河北省正定中学2015届高三数学上学期第六次月考试题（含解析）新人教A版.doc

1、河北省正定中学2015届高三数学上学期第六次月考试题（含解析）【试卷综析】本试卷是高三试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数的性质、三角函数，数列，概率，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】.已知集合则为（A） （B） （C） （D）【知识点】集合及其运算A1【答案】B【解析】M= x,N= ,=【思路点拨】根据集合的关系运算。【题文】2.在复平面内与复数所对应的

2、点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（A） （B） （C） （D）【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】B【解析】=1+i，复数的共轭复数是1-i，就是复数,所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；【思路点拨】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项【题文】3.设等比数列的前项和为，满足，且，则（A）31 （B）36 (C)42 (D)48 【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】A【解析】a3a5=a2a6=64，a3+a5=20，a3和a5为方程x2-20x+64=0的两根，an0，q1，a3a5，a5=16，

3、a3=4，q=2，a1= =1，S5=31【思路点拨】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案【题文】4.函数的零点所在的区间是(A) (B) (C) (D)【知识点】函数与方程B9【答案】B【解析】因为f（）=0，f（1）=e-10，所以零点在区间（，1）上，【思路点拨】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案【题文】5.已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是(A)(B) (C) (D

4、)【知识点】命题及其关系A2【答案】B【解析】函数f（x）=|sin2x-|=|2sin2x-1| |cos2x|，cos2x的周期是，函数f（x）=|sin2x-|的最小正周期为，即命题p是假命题若若函数f（x+1）为偶函数，则f（-x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，命题q为真命题，则pq为真命题，其余为假命题.【思路点拨】分别判定命题p，q的真假性，利用复合命题站真假之间的关系即可得到结论【题文】6一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为粒，其中粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率为 (A) (B) (C) (D)【知识点】

5、几何概型K3【答案】D【解析】设圆的半径为1则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到=，即=.【思路点拨】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论【题文】7.已知曲线的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点成中心对称，若，则 (A) (B) (C) (D)【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】C【解析】：曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，=，w=2f（x）=2sin（2x+）f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，2x0+=k，x0=-，kZ，x00，x0=【

6、思路点拨】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得0，内的x0的值【题文】8.已知是双曲线的右焦点,点分别在其两条渐近线上，且满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案】A【解析】由题意，kOA=-，kAB=，直线AB的方程为y=（x-c），与y=x联立可得y=-或y=，=2，c2=2（2a2-c2），e=【思路点拨】先求出直线AB的方程与渐进线方程联立，可得A，B的纵坐标，利用，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率【题文】9.执行如图所示的程序框图，则输出结果的值为 （A） （B） （C） （D）【知识

7、点】算法与程序框图L1【答案】C【解析】由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+cos的值，跳出循环的n值为2015，输出S=cos+cos+cos，cos+cos+cos+cos+= cos+cos+cos-cos- cos-cos=0S=cos+cos=-【思路点拨】算法的功能是求S=cos+cos+cos的值，根据条件确定最后一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值【题文】10已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）

8、由目标函数z=-mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10，最小值为-2m-2，当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，-2）时，取得最小值，目标函数z=-mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x-y+6=0的斜率小，即-1m2，【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=-mx+y的最大值为-2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，-2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围【题文】11四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，

9、是边长为3的等边三角形.若，则球的表面积为(A) (B) (C) (D)【知识点】多面体与球G8【答案】C【解析】取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE= ，BG=，R=2四面体ABCD外接球的表面积为：4R2=16【思路点拨】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【题文】12.已知函数与，若与的交点在直线的两侧，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【知识点】函数的图像B8

10、【答案】B【解析】先求与直线y=x的交点坐标为（2，2）和（-2，-2）当x=2时，x3=8；x=-2时，x3=-8将y=x3的图象向上（t0）或向下（t0）平移|t|个单位，即得函数g（x）的图象若f（x）与g（x）的交点在直线y=x的两侧，则|t|6，即-6t6【思路点拨】结合函数图象，借助图象的平移来进行判断二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为_.【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】8【解析】由三视图知：几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三

11、角形，几何体的体积V=224=8【思路点拨】几何体为直三棱柱，根据三视图判断三棱柱的高及底面直角三角形的边长，把数据代入棱柱的体积公式计算【题文】14.已知函数的导函数为，且，则的最小值为_.【知识点】导数的应用B12【答案】8【解析】f（x）=x（x-a）（x-b）=x3-（a+b）x2+abx，f（x）=3x2-2（a+b）x+ab，f（0）=4，f（0）=ab=4，a2+2b22=8，当且仅当a2=2b2，即a=b时取等号，【思路点拨】求函数的导数，得到ab=4，然后利用基本不等式即可得到结论【题文】15在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合）若，则的取值范围是_.【知识点

