河北省正定中学2020届高三下学期第四次阶段质量检测数学（文）试题 WORD版含解析.doc

1、2020届高三下学期第四次阶段质量检测数学（文）试卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.第卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D

2、. 【答案】B【解析】【分析】先求得集合A和集合B中表示的具体的数，再求出，根据集合的补集和交集运算可得选项.【详解】A集合表示的是被3整除余2的自然数，所以表示的是被3整除或被3整除余1的自然数，B集合中的自然数有2,3,4,5,6，其中被3整除或被3整除余1的自然数是3、4、6，故选：B.【点睛】本题考查集合的意义和集合的运算，属于基础题.2.在复平面内，若复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第四象限D. 虚轴【答案】C【解析】【分析】先化简复数z，再得出复数所表示的点，可得选项.【详解】因为,所以在复平面上，复数表示的点是,在第四象限，故选：C.【点睛】本题考查复数

3、的运算和复数的几何意义，属于基础题.3.在锐角中，、为其内角，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 既非充分也非必要条件D. 充分必要条件【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理可得边角的关系，再由不等式的性质和充分必要条件的判定可得选项.【详解】由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得，又由于是锐角，所以由得；当时，又由于是锐角，所以，得，即，又由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故选：D.【点睛】本题考查正弦定理的应用以及充分必要条件的判断，属于基础题.4.把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量

4、为（ ）A. 5B. C. D. 10【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组,即可求得数列，可得出选项.【详解】设最小的一份为,公差为d,由题意可得,且，解得,故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量，列出方程组，可求得数列中的量.5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）1

5、月至8月空气合格天数超过24天的月份有3个第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了8月是空气质量最好的一个月6月的空气质量最差A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中,1月至8月空气合格天数超过24天的月份有:2月,6月,7月,8月,共4个;在中,分别求出第一季度合格天数的比重和第二季度合格天气的比重,能求出结果;在中,8月空气质量合格的天气达到30天;在中,5月空气质量合格天气只有13天.【详解】在中，1月至8月空气合格天数超过24天的月份有： 2月，6月，7月，8月，共4个，故不正确；在中，第一季度合格天数的比重为；第二季度合格天气的比重为，所以第二季度与第一季度相比

6、，空气达标天数的比重下降了，所以是正确的；在中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好一个月，所以是正确的；在中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的，综上可知，正确说法是，故选：A.【点睛】本题考查统计图的理解，能在统计图中得出所需的信息是解决此类问题的关键能力，属于基础题.6.圆关于直线对称，则的最小值是（ ）A. B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程得出圆的圆心，由圆的对称性可得直线过圆心，得到关于a,b的关系式，运用基本不等式可得选项.【详解】根据圆的方程可知，圆心坐标为，而直线经过圆心，所以，得，因为，故选：B.【点睛】

7、本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“1”，构造基本不等式，属于中档题.7.若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数是在R上的单调递增函数,则,解得实数a的取值范围.【详解】因为函数是R上的单调递增函数,解得:,故选：D.【点睛】本题考查分段函数的单调性，关键在于得出分段单调后，还需满足端点值的大小关系，属于中档题.8.我国古代数学名著九章算术中提及鳖臑，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的最长的棱长为（ ）A. B. C. 5D. 6【

8、答案】A【解析】【分析】根据三视图画出图形,结合勾股定理求得出最长的棱.【详解】由三视图，画出图形，如下图所示：小正方形网格边长为1，所以，所以 所以该鳖臑的最长的棱长为故选：A.【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的棱长,属于基础题.9.已知双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，利用，先求出,再根据,即可求出双曲线离心率的取值范围.【详解】设右焦点为,，令，,则,因为点M关于原点O的对称点为N,，,，,，.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求

9、法,是中档题,解题时注意三角函数性质的灵活运用.10.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角和与差的三角的正弦，将，转化为，其中，则有，然后求解即可.【详解】因为，所以，即，即，其中， .故选：A.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.11.已知函数，其中，若，使得成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由得，令，所以，对函数求导，判断其导函数的正负，得出函数在上的单调性，从而得出函数在上的值域，再由题意得出函数的值域的包含关系，得出关于的不等式，解之可得选项.【详解】由

