEMANM（SAS），MNME，MNCN+BM，在RtBCD中，BDC90，CBD30，BD4，CDBDtanCBD4，DMN的周长为DM+DN+MNDM

13、+DN+BM+CNBD+DC4+4，故答案为：4+4【点评】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅助线.5（1）CMAN+MN，详见解析；（2）CMMNAN，详见解析【解析】【分析】（1）在AC上截取CDAN，连接OD，证明CDOANO，根据全等三角形的性质得到ODON，CODAON，证明DMONMO，得到DMMN，结合图形证明结论；（2）在AC延长线上截取CDAN，连接OD，仿照（1）的方法解答【详解】解：（1）CMAN+MN，理由如下：在AC上截取CDAN，连接OD，ABC为等边三角形，BAC与ACB的角平分线交于点O，OACOCA30，OAOC，在CDO

14、和ANO中，CDOANO（SAS）ODON，CODAON，MON60，COD+AOM60，AOC120，DOM60，在DMO和NMO中，DMONMO，DMMN，CMCD+DMAN+MN；（2）补全图形如图2所示：CMMNAN，理由如下：在AC延长线上截取CDAN，连接OD，在CDO和ANO中，CDOANO（SAS）ODON，CODAON，DOMNOM，在DMO和NMO中，DMONMO（SAS）MNDM，CMDMCDMNAN【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理6【发现证明】证明见解析；【类比引申】BAD=2EAF；【探究应用】1092

15、米【解析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到ADGABE，则GF=BE+DF，只要再证明AFGAFE即可【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证ADFABM，证FAEMAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到ABE是等边三角形，则BE=AB=80米把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，根据旋转的性质可以得到ADGABE，则GF=BE+DF，只要再证明AFGAFE即可得出EF=BE+FD解：如图（1），ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAF=45，即DAF+BEA=EAF=45，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AG=AE，GAF=F

16、AE，AF=AF，AFGAFE（SAS）GF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，BE+DF=EF【类比引申】BAD=2EAF理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，ABC+D=180，ABC+ABM=180，D=ABM，在ABM和ADF中，AB=AD，ABM=D，BM=DF， ABMADF（SAS），AF=AM，DAF=BAM，BAD=2EAF，DAF+BAE=EAF，EAB+BAM=EAM=EAF，在FAE和MAE中，AE=AE，FAE=MAE，AF=AM，FAEMAE（SAS），EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF故答案是：BAD=2EAF【探究应用

17、】如图3，把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，连接AFBAD=150，DAE=90，BAE=60又B=60，ABE是等边三角形，BE=AB=80米根据旋转的性质得到：ADG=B=60，又ADF=120，GDF=180，即点G在CD的延长线上易得，ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAG=BAD=150，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AG=AE，GAF=FAE，AF=AF，AFGAFE（SAS）GF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，EF=BE+DF=80+40（1）109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米“点睛”此题主要考查了四边形综合题，关键是正

18、确画出图形，证明AFGAEF此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫7（1）GABFAD，理由见解析；（2）EF=5【解析】【分析】（1）由题意可得ABG=D=90，进一步即可根据ASA证得GABFAD；（2）由（1）的结论可得AG=AF，GB=DF，易得BAE+DAF=45，进而可推出GAE=EAF，然后利用SAS即可证明GAEFAE，可得GE=EF，进一步即可求出结果【详解】解：（1），点在的延长线上，ABG=D=90，在GAB和FAD中，AB=AD，ABG=D，GABFAD（ASA）；（2）GABFAD，AG=AF，GB=DF，BAE+DAF=45，BAE

19、+GAB=45，即GAE=45，GAE=EAF，在GAE和FAE中，AG=AF，GAE=EAF，AE=AE，GAEFAE（SAS），GE=EF，GE=GB+BE=DF+BE=2+3=5，EF=5【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键8（1）DF；（2）见解析【解析】【分析】（1）由于ADF与ABG可以看作绕点A旋转90的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法；（2）先证明ADFABG，得到AG=AF，GAB=DAF，结合EAF45，易知GAE=45，再证明AGEAFE即可得到EFGE=BE+GB=BEDF【详解】解

20、：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG；（2）四边形ABCD为正方形，AB=AD，ADF=ABE=ABG=90，在ADF和ABG中ADFABG（SAS），AF=AG，DAF=GAB，EAF=45，DAF+EAB=45，GAB+EAB=45，GAE=EAF =45，在AGE和AFE中0ADFABG（SAS），GE=EF，EFGE=BE+GB=BEDF【点评】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型9（1）DE2BD2+EC2；（2）关系式DE

21、2BD2+EC2仍然成立，详见解析；（3）当ADBE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角DFE为120【解析】【分析】（1）DE2BD2+EC2，将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE，得到AFDABD，然后可以得到AFAB，FDDB，FADBAD，AFDABD，再利用已知条件可以证明AFEACE，从而可以得到DFEAFD+AFE45+4590，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当ADBE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形如图，与（1）类似，以CE为一边，作ECFECB，在CF上截取CFCB，可得CFECBE，DCFDCA

