2022年高中数学 第一章 空间向量与立体几何 1.docx

1、1.1空间向量及其运算11.2空间向量的数量积运算 课程目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.掌握投影向量的概念.4.能用向量的数量积解决立体几何问题 知识点一空间向量的夹角(1)定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作_a，b_(2)范围：空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，.特别地，当0时，两向量同向共线；当_时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量_互相垂直_，记作_ab_ 知识点二空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则_|

2、a|b|cos_a，b_叫做a，b的数量积，记作ab，即ab_|a|b|cos_a，b_规定：零向量与任意向量的数量积为_0_(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(a)b_(ab)_a(b)_，R交换律ab_ba_分配律(ab)c_acbc_(3)性质序号性质ae|a|cos a，e(其中e为单位向量)若a，b为非零向量，则abab_0_aa|a|2或|a|若a，b为非零向量，则cosa，b_|ab|a|b|(当且仅当a，b共线时等号成立)研读(1)向量的数量积ab不能表示为ab或ab(2)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决

3、定(3)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能由ab0推出a0或b0.(4)在实数运算中，若a，bR，则，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立 知识点三投影向量(1)向量在向量上的投影：在空间，向量a向向量b投影，先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c_|a|cos_a，b_，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量同理，向量b在向量a上的投影向量是_|b|cos_a，b_(2)向量在平面上的投影：向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到向量

4、，则向量_称为向量a在平面上的投影向量这时，向量a与向量_的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角研读如图1，向量a向向量b投影，平移向量a使其起点与向量b的起点重合，再利用平面上向量的投影得到a在b上的投影向量c类似地，可以得到向量a在直线l上的投影向量(如图2)，图3中a在平面内的投影向量是c 判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的数乘是向量，向量的数量积也是向量()(2)两非零向量的数量积的正负由这两个向量的夹角决定()(3)对于向量a，b，c，等式(ab)c(bc)a一定成立()(4)若abac(a0)，则一定有bc()【解析】 (1)向量的数量积ab是一个实

5、数，数乘向量a仍是一个向量(2)由向量数量积的公式知两非零向量的数量积由两向量的夹角决定(3)不一定成立因为若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而(bc)a0时，其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立(4)不一定可能有a(bc)成立(1)如图，在三棱锥ABCD中，ABACAD2，BAD90，BAC60，则(A)A2B2C2D2(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB2，OC3，G为ABC的重心，则()的值为_5_【解析】 (1)因为，所以()022cos 602.(2)()()().所以()()222()222325.规律方法在几何体中求

6、空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式求解 活学活用如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)；(2)；(3).解：(1)|cos ，cos 60.(2)|2.(3)|cos ，cos 120.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明：设A1B1a，A1D1b，A1Ac，则abbcca0，|a|b|c|因为A1

7、OA1AA1A()cab，ba，()CC1abc所以A1O(ba)cbcaaba2b2ba(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是A1O，即A1OBD.同理可证A1O，即A1OOG.又BDOGO，所以A1O平面GBD.规律方法用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题 活学活用如图，已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.证明：连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|因

8、为()(abc)，cb所以(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.所以，即OGBC.如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线OA与BC夹角的余弦值解：因为，所以|cos ，|cos ，84cos 13586cos 1202416，所以cos ，所以异面直线OA与BC夹角的余弦值为.规律方法利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；先求ab，再利用公式cos a，b求出cos a，b的值

9、，最后确定a，b的值(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角余弦值的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小 活学活用如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值解：因为BA1BB1，且BB1BB10，所以BA1(BB1)()21，又ABBC1，ABC90，所以|，|BA1|，所以cos BA1，所以异面直线BA1与AC所成角的余

10、弦值为.若三棱锥MABC的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC的中点，求PQ的长解：因为()()，所以.又2222222222222222222228.所以.规律方法求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|，通过计算求出|a|，即得所求距离 活学活用(1)已知在矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_【解析】 过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM，BM，CN，DN，MN1.由于，|2()2|2|2|22()122(000)，|.(

11、2)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，点N为AA1的中点，求的模长解：由已知得|1，|CC1|AA1|2，AA1CC1，CC1，CC1，90，所以CC1CC10.因为CC1，所以|222CC1221222123，所以|.1若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知空间向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|(B)A0 B2C4 D 83在正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1B1的中点，则异面直线AB1与D1E所成角的余弦值为(D)ABCD4三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC的两两夹角均为45，长分别为2，4，5，则(D)A11B12C15D195如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(D)AB C1 D【解析】 因为，所以|2()2|2|2|22()，由题意知，|1，|cos 13511，0，所以|2323，所以BD.6已知正方体A1B1C1D1ABCD的棱长为1，M为A1B1的中点，则AB1_【解析】 AB1(DD1A1M)(AA1)DD1AA1AA1A1MAA1DD1A1M10000.