2022年高考数学一轮复习 考点规范练15 导数与函数的单调性、极值、最值（含解析）新人教A版.docx

1、考点规范练15导数与函数的单调性、极值、最值基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)答案:D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0答案:A解析:x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,f

2、(1)=0,a+11=0,a=-1.f(x)=-1+1x=0x=1.当x1时,f(x)0,当0x0,因此f(x)有极大值-1.3.已知f(x)=14x2+sin2+x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()答案:A解析:f(x)=14x2+sin2+x=14x2+cosx,f(x)=12x-sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f(x)=12-cosx,当-3x12,f(x)0,故函数y=f(x)在区间-3,3内单调递减,排除C.故选A.4.设函数f(x)是定义在区间(0,2)内的函数f(x)的导函数,f(x)=f(2-x),当0x时,若f(x)sin x-

3、f(x)cos x0,a=12f3,b=0,c=-32f76,则()A.abcB.bcaC.cbaD.ca0,所以当0x时,g(x)在区间(0,)内递增,所以g3g2g56=g76,即ab0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是()A.ln ab-1B.ln a0),则g(a)=1a-3=1-3aa,g(a)在区间0,13内递增,在区间13,+内递减,故g(a)max=g13=1-ln30.故lnab-1.6.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在区间t,t+1上不单调,则t的取值范围是.答案:(0,1)(2,3)解析:由题意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3

4、x=-(x-1)(x-3)x.由f(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0解得0x1,由g(x)1,即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减.当a0时,令g(x)=0,得x=1或x=12a,若12a12,则由g(x)0解得x1或0x12a,由g(x)0解得12ax1,即0a0解得x12a或0x1,由g(x)0解得1x12a,即函数g(x)在区间(0,1),12a,+内单调递增,在区间1,12a内单调递减;若1

5、2a=1,即a=12,则在区间(0,+)内恒有g(x)0,即函数g(x)在区间(0,+)内单调递增.综上可得,当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减;当0a12时,函数g(x)在区间0,12a内单调递增,在区间12a,1内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.8.已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)内的最大值.解:(1)因为f(x)=ax2+bx+cex,所以f(x)=-ax2+(2a-b)x+b-

6、cex,设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为a0,所以由题意知:当-3x0,即f(x)0;当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)内的最大值是5e5.9.已知函数f(x)=ln ax-x-ax(a0).(1)求函数f(x)的单调区间及最值;(2)求证:对于任意正整数n,均有1+12+13+1nlnenn!(e为自然对数的底数).答案:(1)解由题意f(x)=x-ax2,当a0时,函数f(x)的定义域为(0,+),此时函数f(x)在区间(0,a)内是减函数,在区间(a,+)内是增函数,故f(x)min=f(a)=lna2,无最大值.当a0时,函

7、数f(x)的定义域为(-,0),此时函数f(x)在区间(-,a)内是减函数,在区间(a,0)内是增函数,故f(x)min=f(a)=lna2,无最大值.(2)证明取a=1,由(1)知f(x)=lnx-x-1xf(1)=0,故1x1-lnx=lnex,取x=1,2,3,n,则1+12+13+1nlnenn!.10.设函数f(x)=3x2+axex(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在区间3,+)内为减函数,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)

8、2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f(1)=3e,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0,

9、故f(x)为减函数.由f(x)在区间3,+)内为减函数,知x2=6-a+a2+3663,解得a-92,故a的取值范围为-92,+.能力提升11.(2021全国,理12)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=1.04-1,则()A.abcB.bcaC.bacD.caln1.02=b,排除A,D.令f(x)=ln(1+x)-(1+2x-1),x0,则f(0.02)=ln1.02-(1.04-1)=b-c.f(x)=11+x-221+2x=1+2x-(1+x)(1+x)1+2x,当x0时,1+x=(1+x)2=1+2x+x21+2x,f(x)0,且f(x)不恒为0.f(x)在区间0,+)上

