专题五 一元函数的导数及其应用高分突破精练-2021-2022学年高二数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（人教A版2019选择性必修第一、二册）.doc

1、专题五：一元函数的导数及其应用专题考点题型难点强化精练一、单选题1（2021河北石家庄市第一中学东校区高二期末）函数在处的导数的几何意义是（ ）A在点处与的曲线只有一个交点的直线的斜率B在点处的切线与x轴的夹角的正切值C点与点的连线的斜率D在点处的切线的倾斜角的正切值2（2021重庆高二期末）函数的图象在点处的切线方程是（ ）ABCD3（2021安徽省岳西县店前中学高二期末（文）已知函数，则（ ）A0B1CD4（2021安徽省岳西县店前中学高二期末（文）下列求导运算不正确的是（ ）ABCD5（2021山东威海高二期末）下列运算错误的是（ ）ABCD6（2021河北石家庄市第一中学东校区高二期末

2、）已知，则的大小关系为（ ）ABCD7（2021陕西阎良高二期末（理）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD8（2021黑龙江双鸭山一中高二期末（理）已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有个零点；，都有；的解集为.其中正确的命题是（ ）ABCD9（2021四川达州高二期末（文）函数，则“”是“函数在处取到极大值”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10（2021天津滨海高新技术产业开发区第一学校高二期末）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为ABCD11（2021陕西西安市铁一中学高二期末（理）设函数是

3、奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是ABCD12（2021江苏高二期末）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题13（2021全国高二期末）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A在上函数为增函数B在上函数为增函数C在上函数有极大值D是函数在区间上的极小值点14（2021吉林吉化第一高级中学校高二期末（理）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）ABCD15（2021辽宁沈阳高二期末）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）ABCD16（2021河北阜城中学高二期末）已知

4、函数在R上可导且，其导函数满足，若函数满足，下列结论正确的是（ ）A函数在上为增函数B是函数的极小值点C时，不等式恒成立D函数至多有两个零点17（2021辽宁辽河油田第一高级中学高二期末）已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是A函数g(x)在(1，+)上为单调递增函数Bx=1是函数g(x)的极小值点C函数g(x)至多有两个零点D当x0时，不等式 恒成立18（2021湖南常德市淮阳中学高二期末）如果定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有（ ）ABCD三、填空题19（2021山西怀仁高二期末（理

5、）曲线在点处的切线方程为_20（2021黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末（理）若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是_ .21（2021全国高二期末）已知，对任意的都有，则的取值范围为_.22（2021广东潮州高二期末）已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是_23（2021广西钦州高二期末（文）已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_.24（2021福建省泉州第一中学高二期末）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为_.四、解答题25（2021西藏拉萨那曲第二高级中学高二期末（理）设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围

6、.26（2021湖南常德市淮阳中学高二期末）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，27（2021宁夏平罗中学高二期末（理）已知函数，（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若对(-3，-2)，1，3 ，不等式恒成立，求实数的取值范围.28（2021河南高二期末）已知函数，函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数恒成立，求实数的取值范围.29（2021江苏如东高二期末）已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，.30（2021江苏姜堰中学高二期末）已知函

7、数.（1）若函数的图象在处的切线为，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.7学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案1D【分析】利用导数的几何意义和直线斜率与倾斜角的关系即可得到答案【详解】解：的几何意义是在切点处的斜率，故选：D2C【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】， ，则，因此，函数的图象在点处的切线方程是，即.故选：C.3D【分析】求得函数的导数，得到，结合导数的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则，根据导数的概念，可得.故选：D.4D【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A对

8、；对于B选项，B对；对于C选项，C对；对于D选项，D错.故选：D.5C【分析】逐一对各选项的函数按求法则求导即可判断作答.【详解】对于A，A正确；对于B，因且，时，则B正确；对于C，C不正确；对于D，D正确.故选：C6B【分析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小【详解】设恒成立，函数在上单调递减，.故选：B7C【分析】由题设，函数区间单调性有，即在恒成立，根据的区间最值求t的范围.【详解】由题意知：在恒成立，在恒成立，而在递减，则，.故选：C.8C【分析】直接利用函数的图象和性质的应用，不等式的解法，函数的零点和方程的根的关系，函数的定义域和值域的求法判断、的结论【详解】解：

9、函数定义在上的奇函数，当时，下面逐一判断：对于，当时，则，所以，整理得，故正确；对于，当时，由可得，即（1），故（1），又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故错误；对于，当时，所以时，有，时，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时取得最小值，且时，时，所以，即，可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象，综上时，值域为，当时，值域为，而所以的值域为故，都有，即，故，即正确对于，当时，则的解集为，；当时，的解集为，；当时，成立故的解集为，故错误；故选：C9C【分析】根据导数的性质求出是极大值时的范围，再判断【详解】，若，则时，在上是增函数，不是极大值若，则或时，时，即在和上单调递增

10、，在上单调递减，因此是极大值，是极小值所以是为极大值的充要条件故选：C10C【分析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立【详解】，即，（1）当时，当时，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析11A【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构

11、造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.12D【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.13AC【分析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是

12、的极小值点，D选项错误.故选：AC14AD【分析】求导数,利用零点存在定理,可判断A,B; ,可判断C，D.【详解】函数,是函数的极值点，即，,当时，,即A选项正确,B选项不正确;,即D正确,C不正确.故答案为:AD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.15BCD【分析】画出的函数图象，根据图象讨论的根的情况，结合二次函数的性质可求解.【详解】当时，则，当时，单调递减，当时，单调递增，作出的图象，如图所示，令，则，令，由题意得方程有两个不同的根：有两个不同的根，且，则有，解得.有两个不同的根，且，则有，则，方程为，得，满足条件.有两个不同的根，且，因为，则，

