世纪金榜2017届高考数学（理科全国通用）一轮总复习课件：第七章 立体几何 7.3 .ppt

1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系【知识梳理】1.平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.(2)公理2:过_的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们_过该点的公共直线.两点不在一条直线上有且只有一条2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类:相交平行任何一个平面(2)平行公理(公理4)和等角定理:平行公理:平行于同一条直线的两条直线_.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_.互相平行相等或互补(3)异面直线所成的角:定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,

2、把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角);范围:_.锐角(或直角)3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交_个平行_个在平面内_个a=A1a0a无数图形语言符号语言公共点平面与平面平行_个相交_个0=l无数【特别提醒】1.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.确定平面的三个推论(1)推论1:经过

3、一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.(2)推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.(3)推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.4.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.【小题快练】链接教材练一练1.(必修2P52习题2.1B组T1(2)改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.连接B1D1,D1C,则B1D1EF,故D1B1C为所求,又B1D1=B1C=D

4、1C,所以D1B1C=60.2.(必修2P43练习T1改编)两两相交的三条直线最多可确定个平面.【解析】当三条直线共点且不共面时,最多可确定3个平面.答案:3感悟考题试一试3.(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l至少与l1,l2中的一条相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l与l1,l2都不相交【解析】选A.直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,=l,则l至少与l1,l2中的一条相交.4.(2016青岛模拟)在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1

5、,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为.【解析】如图,设ACBD=O,连接VO,因为四棱锥V-ABCD是正四棱锥,所以VO平面ABCD,故BDVO.又四边形ABCD是正方形,所以BDAC,所以BD平面VAC,所以BDVA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案:考向一 平面的基本性质【典例1】(1)以下命题中,正确命题的个数是()不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.A.0 B.1 C.2 D.3(2)如图所示,正方体ABCD-A1

6、B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:E,C,D1,F四点共面;CE,D1F,DA三线共点.【解题导引】(1)根据公理2及确定平面的推论判断.(2)对于,只需证明EFCD1即可;对于,先证明CE,D1F的交点既在平面ABCD内,又在平面ADD1A1内,再利用公理3证明交点在DA上.【规范解答】(1)选B.中若有三点共线,则四点共面,不合题意,故正确;中若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不一定共面,故错误;中,直线b,c可能是异面直线,故错误;中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故错误.(2)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1

7、的中点,所以EFA1B且EF=A1B.又因为A1D1BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1BCD1,所以EFCD1,即EF与CD1确定一个平面.且E,F,C,D1,即E,C,D1,F四点共面.由知,EFCD1,且EF=CD1,所以四边形CD1FE是梯形.所以CE与D1F必相交,设交点为P,如图,则PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA交于一点.【规律方法】1.证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关

8、点、线在此平面内.(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.2.证明空间点共线问题的方法(1)公理法:第(2)题证明过程用到此方法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.【变式训练】如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD,BEFA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,得GHAD.又BC AD,所

9、以GH BC,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)方法一:由BE AF,G为FA中点知BE GF,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG.由(1)知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DFH,所以C,D,F,E四点共面.方法二:如图所示,延长FE,DC分别与AB交于点M,M.因为BE AF,所以B为MA的中点.因为BC AD,所以B为MA的中点,所以M与M重合,即FE与DC交于点M(M),所以C,D,F,E四点共面.【加固训练】如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.【解析】因为AB

10、CD,所以AB,CD确定一个平面.又因为AB=E,AB,所以E,E,即E为平面与的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面与的公共点,因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.考向二 空间直线的位置关系【考情快递】命题方向命题视角异面直线的判定以平面或简单几何体为载体,判断空间直线是否是异面直线平行和垂直的判定主要以简单几何体为载体,考查三角形(梯形)的中位线,平行四边形等在平行判断中的应用,考查线面垂直的性质在判定线线垂直中的应用【考题例析】命题方向1:异面直线的判定【典例2】(2016德州模拟)在图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在

11、棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号).【解题导引】根据异面直线的判定定理判断.【规范解答】图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接MG,GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图中GH与MN异面.答案:命题方向2:平行和垂直的判定【典例3】(2016济南模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行【解题导引】先

