专题强化训练三 双曲线的标准方程及其几何性质基础提升必刷题-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）.doc

1、专题强化训练三：双曲线的标准方程及其几何性质基础提升必刷题一、单选题1（2021江西科技学院附属中学高二月考（理）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）ABCD2（2021全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）ABCD3（2021哈密市第十五中学（理）已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD4（2021重庆高二月考）双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）ABC2D5（2021云南弥勒

2、市一中高二月考（理）已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为渐近线上一点，则的最小值为（ ）ABC2D6（2021四川省资中县第二中学（理）已知双曲线：，过点的直线交于，两点，为的中点，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（ ）A3BC2D7（2021永昌县第一高级中学高二期中（文）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）A6B7C8D98（2021浙江温州高二期末）设为双曲线：上的点，分别是双曲线的左，右焦点，则的面积为（ ）ABC30D159（2021山西潞州太行中学高二期末（文）如图，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中

3、点，且，则（ ）A4BC6D910（2021浙江高二单元测试）已知为双曲线的左右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD11（2021广西河池（理）已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABC2D312（2021黑龙江让胡路大庆一中）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设、分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于、两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（

4、 ）ABC2D13（2021湖北东西湖华中师大一附中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD以上均不对14（2021江苏高二专题练习）如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QFFR，且，则E的离心率为（ ）ABCD二、多选题15（2021全国高二）已知双曲线，则（ ）A双曲线的焦距为B双曲线的虚轴长是实轴长的倍C双曲线与双曲线的渐近线相同D双曲线的顶点坐标为16（2021济宁市育才中学高二开学考试）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，

5、为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）A双曲线的离心率B当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上C为定值D的最小值为17（2021武汉市光谷第二高级中学）已知双曲线的实轴长为，焦距为，左、右焦点分别为，下列结论正确的是（ ）A双曲线的离心率为B双曲线的渐近线方程为C到一条渐近线的距离是D过的最短弦长为18（2021湖北武昌高二期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则（ ）A双曲线C的离心率为B四边形的面积为（O为坐标原点）C双曲线C的渐近线方程为D直线与直线的斜率之积为定值19（202

6、1福建省南安市侨光中学高二月考）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）A若曲线为圆，则的值为2；B当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为；C“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件；D存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为.20（2021福建福州三中高二期中）已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）ABE的离心率等于C的内切圆半径D若为E上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2三、填空题21（2021全国高二课时练习）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则_22（2021全国高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点

7、在直线上，且，则此双曲线的标准方程为_23（2021江苏南京高二月考）设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为_.24（2021全国高二课时练习）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_25（2021全国高二课时练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是_26（2021全国高二课时练习）已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|PF2|b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为_27（2021云南省

8、楚雄天人中学高二月考（理）如图，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为_四、解答题28（2021江苏高二专题）根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）c，经过点(5，2)，焦点在x轴上；（2）与双曲线1共焦点，且过点P29（2021鸡东县第二中学）已知点，动点满足条件记动点的轨迹为（1）求的方程；（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45的直线与曲线交于，两点，求30（2021全国高二专题）已知定点，动点到两定点、距离之差的绝对值为（1）求动点对应曲线的轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，若点恰为的中点，求直线的方程31

9、（2021定远县育才学校高二开学考试（理）已知，分别是双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.（1）若，求的面积（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆的圆心轨迹方程.32（2021江苏如皋高二开学考试）已知双曲线实轴端点分别为，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为（1）求双曲线的方程；（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由33（2021全国高二单元测试）已知双曲线：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同

10、的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.34（2021江西景德镇一中高二期末（理）（1）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，点是双曲线上不同的两个动点，求直线与直线的交点的轨迹的方程；（2）设直线交轨迹于两点，且直线与直线交于点，若，试证明为的中点35（2021安徽定远（文）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上 （1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！参考答案1B【详解】，则，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B2C【详解】依题意，所以

11、双曲线的方程为.故选：C3C【详解】因为椭圆的半焦距为：，所以双曲线的右顶点坐标为，即，因此该双曲线的渐近线方程为，故选：C4A【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，则直线AD的方程为，点B是圆上的一点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，则故选：A5D如图，双曲线的右焦点为，右顶点，为渐近线上一点，则的最小值就是关于的对称点到的距离，所以，则的最小值为，故选：D6B【详解】设，代入双曲线方程中得：，两式相减得：，因为为的中点，所以，所以，由题意可知：，所以，故选：B.7D【详解】 则 故双曲线的两个焦点为,也

12、分别是两个圆的圆心,半径分别为, 则的最大值为 故选：D8D解：由，得，则，所以，设，则，所以，由余弦定理得，因为，所以，所以，得，所以，得，所以，所以，所以的面积为，故选：D9A【详解】因为点为的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以所以故选：A10C【详解】解：由，设，由得，所以，又得，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，故选：C.11D【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图，因为所以，因为，所以，由题易知|，因为，所以则化简整理得又，即所以双曲线的离心率为 故选：D12A【详解】如图所示：由题意可知，所以，由双曲线的定义可得，所以故选：A13B解：如图所示：，是双曲线的左右焦