22、，然后可以得到ADDF，EFBE由此可以得到DFE1+2A+B120，这样就可以解决问题【详解】解：（1）DE2BD2+EC2；证明：如图，将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE，AFDABD，AFAB，FDDB，FADBAD，AFDABD，BAC90，DAE45BAD+CAE45, FAD+FAE45,CAE=FAE又AE=AE,AF=AB=ACAFEACE，DFEAFD+AFE45+4590，DE2FD2+EF2DE2BD2+EC2；（2）关系式DE2BD2+EC2仍然成立证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FEAFDABD，AFAB，FDDB，FADBAD，AFDABD，又ABA

23、C，AFAC，FAEFAD+DAEFAD+45，EACBACBAE90（DAEDAB）45+DAB，FAEEAC，又AEAE，AFEACE，FEEC，AFEACE45，AFDABD180ABC135DFEAFDAFE1354590，在RtDFE中，DF2+FE2DE2，即DE2BD2+EC2；（3）当ADBE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形如图，与（2）类似，以CE为一边，作ECFECB，在CF上截取CFCB，可得CFECBE，DCFDCAADDF，EFBEDFE1+2A+B120若使DFE为等腰三角形，只需DFEF，即ADBE，当ADBE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角

24、形，且顶角DFE为120【点评】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据10（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质证明AMEAFE（SAS），即可得出答案；（2）利用（1）中所证，再结合勾股定理即可得出答案【详解】证明：（1）将绕点A顺时针旋转90后，得到，在AME和中，；（2）由（1）得：，在中，又，【点评】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确得出AMEAFE是解题关键11（1）EFBE+DF；（2）

25、成立，理由详见解析；（3）14【解析】【分析】（1）延长FD到点G使DGBE连结AG，由“SAS”可证ABEADG，可得AEAG，BAEDAG，再由“SAS”可证AEFAGF，可得EFFG，即可解题；（2）延长EB到G，使BGDF，连接AG，即可证明ABGADF，可得AFAG，再证明AEFAEG，可得EFEG，即可解题；（3）延长EA到H，使AHCF，连接BH，由“SAS”可证ABHCBF，可得BHBF，ABHCBF，由“SAS”可证EBHEBF，可得EFEH，可得EFEHAE+CF，即可求解【详解】证明：（1）延长FD到点G使DGBE连结AG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE

26、AG，BAEDAG，BAD100，EAF50，BAE+FADDAG+FAD50，EAFFAG50，在EAF和GAF中，EAFGAF（SAS），EFFGDF+DG，EFBE+DF，故答案为：EFBE+DF；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB到G，使BGDF，连接AG，ABC+D180，ABG+ABC180，ABGD，在ABG与ADF中，ABGADF（SAS），AGAF，BAGDAF，2EAFBAD，DAF+BAEBAG+BAEBADEAF，GAEEAF，又AEAE，AEGAEF（SAS），EGEFEGBE+BGEFBE+FD；（3）如图，延长EA到H，使AHCF，连接BH，四边形AB

27、CD是正方形，ABBC7ADCD，BADBCD90，BAHBCF90，又AHCF，ABBC，ABHCBF（SAS），BHBF，ABHCBF，EBF45，CBF+ABE45HBA+ABEEBF，EBHEBF，又BHBF，BEBE，EBHEBF（SAS），EFEH，EFEHAE+CF，DEF的周长DE+DF+EFDE+DF+AE+CFAD+CD14【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键12（1）说明见解析；（2）EF= FC+BE理由见解析【解析】【分析】（1）根据题目中的条件和BED=CFD，可以证明BDECDF，从而可

28、以得到DE=DF；（2）作辅助线，过点D作CDG=BDE，交AN于点G，从而可以得到BDECDG，然后即可得到DE=DG，BE=CG，再根据题目中的条件可以得到EDFGDF，即可得到EF=GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系【详解】（1） DBAM，DCAN， DBE=DCF=90在BDE和CDF中， BDECDF（AAS） DE=DF （2）过点D作CDG=BDE，交AN于点G在BDE和CDG中， BDECDG（ASA） DE=DG，BE=CG BDC=120，EDF=60， BDE+CDF=60 FDG=CDG+CDF=60 EDF=GDF在EDF和GDF中， EDFGDF（S

29、AS） EF=FG EF=FC+CG=FC+BE【点评】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答13（1）见解析见解析（2）【解析】【分析】（1）在ABE和ADG中，根据SAS得出ABEADG则BEAG.然后在FAE和GAF中通过SAS证明得出FAEGAF，则EF=FG.（2）过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM连接AE、EN在ABM和ACE中，通过SAS证明得出ABMACE, AM=AE, BAM+CAN=45. 在MAN和EAN中，通过SAS证明得出MANEAN, MN=EN. RtENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2得出最终结果

30、.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，ABE=ADG，AD=AB，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BEAGBAE=DAG，AE=AG，又BAD90，EAG=90，FAG45在FAE和GAF中，FAEGAF（SAS），EF=FG（2）解：如图，过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM连接AE、ENAB=AC，BAC=90，B=ACB=45CEBC，ACE=B=45在ABM和ACE中，ABMACE（SAS）AM=AE，BAM=CAEBAC=90，MAN=45，BAM+CAN=45于是，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45在MAN和EAN中，MANEAN（SAS）MN=EN在RtENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2MN2=BM2+NC2BM=1，CN=3，MN2=12+32，MN=.【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理、勾股定理，做辅助线是本题的难点