山西省太原市2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）.doc

1、山西省太原市2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由斜率的定义求解即可【详解】由斜率的定义得，故答案为：直线的斜率为故选：【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题2.在空间直角坐标系中，点与之间的距离为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可结合两点间距离公式求解【详解】由两点间距离公式得故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题3.过点且垂直于直线的直线方程为（

2、）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为，再由点斜式可得，化简得故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解析式，属于基础题4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下

3、底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题5.与圆关于原点对称的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆的圆心为，圆心关于原点的对称点为，故对称的圆的方程为：故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知，是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【

4、分析】由线面平行的性质可判断A错；由平行的递推性判断B对；C项可能性很多，与不一定垂直；D项可能性很多，不一定【详解】对A，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：对B，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C，可随机举一反例，如图：直线与斜交；对D，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题7.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两直线一般式对应系数关系求解即可【详解】由题可知，应满足，则两直线可化为，由平行直线间距离公式故选：C【点

5、睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为，则该鳖臑的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：故选：A【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数，满足条件则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可将目标函数转化为，再结合约束条件

6、画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为，要使取到最小值，则截距取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为，代入得故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作的中点，连接，由题设可知，则异面直线与所成角为或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得， ，得，即故选：D【点睛】本题考查异面直线的

7、求法，属于基础题11.已知，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆可转化为，圆心为，则直线方程为，圆心到直线的距离，则，则故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题12.将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【

8、分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积【详解】BCD中，BD=1，CD=1，BDC=120，底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到 见图示：AD是球的弦，DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，OM=，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.球的半径OD=该球的表面积为：4OD2=7；故选：B【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平

9、面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆的半径为_.【答案】【解析】【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由，则半径为故答案为：【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 【答案】【解析】试题分析：由，得，即，考点：圆锥的侧面图与体积15.已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程

10、为_.【答案】【解析】【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得【详解】如图：不论直线怎么移动，线段的中点的始终为斜边上的中线，即，即故答案为：【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点,是侧面内一点，若平行于平面,则线段长度的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱中点，连接，连接，因为为所在棱的中点，所以，所以，又平面平面，所以平面；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在直角中，同理

11、，在直角中，求得，所以为等腰三角形，当在中点时，此时最短，位于处时最长，所以线段长度的取值范围是.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知的顶点，是的中点.（1）求直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，再结合中点坐标公式求解即可；（2）

12、所求直线与直线垂直，可算出斜率，又直线过点，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设，由题意得. 直线的方程为； （2），边上的高所在直线的斜率， 边上高所在直线方程为：，即.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体中，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）要证直线平面，可在平面中找一条线与平行，连接，先证明是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线平面的两条交线即可；【详解】（1）连接，是正方体，分别是，的中点，.是平行四边形，平面，平面

13、，平面； （2）由（1）得，是正方体.平面，是正方体，是正方体，平面，平面，平面.【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆与圆.（1）若圆与圆外切，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若直线与圆的相交弦长为，求实数的值.【答案】（1）5；（2）或.【解析】分析】（1）先将圆化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）， 圆与圆外切，； （2）由（1）得，圆的方程为，由题意可得圆心到直线的距离， 或.【点睛】本题考查两圆相

14、切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥中，,是正三角形.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线平面，又平面，即可得证；（2）作点的中点，连接，由面面垂直的和判定定理可得与平面所成角为，通过计算即可求得【详解】（1）证明：是正三角形，平面，； （2）设点是的中点，连接，是正三角形，由（1）得平面，平面平面，平面，与平面所成角为， ，,.【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥中，,，是正三角形.（1）求证：；（2）求

15、二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证平面，再说明平面，即可得证；（2）设点是的中点，连接，通过几何关系可得是二面角的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：是正三角形，平面，；（2）设点是的中点，连接，是正三角形，是正方形，平面，是二面角的平面角， 由（1）得平面，.【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，.（1）当时，求点的坐标；（2）当取最大值时，求的外接圆方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由题知，可设，切线长，半径，圆心与点的长

16、度组成直角三角形，故有，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点位置，此时圆心位置为点与点的中点坐标，半径为，结合垂直关系和直线方程可求点，进而求得的外接圆方程【详解】（1）设， 解得或 或； （2）由题意可知当时，取最大值，设此时，由得， 的外接圆圆心为，半径，的外接圆方程为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题23.已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，.（1）当时，求点的坐标；（2）设的外接圆为圆，当点在直线上运动时，圆是否过定点（异于原点）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）或；（2）是过定点，.【解析】【分析】（1）由题知，可设，切线长，半径，圆心与点的长度组成直角三角形，故有，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点的坐标；（2）可先设，则，整理得的外接圆方程为，结合代换得，要使圆恒过定点满足，即，解出对应的，即可求解【详解】（1）设， 解得或 或； （2）设，则，的外接圆方程为， ，令则或（舍去），圆过定点.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题