13、点，延长交于点，由直角与全等，则,所以是的中点，是的角平分线，又点在双曲线上，则，则，又是的中点， 是的中位线，即，在中，由三角形两边之和大于第三边得：，两边平方得：，即，两边同除以并化简得：，解得：，又，在中，由余弦定理可知，在中，即，又，解得：，又，,即， ，综上所述：.故选：B.14B如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QFFR，于是有是矩形，设，则，在中，解得或m0（舍去），从而有，中，整理得，所以双曲线E的离心率为故选：B15BC【详解】因为，所以，焦距为，所以A错误；因为，所以B正确；双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；令

14、，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误故选:BC16ACD【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，（舍去），又，所以，离心率为，A正确；设的内切圆与三边切点分别为，如图，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，B错；设，则，渐近线方程是，则，为常数，C正确；由已知的方程是，倾斜角为，所以，当且仅当时等号成立，D正确故选：ACD17AC【详解】依题意可知，所以.离心率，故A正确；渐近线方程为，故B错误；，不妨设渐近线为，则到渐近线的距离，故C正确；过的最短弦长为，故D错误.故选：AC.18ABD【详解】依题意，设，则有，即，而双曲线C的渐近线分别为和，于是得，令

15、双曲线C的半焦距为c，从而得，即，亦即，解得，于是得双曲线离心率，A正确；于是得双曲线渐近线为，即两条渐近线垂直，四边形为矩形，其面积为，B正确；因双曲线渐近线为，C不正确；因直线，且直线与直线都不垂直于坐标轴，则直线与直线的斜率之积为-1，D正确.故选：ABD19AC【详解】A选项，当方程表示圆时，圆的方程为，A正确.B选项，时，方程为，表示双曲线，渐近线方程为，B错误.C选项，当方程表示椭圆时，所以“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件，C正确.D选项，当双曲线离心率为时，双曲线为等轴双曲线，则，此方程无解，D错误.故选：AC20ABD【详解】如上图所示，因为分别是的中点，所以中，所以轴A

16、选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确B选项中，中，所以，得：，故B正确C选项中，的周长为，设内切圆为，根据三角形的等面积法，有，得：，是与有关的式子，所以C错误D选项中，关于原点对称，可设，根据得： ，所以当斜率存在时， ，因为在双曲线上，所以，即，得： ，所以，故D正确故选：ABD21【分析】根据虚轴长是实轴长的2倍列方程，由此求得的值.【详解】双曲线可化为，.虚轴长是实轴长的倍，所以.故答案为：22或【详解】直线与坐标轴的交点坐标为：，当双曲线的焦点在横轴时，因为，所以，因此，即双曲线方程为：；当双曲线的焦点在纵轴时，因为，所以，因此，即双曲线方程为：，故答案为：或23【详解】渐近线

17、的斜率为，又在 中，由角平分线定理可得,所以,所以,.故答案为：.24【详解】如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，根据两圆外切的条件，得，因为，所以，即，所以点到两定点，的距离的差是常数且小于根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，则故点的轨迹方程为故答案为：.25【详解】设，则，由双曲线的定义知，当且仅当，即时，等号成立，当的最小值为时，此时，解得，又，故答案为：26x21【详解】由题意得解得则该双曲线的方程为x21.故答案为：x2127解：连接，因为是圆的直径，所以，即，因为是等边三角形，所以所以所以在中，由双曲线的定义得即所以双曲线的离心率为故答案为：28（1）y21；

18、（2）x21解：（1）因为焦点在x轴上，c，所以设所求双曲线方程为1(其中00，b0)依题意，c5，所以b2c2a225a2，故所求双曲线方程可写为1因为点P在双曲线上，所以1，化简，得4a4129a21250，解得a21或a2当a2时，b225a2250，不合题意，舍去；故a21，b224故双曲线的标准方程为x2129（1）；（2）解：（1）因为，所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以，所以的方程为：；（2）不妨设焦点，则直线：由消去得：设，则，所以30（1）；（2）解：（1）由题意知：，故动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，故曲线的方程为：；（2）设，满足，两式相减得，即，因

19、为点为的中点，故，即直线的斜率为，又过点，故直线的方程为：，即31（1）面积为；（2）.解：（1）设，由双曲线的定义可得，由余弦定理得，所以，的面积为.（2）如图所示，设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，与内切圆的切点分别为A，B，由双曲线的定义可得，即，又，所以，即.设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以，即.因为双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，所以，所以，故内切圆的圆心轨迹方程为.32（1）；（2）存在，.解：（1）设双曲线的焦距为，因为离心率为2，所以，联立，得：，所以点的坐标为，因为，所以的面积为，所以，双曲线的方程为.（2）设，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程

20、为，联立， 所以点的横坐标为，联立，得：，所以，直线与直线的交点在直线上.33（1）；（2）.（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，所以双曲线的方程为：（2）由得设，则，所以则中点坐标为，代入圆得，所以.34（1）由已知得，；则，得，又，所以，因此，所以所求轨迹方程为：；（2）设，由消去可得，整理得，则，设的中点，则，由得，则因为，所以，则，即与重合，所以为的中点.35（1）；（2）24.【详解】因为，所以，所以双曲线的方程为，即因为点在双曲线上，所以，所以所以所求双曲线的方程为设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，由，得，所以同理可得，所以设，则，所以，即当且仅当时取等号所以当时，取得最小值24