2022版新教材数学人教A版必修第一册学案：4-5-3 函数模型的应用 WORD版含答案.docx

1、4.5.3 函数模型的应用课标解读课标要求素养要求能从不同函数的增长特点出发，总结、概括一般类型的函数模型特点，从而选择恰当的函数模型解决实际问题.数学建模会利用已知函数模型或建立函数模型解决实际问题.自主学习必备知识名师点睛1.常见的函数模型（1）指数函数模型：y=bax+c （a,b,c 为常数，b0,a0 且a1 ）.（2）对数函数模型：y=mlogax+n （m,a,n 为常数，m0,a0 且a1 ）.（3）其他函数模型：如幂函数，二次函数，分段函数等.2.解答数学应用题应过的三关：（1）理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什

2、么；（2）建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题；（3）数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法.互动探究关键能力 探究点一 指数函数模型的应用 精讲精练 例 衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，设刚放进去的新丸的体积为a ，经过t 天后其体积V 与天数t 的函数关系式为V=ae-kt .已知新丸经过50天后其体积变为49a .若要使一个新丸的体积变为827a ，求其经过的天数.答案： 由已知，得49a=ae-50k ，e-k=(49)150 ，设经过t1 天后，一个新丸的体积变为827a ，则8

3、27a=ae-kt1,827=(e-k)t1=(49)t150 ，t150=32 ，解得t1=75 .即经过75天，新丸的体积会变为827a .解题感悟在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1+p)x （其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间）的形式.迁移应用 1.一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用的时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的14 ，已知到今年为止，森林的剩余面积为原来的22 .（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森

4、林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？答案： （1）设每年砍伐面积的百分比为x(0x1) ，则a(1-x)10=12a ，又由题意知a0 ，所以(1-x)10=12 ，解得x=1-(12)110 ，即每年砍伐面积的百分比为1-(12)110 .（2）设经过m 年后森林的剩余面积为原来的22 ，则a(1-x)m=22a ，即(12)m10=(12)12则m10=12 ，解得m=5 .故到今年为止，该森林已砍伐了5年.（3）设从今年开始，还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a(1-x)n .令22a(1-x)n14a ，即(1-x)n24 ，则(12)n10(12)32 ，则n103

5、2 ，解得n15 .故今后最多还能砍伐15年.探究点二 对数函数模型的应用 精讲精练 例 （2020四川泸县第四中学高一月考）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地进行繁衍.科学家经过测量发现，候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100-lgx0 单位是km/min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差（参考数据lg20.3,31.23.74,31.44.66 ）.（1）若x0=2 ，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位，则它的飞行速度约是多少？（2）若x0=5 ，则候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为

6、2.5km/min ，雌鸟的飞行速度为1.5km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？答案： （1）将x0=2,x=8100 代入函数解析式可得，v=12log381-lg2=2-lg22-0.3=1.7 ，故此时候鸟的飞行速度约为1.7km/min .（2）将x0=5,v=0 代入函数解析式可得，0=12log3x100-lg5 ，即log3x100=2lg5=2(1-lg2)20.7=1.4 ，x100=31.44.66 ，解得x466 .故候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为466个单位.（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1 ，雌鸟每分钟的耗氧量为x2 ，依题意可得

7、2.5=12log3x1100-lgx0,1.5=12log3x2100-lgx0.两式相减可得1=12log3x1x2 ，所以x1x2=9 .故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.解题感悟有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义.迁移应用 1.2018年12月8日，我国的“长征”三号乙运载火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国又迈出了具有历史意义的一步.火箭的起飞质量M 是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m （吨）和燃料质量x （吨）之和在不考虑空气阻力的条件下

8、，假设火箭的最大速度y(km/s) 关于x （吨）的函数关系式为y=kln(m+x)-ln(2m)+4ln2 （其中k0 ）.当燃料质量为(e-1)m 吨时，该火箭的最大速度为4km/s .（1）求“长征”三号系列火箭的最大速度y(km/s) 与燃料质量x （吨）之间的函数关系式；（2）已知“长征”三号火箭的起飞质量M 是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s ？（结果精确到0.1吨，e 取2.718）答案： （1）由题意得4=klnm+(e-1)m-ln(2m)+4ln2 ，解得k=8 ，所以y=8ln(m+x)-ln(2m)+4ln2=8lnm+xm ，即y

9、 与x 之间的函数关系式为y=8lnm+xm .（2）由已知得M=m+x=479.8 ，则m=479.8-x ，又y=8 ，所以8=8ln479.8479.8-x ，解得x303.3 .故应装载大约303.3吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s .探究点三 拟合数据构建函数模型解决实际问题 精讲精练 例 某种蔬菜从2020年1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：10天）的数据如下表：时间t51125种植成本Q1510.815 （1）根据上表数据，从下列函数：Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt

10、（其中a0 ）中，选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.答案： （1）以上市时间t （单位：10天）为横坐标，种植成本Q （单位：元/10kg ）为纵坐标，画出散点图（如图）：根据点的分布特征知函数模型Q=at2+bt+c(a0) 与题表所提供的数据拟合得最好，所以选取函数模型Q=at2+bt+c(a0) 描述该蔬菜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系.将题表中所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c ，得15=25a+5b+c,10.8=121a+11b+c,15=625a+25b

11、+c,解得a=120,b=-32,c=854,所以描述该蔬菜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q=120t2-32t+854 .（2）由（1）知Q=120t2-32t+854=120(t-15)2+10 ，所以当t=15 时，Q 的最小值为10，即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低，最低种植成本为10元/10kg .解题感悟建立拟合函数与预测的基本步骤迁移应用 1.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y （单位：万元）随年产值x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15

12、% .（1）若某企业年产值为100万元，则该企业可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5 （k为常数）是不是符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg20.3,lg50.7 ）；（2）若采用函数f(x)=15x-ax+8 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值.答案： （1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （k 为常数），当x=100 时，y=9 ，代入函数模型解得k=150 ，所以y=lgx+x50+5 .当x50,500 时，y=lgx+x50+5 是增函数，但当x=50 时，y=lg50+65015%=7.5 ，即奖金超过年产值的15% ，故该函数模型不符合要求.（2

13、）对于函数模型f(x)=15x-ax+8=15-120+ax+8 ，因为a 为正整数，所以函数f(x)=15x-ax+8 在50,500 上单调递增.所以f(x)min=f(50) ，由f(50)7 ，解得a344 .要使f(x)0.15x 对x50,500 恒成立，则a-0.15x2+13.8x 对x50,500 恒成立，所以a315 .综上所述，315a344 ，所以满足条件的最小的正整数a 的值为315.评价检测素养提升1.某种产品今年的产量是a ，如果保持5% 的年增长率，那么经过x 年(xN*) ，该产品的产量y 满足( )A.y=a(1+5%x) B.y=a+5%C.y=a(1+5

14、%)x-1 D.y=a(1+5%)x答案： D2.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位： ）满足函数关系式y=ekx+b （e=2.718 为自然对数的底数，k,b 为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时答案： C3.春天来了，某池塘中的荷叶逐渐铺展开来.已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶第20天就可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶覆盖水面面积的14 时，荷叶已生长了 天.答案： 184.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2 和L2=2x ，其中x(xN*) 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 万元.答案： 45.6解析： 设甲地销售x 辆，则乙地销售(15-x) 辆，所以总利润为S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+45.606(xN*) .所以当x=10 时，总利润取得最大值，为45.6万元.