10、得，令，所以，而，令得，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，而，且，所以在上的值域为， 又，令得，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，而，且，所以在上的值域为，因为，所以的值域为的值域的子集，所以 ，解得，故选：B.【点睛】本题考查函数的存在和任意的问题，关键在于构造函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出原函数的单调性，继而得出其值域的包含关系，属于难度题.12.已知正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，下列结论中，其中正确的个数是（ ）过，三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；平面；平面；异面直线与所成角的正切值为；四面体的体积等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解

11、析】【分析】根据公理3，作截面可知正确；根据直线与平面的位置关系可知不正确；根据线面垂直的判定定理可知正确；由条件有,所以为异面直线与的夹角可知正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知不正确【详解】对于.延长分别与的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，则截面六边形为正六边形，故正确；对于.与相交，故与平面相交，所以不正确；对于.，且与相交，所以平面，故正确；对于.连接,由条件有,所以（或其补角）为异面直线与的夹角,在直角三角形中， .故不正确；对于.四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故不正确所以正确的命题有2个.故选：B【点睛】本题考查了空间

12、中的线线关系，线面关系，以及锥体的体积和命题的真假判断与应用，属中档题第卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.已知向量，的夹角为120，则_.【答案】【解析】【分析】，代入数据计算即得.【详解】向量的夹角为，.故答案为：.【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的模的计算，求向量的模时，常常先求向量的平方，属于基础题.14.已知函数（e为自然对数的底数），那么曲线在点（0，1）处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线的斜率，再利用点斜式求得切线方程.【详解】由于，所以，故切线方程为，即.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查切线方程的求法，属于基础题.1

13、5.若函数满足：是偶函数；的图象关于点对称；在上有两个零点.则同时满足的值是_.【答案】2【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、零点进行求解即可.【详解】因为是偶函数，故或；因此有或；当时，因为的图象关于点对称，因此有，解得，因为，所以有；因为在上有两个零点，因此有，解得，又，所以；当时，因为的图象关于点对称，因此有，解得，因为，所以有；因为在上有两个零点，因此有，解得，又，所以；故答案为：.【点睛】本题考查了根据正弦型函数的性质求参数问题，考查了数学运算能力，属于中档题.16.已知，：，：.给出以下四个命题：分别过点，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；若

14、，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上；若，相交，且，则与，一个内切一个外切的圆的圆心的轨迹为椭圆的一部分.则以上命题正确的是_.【答案】【解析】【分析】由圆与圆位置关系和椭圆、双曲线的定义，逐一判断可得答案.【详解】对于，如图所示，故点M恒在以E，F为焦点，AB为长轴的椭圆上，正确；对于，若与x轴相切于点A，与x轴相切于点B，由题意知相外切，且，相切于点H，过点H作两圆公切线，交x轴于点Q，如图所示，则，故Q与O点重合，所以，故点H的轨迹恒在定圆上，正确；对于设与，都相切的圆的圆心为T，半径为r，则T满足，得到，故圆心T的轨迹是双曲线的一部分，不正确

15、，对于设与，一个内切一个外切的圆的圆心为P，半径为r，则点P满足，所以，所以点P的轨迹为椭圆的一部分. 正确.故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线的定义，关键在于由圆与圆的位置关系得出动圆圆心的关系式，属于难度题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知点是函数的图象上一点，数列的前项和是.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），（2）.【解析】分析】（1）由点在图像上求出，再利用求出（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的

16、符号，求和时项数的确定【详解】(1)把点代入函数得，所以，所以数列的前项和是.当时，；当时，所以；(2)由，得，所以，.由得：，所以.【点睛】本题主要考查了法求通项公式，即，运用错位相减法求和，求和时应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解，属于中档题.18.垃圾种类可分为可回收垃圾，干垃圾，湿垃圾，有害垃圾，为调查中学生对垃圾分类的了解程度某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请