10、单调递减,f(0.02)f(0)=0,即b-c0bc.令g(x)=2ln(1+x)-(1+4x-1),x0,则g(0.01)=2ln1.01-(1.04-1)=a-c.g(x)=21+x-421+4x=21+4x-(1+x)(1+x)1+4x,当0xg(0)=0,即a-c0,ac.综上可得,acb.故选B.12.已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.答案:-1,12解析:因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-1e-x=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+

11、2exe-x0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增.因为f(a-1)+f(2a2)0可化为f(2a2)-f(a-1),即f(2a2)f(1-a),所以2a21-a,2a2+a-10,解得-1a12,故实数a的取值范围是-1,12.13.设函数f(x)=x2-1lnx.(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)x恒成立,求a的取值范围.答案:(1)证明f(x)=2xlnx-x2-1x(lnx)2=x(lnx)22lnx-x2-1x2(x0,x1).令g(x)=2lnx-x2-1x2,则g(x)=2(x+1)

12、(x-1)x3.当0x1时,g(x)g(1)=0.于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(0,1)内为增函数.当x1时,g(x)0,g(x)是增函数,g(x)g(1)=0,于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(1,+)内为增函数.(2)解af(x)-x=a(x2-1)lnx-x=xlnxa(x2-1)x-lnx.令h(x)=a(x2-1)x-lnx(x0),则h(x)=ax2-x+ax2.令(x)=ax2-x+a,当a0,且=1-4a20,即a12时,此时(x)=ax2-x+a0在区间(0,1),(1,+)内恒成立,所以当a12时h(x)0,故h(x)区间

13、在(0,1),(1,+)内为增函数,若0x1时,h(x)0;若x1时,h(x)h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)0,所以当x0,x1时都有af(x)x成立,当0a12时,h(x)0,解得1-1-4a22ax1+1-4a22a,所以h(x)在区间1,1+1-4a22a内是减函数,h(x)h(1)=0.故af(x)-x=xlnxh(x)0,不符合题意.当a0时,x(0,1)(1,+),都有h(x)0,故h(x)在区间(0,1),(1,+)内为减函数,同理可知,在区间(0,1),(1,+)内af(x)-x=xlnxh(x)0,则当x(-,0)a3,+时,f(x)0;当x0,a3时,f

14、(x)0.故f(x)在(-,0),a3,+单调递增,在0,a3单调递减;若a=0,f(x)在(-,+)单调递增;若a0;当xa3,0时,f(x)0.故f(x)在-,a3,(0,+)单调递增,在a3,0单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.当a0时,由(1)知,f(x)在0,1单调递增,所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.当a3时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当

15、2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.当0a3时,由(1)知,f(x)在0,1的最小值为fa3=-a327+b,最大值为b或2-a+b.若-a327+b=-1,b=1,则a=332,与0a3矛盾.若-a327+b=-1,2-a+b=1,则a=33或a=-33或a=0,与0a0,f(x)=2x+1x2-3x=2x3-3x+1x2=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,当3-12x1时,f(x)0,当0x1时,f(x)0.f(x)的减区间是3-12,1,增区间是0,3-12和(1,+).(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,则需f(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2有两个不

16、相等的正零点.令g(x)=2x3+ax+1(x0),故需g(x)有两个不相等的正零点,则g(x)=6x2+a.当a0时,g(x)0,g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有两个极值点.当a0时,g(x)=6x2+a=6x2-a6=6x+-a6x-a6,当0x-a6时,g(x)-a6时,g(x)0.故g(x)在0,-a6上单调递减,在-a6,+上单调递增.需g(x)min=g-a6=2a3-a6+10,解得a-3342.a3-272-6,a3-272-154,-1a-a60,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+10,故g(x)在区间0,-a6内和-a6,+内各有一个零点,g(x)有两个不相等的正零点,f(x)有两个极值点.综上,a的取值范围是-,-3342.