13、方程为，得，不符合题意，舍去.综上所述，实数.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是画出函数图象，根据函数图象讨论方程的根的分布情况.16ABD【分析】求出函数的单调性即得选项正确；，故选项错误；对分类讨论即得选项正确.【详解】，则，时，故在递增，选项正确；时，故在递减，故是函数的极小值点，故选项正确；由在递减，则在递减，由，得时，故，故，故选项错误；若（2），则有2个零点，若（2），则函数有1个零点，若（2），则函数没有零点，故选项正确故选：ABD【点睛】方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象

14、分析得解）；（3）方程+图象法（令得到，再分析得解）.17ABC【分析】对函数求导,利用可得的正负，即函数的单调性，判断出选项AB；讨论的符号，结合单调性得出函数的零点个数，判断出选项C；利用在的单调性和最值，判断出选项D【详解】函数，则，当时，故在单调递增，A正确；当时，故在单调递减，故x=1是函数g(x)的极小值点，B正确；若，则有两个零点，若，则有一个零点，若，则没有零点，故C正确；在单调递减，则在单调递减，可知时，故，即，D错误；故选：ABC【点睛】本题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性和极值，判断函数的零点个数，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题18ABC【分析】不

15、等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【详解】解：对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的增函数对于A：满足函数定义在上的增函数，故是“H函数”，故A正确对于B：，所以，函数单调递增，满足条件，故B正确对于C：，所以，所以在定义域上单调递增，故C正确；对于D：，即，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件故D错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键19【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，故点在曲线上求导得：，所以

16、故切线方程为故答案为：20【分析】求出导函数 ，只需在区间上有解即可.【详解】，则，函数在区间（-1，1）上存在减区间，只需在区间上有解，记，对称轴，开口向下，只需，所以，解得， 故答案为：21【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.【详解】由得或，在区间-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.又，又对于任意的x-2,2恒成立，即a的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.22【分析】

17、构造函数，由导数确定单调性后，利用单调性解函数不等式【详解】设，则 ，因为，所以 ，在上单调递减，即，令 ，即， ，所以，所以 故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是构造新函数，利用导数确实单调性，已知不等式转化为关于 的函数不等式，然后求解23或【分析】计算，然后转化为有解，可得的范围，最后进行简单检验可得结果.【详解】由题可知：，因为函数在上存在极值点，所以有解所以，则或当或时，函数与轴只有一个交点，即所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去所以或，即或故答案为：或24【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，再分离参数转化为，然后求出函数的最小值，即

18、解出【详解】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立.设，则对任意恒成立，当时，所以函数在上单调递减，当时，所以函数在上单调递增.当时，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以.令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解

19、，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.25（1）的减区间为，增区间为；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.26（1）切线方程是（2）证明见解析【分析

20、】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程（2）当时，,令，只需证明即可【详解】（1），因此曲线在点处的切线方程是（2）当时，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；所以 因此【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度27（1）极小值为，无极大值（2）答案见解析（3）【分析】（1）利用导数可求得结果；（2）求导后，令得或，对与的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为，根据（2）中的单调性求出和代入后得对(-3，-2)恒成立，列式可解得结果.【详解】（1）当时，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，无极大值.（2）当时，定义

21、域为，令得或，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，当，即时，所以在上单调递减，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，（3）由（2）可知对(-3，-2)，在上单调递减，因为不等式恒成立，等价于，而，所以，即对(-3，-2)恒成立，所以，解得.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 28（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.【分析】（1）求导，判断导函数正负，进而判断函数单调区间；（2）恒成立，可转

22、化为不等式对于恒成立，设，求导，判断单调性并求得最小值，.【详解】（1）函数的定义域为，则，由题意，得当时，递增，当时，令递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）对任意，函数恒成立，即不等式对于恒成立，令，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，有最小值，从而的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的

23、优化问题 (4)考查数形结合思想的应用29（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2），对的大小关系进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性；（3）结合导函数的零点可得，再由函数的单调性，进而可转化条件为，设，通过导数证明即可得证.【详解】（1）因为，所以，所以，解得；（2），若即，的解为，所以当时，单调递减；当时，单调递增；若即，的解为或，所以当时，单调递增；当时，单调递减；若即，恒成立，所以在上单调递增；若即，的解为或，所以当时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，若，当时，单调递减，时， 单调递增；若，当时，单调递增，时，单调递减；若

24、，在上单调递增；若， 当时，单调递增，时，单调递减.（3）证明：由题意，因为导函数在区间上存在零点， 设零点为，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故 ，设，则，设，则，单调递减，又，故在上恒成立，故单调递减，所以，故当时，.30（1）的极大值为，不存在极小值；（2）.【分析】（1）利用即可求出的值，可得的解析式，再对其求导判断单调性即可求出极值；（2）等价于，分离可得构造函数，只需 利用导数求最小值即可求解.【详解】（1），由题意可得：，解得：此时函数，函数的图象在处的切线为成立所以，由可得，由可得，所以在上单调递增，在 上单调递减.所以的极大值为，不存在极小值.由可得分离可得：令令所以在上单调递增存在唯一的，使得当时，即，当时，即，故在上单调递减，在上单调递增.，由于，得，再对两边取对数可得：所以，所以 即实数的取值范围35