17、他们指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上男生（人）110171414104女生（人）08106321（1）完成如下列联表并判断是否有95%的把握认为了解垃圾分类与性别有关？比较了解不太了解合计男生_女生_合计_（2）从能准确分类不少于3项的高中生中，按照男、女生采用分层抽样的方法抽取9人的样本.（i）求抽取的女生和男生的人数；（ii）从9人的样本中随机抽取两人，求男生女生都有被抽到的概率.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.【答

18、案】（1）列联表见解析，没有的把握认为了解垃圾分类与性别有关；（2）（i）女生2人，男生7人，（ii）；【解析】【分析】（1）根据题中数据完善题中的列联表，并计算出的观测值，利用临界值表得出犯错误的概率，即可对题中结论的正误进行判断；（2）利用分层抽样思想得出所抽取的男生人数为，女生人数为，将样本中的名女生为、，名男生为、，列出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.【详解】（1）根据题意填得列联表如下，比较了解不太了解合计男生女生合计所以，所以没有的把握认为了解垃圾分类与性别有关；（2）（i）抽取的女生人数是（人），男生人数是（人）；（ii）记抽取的两人男女都有为事件

19、，记样本中的名女生为、，名男生为、.从这9人中随机抽取两人，基本事件分别为：、共种；男生女生都有被抽到的基本事件为、，共种，故所求的概率为.【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中档题.19.如图，三棱柱的所有棱长都是3，面，分别是，的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出，从而平面平面，进而平面，再求出，由此能证明平面，由此结论可得证（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法等，其中割补法较为方便，将转化为，即可求解.【详解】（

20、1），是的中点，三棱柱中平面，平面平面，且平面平面，平面，平面，.又在正方形中，分别是，的中点，又，平面.又平面，.（2）解法一（割补法）：.解法二（利用平行顶点轮换）：，.解法三（利用对称顶点轮换）：连结，交于点，为的中点，点到平面的距离等于点到平面的距离.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题20.已知.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增.；（2）【解析】【分析】（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知在上恒成

21、立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.【详解】（1）的定义域为，当时，；时，函数在上单调递减；在上单调递增.（2）当时， ，由题意，在上恒成立，若，当时，显然有恒成立；不符题意.若，记，则,所以在单调递增，（i）当时，当时，时，（ii）当，存在，使.当时，时，在上单调递减；在上单调递增，当时，不符合题意，综上所述，所求的取值范围是【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于难度题.21.已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点，两点（两点均在轴的上方），且，（1）若，求椭圆的方程；（2）直

22、线的斜率；（3）求的大小.【答案】（1）；（2）直线的斜率为；（3）.【解析】【分析】(1)由，,得,从而,故可求椭圆的方程;(2)先设直线的方程为即,再与椭圆的方程联立,又由题设知,从而可求直线的斜率.（3）由（2）求得点A的坐标，从而由三角函数可求得的大小.【详解】(1)由，,得,从而得,又，所以，解得，所以椭圆的方程为：；(2)由(1)知,所以椭圆的方程可以写为，由已知设，且,直线的方程为，即，则它们的坐标满足方程组，消去整理,得，根据题意,且,由题设知, ，所以，联立三式,计算得出,将结果代入韦达定理中计算得出满足，所以直线的斜率为.（3）由（2）得，所以，所以，所以所以.【点睛】本题

23、考查直线与椭圆的位置关系，关键在于将条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，运用韦达定理求解，属于中档题.（二）选考题：共10分，请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围.【答案】（1）的普通方程为，直线的方程；（2）.【解析】【分析】（1）联想二倍角公式化弦为切

24、的结构特征，即，结合，所以将参数方程化为，即可化为普通方程；展开，代入，即可化为直角坐标方程；（2）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.【详解】（1），平方后得，又，所以的普通方程为.，即，将，代入，所以直线的方程.（2）将曲线C化成参数方程形式为（为参数且，），则，其中，即，所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意此题中消参方法的运用，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.23.已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若，是正实数，且，求证：.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据的解集为,结合绝对值不等式的解法,即可求m的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意,即，；(2)证明: ,所以由柯西不等式得,所以,当且仅当,即时取等号.【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.