12、】平面向量基本定理F2【答案】【解析】=y=y(-)=-y+(1+y),y,x.【思路点拨】根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的二分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果【题文】16.已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则_.【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】0【解析】设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则，ABC的重心是F，抛物线y2=2px的焦点F的坐标为F（，0），y1+y2+y3=0，+=0.【思路点拨】由，可得ABC的重心是F，从而y1+y2+y3=0，利用斜率公式，即可求得结论三

13、、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【题文】17.（本小题满分10分）设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图象上；数列满足，其中（）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前项的和 【知识点】单元综合D5【答案】,（）【解析】由已知条件得， 当时， 得：，即，数列的各项均为正数，（），又，；，；，两式相减得，【思路点拨】构造新数列求出通项公式，根据错位相减求出数列的和。【题文】18.（本小题满分12分）已知向量，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为（1）求函数在上的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象若在上至少含有个零点，

14、求的最小值【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】（1）单调增区间，当k=2时，函数的单调增区间,（2）【解析】（1）函数f（x）=4sin（x+）cosx=4sinx（-）+4cosxcosx=2cos2x-sin2x=(1+cos2x)-sin2x=2cos(2x+)+，由题意得：T=，=，=2，故f（x）=2cos（2x+）+.2k-2x+2k（kZ），k-xk-（kZ），y=cos（2x+）+的单调递增区间为k-，k-（kZ）当k=1时，函数的单调增区间，当k=2时，函数的单调增区间,函数f（x）在0，2上的单调递增区间，（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）

15、=2cos2x+的图象令g（x）=0得，x=k+或x=k+，kZ，函数g（x）在每个周期内恰好有两个零点，若y=g（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，则x不小于第10个零点的横坐标即可，b的最小值为4+=【思路点拨】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用余弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，即可求函数f（x）在0，2上的单调递增区间；（2）通过将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象求出g（x）的表达式，求出函数的零点在一个周期内的个数，利用y=g（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，判断b的位置

16、，即可求b的最小值【题文】19.（本小题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁.私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75频数510151055赞成人数469634（）完成被调查人员的频率分布直方图；（）若从年龄在15，25)，25，3

17、5)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望【知识点】离散型随机变量及其分布列K6【答案】（）略（）【解析】（）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1 所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01 被调查人员的频率分布直方图如右图： （）的所有可能取值为：0,1,2,3 所以的分布列是：所以的数学期望【思路点拨】（）由已知条件能求出图中各组的纵坐标，由此能完成被调查人员的频率分布直方图（）的所有可能取值为：0，1，2，3，分别求出p（=0），P（=1），P（=2

18、），P（=3），由此能求出随机变量的分布列和数学期望【题文】20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，分别为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围.【知识点】单元综合G12【答案】()略（2）【解析】()，分别为的中点，为矩形， ,又面,面, 平面平面 () ,又，又,所以面, 建系为轴，为轴，为轴,，,平面法向量，平面法向量，可得.【思路点拨】面,面, 平面平面。，可得.【题文】21.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）.（1）求椭圆的方程；（2）设点是直线与轴的

19、交点，过点的直线与椭圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】（）=1（2）,【解析】（）依题意，设椭圆C的方程为=1(ab0),焦距为2c，由题设条件知，a2=8,b=c, 所以b2=a2=4故椭圆C的方程为=1 （）椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标为（-4,0），显然直线l的斜率k存在，所以直线的方程为y=k(x+4)。 如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点为G(x0,y0)，由得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0 由D=(16k2)2-4(1+2k2)(

20、32k2-8)0解得k 因为x1,x2是方程的两根，所以x1+x2=-，于是x0=,y0=k(x0+4)= x0=0，所以点G不可能在y轴的右边.又直线F1B2,F1B1方程分别为y=x+2,y=-x-2所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为即 解得k，此时也成立 故直线l斜率的取值范围是,. 【思路点拨】a2=8,b=c, 所以b2=a2=4故椭圆C的方程为=1 解得k。【题文】22.(本题满分12分)设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案】（）当时，由得单增区间为：；由得单减区间为

21、：、（）（0,3）【解析】（） 由题意得：，即， 且令得，是函数的一个极值点 ，即故与的关系式（1）当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：、；（2）当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：、； （）由（）知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上的值域是，又g（x）=（a2+）ex，在x0，4上单调递增，g（x）在x0，4上的值域为a2+，(a2+)e4由于(a2+)-(a+6)=(a-)20，若存在1，20，4，使得|f（1）-g（2）|成立，必需，解得0a3a的取值范围是（0，3）【思路点拨】（I）利用函数导数与极值的关系即可得出a与b的关系，对a分类讨论即可得出函数f（x）的单调性；（II）利用单调性分别求出函数f（x），g（x）的值域，f（x）在0，4上的值域为-2（a+3）e3，a+6g（x）在x0，4上的值域为a2+，(a2+)e4由于(a2+)-(a+6)=(a-)20。若存在1，20，4，使得|f（1）-g（2）|成立，必需，解得0a3a的取值范围是（0，3）