12、证MN与BD平行,然后根据BD与各直线的位置关系,判断MN与各直线的位置关系.【规范解答】选D.如图,连接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正确;因为CC1平面ABCD,所以CC1BD,所以MN与CC1垂直,故A正确;因为ACBD,MNBD,所以MN与AC垂直,故B正确;因为A1B1与BD异面,MNBD,所以MN与A1B1不可能平行,故D错误.【技法感悟】1.异面直线的判定方法(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内

13、不经过点B的直线是异面直线.2.线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断.(2)对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直.【题组通关】1.(2016东营模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.异面D.平行【解析】选D.连接D1E并延长,与AD交于点M,因为A1E=2ED,可得M为AD的中点,连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所

14、以M,N重合,且所以所以EFBD1.2.(2016莱芜模拟)设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(填序号).若AC与BD共面,则AD与BC共面;若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线;若AB=AC,DB=DC,则AD=BC;若AB=AC,DB=DC,则ADBC.【解析】对于,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确.对于,假设AD与BC共面,由正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.对于,如图,当AB=AC,DB=DC,使二面角A-BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.对于,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得B

15、CAE,BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC.答案:3.(2016上饶模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP;对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R;对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP.其中正确的结论是_.【解析】只有D1Q平面BCC1B1,即D1Q平面ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP,因为过D1点与平面DD1A1A垂直的

16、直线只有一条D1C1,而D1C1AB,所以错误;当点P与B1重合时,CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1,因为对于任意给定的点Q,都有D1Q平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q,所以正确;只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影时,D1RCP,所以正确;只有CP平面A1CD1时,才正确,因为过C点的平面A1CD1的垂线与BB1无交点,所以错误.答案:考向三 异面直线所成的角【典例4】(1)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()(2)(2014全国卷)直三棱柱

17、ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()(真题溯源:本题源自A版必修2P48练习T2)【解题导引】(1)连接BC1,先利用AD1BC1找出所求的角,再利用余弦定理求解.(2)通过平行关系找出异面直线的夹角,再根据余弦定理求解.【规范解答】(1)选D.连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=,A1B=BC1=,故cosA1BC1=(2)选C.如图,取BC的中点D,连接MN,ND,AD,由于MN B1C1 BD,所以四边形

18、BMND是平行四边形,因此ND BM,则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成的角(或其补角),设BC=2,则BM=ND=,AN=,AD=,因此cosAND=【母题变式】1.若本例题(1)条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”,试求的值.【解析】设=t,则AA1=tAB.因为AB=1,所以AA1=t,连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角,又因为A1C1=,A1B=BC1,所以cosA1BC1=所以t=3,即=3.2.在本例题(1)的条件下,若点P在平面A1B1C1D1内且不在对角线B1D1上,过点P在平面A1

19、B1C1D1内作一直线m,使m与直线BD成角,且 .这样的直线可作几条?【解析】在平面A1B1C1D1内作m,使m与B1D1相交成角.因为BDB1D1,所以直线m与BD也成角,当=时,m只有一条,当 时,这样的直线有两条.【规律方法】1.平移法求异面直线所成角的常见类型(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移.(3)补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作:通过作平行线,得到相交直线.(2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是

20、钝角,则它的补角才是要求的角.【变式训练】(2015揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB=1,则异面直线AB1与BD所成的角为.【解析】如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为点D是AC的中点,所以B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1=所以,在AB1D1中,由余弦定理得,cosAB1D1=所以AB1D1=60.答案:60【加固训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(

21、)【解析】选D.如图,取AB的中点E,连接B1E,则AMB1E.取EB的中点F,连接FN,则B1EFN,因此AMFN,连接CF,则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角.设AB=1,在CFN中,由余弦定理得cos=|cosCNF|2.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.【解析】如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GKDH,故PGK即为所求的异面直线所成的角或其补角.设这个正四面体的棱长为2,在PGK中,故cosPGK=即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.答案:3.(2016兰州模拟)如图,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为_.【解析】取AC的中点M,连接EM,MF,因为E,F是中点,所以MFAB,MF=AB=3,MEPC,ME=PC=5,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角(或其补角).在三角形MEF中,cosEMF=所以EMF=120,所以异面直线AB与PC所成的角为60.答案:60