2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：3-3-2 抛物线的简单几何性质 WORD版含答案.docx

1、3.3.2 抛物线的简单几何性质课标解读课标要求素养要求1.掌握抛物线的简单几何性质及其应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.1.数学抽象能够抽象出抛物线的几何性质.2.数学建模能够对抛物线的几何性质进行简单应用.自主学习必备知识教材研习教材原句抛物线的简单几何性质（p0 ）：标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形范围x0,yR x0,yRy0,xR y0,xR对称轴x 轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1自主思考1.在方程x=14y2 中，x0 ，yR ，说明抛物线有什么特征？提示 当x0 时，|y| 随x 值增大而增大，这说明抛物线向右上方和

2、右下方无限延展。2.若抛物线的对称轴是x 轴，顶点是坐标原点，如何设抛物线的方程？如果对称轴是坐标轴，顶点是坐标原点呢？提示 可以设抛物线的方程为y2=mx(m0) .由题意可设抛物线的方程为y2=mx(m0) 或x2=ny(n0) .名师点睛1.把握三个要点确定抛物线的简单几何性质（1）开口：由标准方程看图象开口，关键是看二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.（2）定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点且垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p ；离心率恒等于1.2.若|AB| 是抛物线y2=2px(p0) 的任意一条焦点弦，且A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则：（1）|AF|=x1

3、+p2 ，|BF|=x2+p2 ；（2）|AB|=x1+x2+p ；（3）y1y2=-p2 ，x1x2=p24 .互动探究关键能力探究点一 抛物线几何性质的应用精讲精练例已知抛物线的对称轴是x 轴，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于6.（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的准线方程及离心率.答案：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2mx(m0) ，则焦点为F(m2,0) ，直线l:x=m2 ，所以A ，B 两点坐标分别为(m2,m) ，(m2,-m) ，所以|AB|=2|m| ，因为OAB 的面积为8，所以12|m2|2|m|

4、=8 ，所以m=4 ，所以抛物线的标准方程为y2=8x .（2）由（1）知，当抛物线的方程为y2=8x 时，准线方程为x=-2 ；当抛物线的方程为y2=-8x 时，准线方程为x=2 .离心率e=1 .解题感悟求抛物线的几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能求出抛物线的标准方程，则其几何性质问题就会迎刃而解. 迁移应用如图，已知边长为2的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，ABx 轴.（1）求以O 为顶点且过A ，B 的抛物线的方程；（2）求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率.答案：（1）如图，设ABx 轴于E ，则由题意得E(3,0) ，A(3,1) .设抛物线的方程为y2=2px(p

5、0) ，则1=2p3 ，2p=33 . 抛物线的方程为y2=33x .（2）由（1）知2p=33 ，p2=312 ， 抛物线的准线方程为x=-312 ，焦点坐标为(312,0) ，离心率e=1 .探究点二 与抛物线焦点有关的线段的长度问题精讲精练例已知点M 到点F(1,0) 的距离等于点M 到直线x+1=0 的距离，设点M 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点F(1,0) ，且斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.答案：（1）由题意可知点M 的轨迹是以点F(1,0) 为焦点，直线x=-1 为准线的抛物线，设方程为y2=2px(p0) ，则p=2 ，

6、曲线C 的方程为y2=4x .（2）由题意得直线l的方程为y=x-1 ，联立得y=x-1,y2=4x, 消去y 得x2-6x+1=0设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x1+x2=6 ，则由抛物线的定义可得|AF|=x1+p2 ，|BF|=x2+p2 ，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=6+2=8 .解题感悟过焦点的弦长的求解方法：设过抛物线y2=2px(p0) 的焦点弦的端点为A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，然后利用弦所在直线的方程与抛物线的方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1+x2 ，则|AB|=x1+x2+p1 . 迁移应用（2021黑龙江哈尔滨第六中学高

7、二月考）已知点P(1,m) 是抛物线C:y2=2px(p0) 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2 ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B .（1）求抛物线C 的方程；（2）若|AB|=8 ，求直线l 的斜率.答案：（1）由题意得|PF|=1+p2=2p=2 ， 抛物线C 的方程为y2=4x .（2）由（1）知抛物线C 的焦点为F(1,0) ，若直线l 的斜率不存在，则|AB|=4 ，不符合题意；若直线l的斜率存在，则设直线l 的方程为y=k(x-1) ，由y=k(x-1),y2=4x 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0 ，设A(x1,y1) ，B(x2,y2)

8、，则x1+x2=2k2+4k2 ，|AB|=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8 ，解得k=1 或k=-1 .综上，直线l 的斜率为1或-1.探究点三 抛物线性质的综合应用精讲精练例已知抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且|FA|=|FD| ，当点A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形.（1）求C 的方程；（2）延长AF 交抛物线于点E ，过点E 作抛物线的切线l1 ，求证：l1l .答案：（1）由题意知F(p2,0) ，设D(t,0)(t0) ，则线段FD 的中点为(p+2t4,0)

9、 .因为|FA|=|FD| ，所以由抛物线的定义知3+p2=|t-p2| ，解得t=3+p 或t=-3 （舍去）.由题意得p+2t4=3 ，解得p=2 ，所以抛物线C 的方程为y2=4x .（2）证明：由（1）知F(1,0) ，设A(m24,m)(m0) ，D(xD,0)(xD0)由|FA|=|FD| 得m24+1=|xD-1| ，所以xD=m24+2, 则kAD=mm24-(2+m24)=-m2 .设直线l1:y=kx+n(k0) 和抛物线C 相切，将y=kx+n 代入y2=4x 得ky2-4y+4n=0 ，此方程只有1个根，所以E(1k2,2k) .因为A ，F ，E 三点共线，所以m(1

10、k2-1)=2k(m24-1) ，化简得k2+(m2-2m)k-1=0 ，解得k=2m 或k=-m2 .因为k=2m 时，点E(m24,m) 与点A 重合，所以舍去，所以k=-m2=kAD ，所以l1l .解题感悟在抛物线的综合问题中，经常遇到证明平行、垂直等问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、参数法等，其关键是代换和转化. 迁移应用设抛物线:y2=4x 的焦点为F ；直线C:x-my-n=0 经过F 且与 交于A 、B 两点.（1）若|AB|=8 ，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴.答案：（1）设A(x1,y1) ，B

11、(x2,y2) .由题意得F(1,0) ，将F(1,0) 代入x-my-n=0 得n=1 ，所以直线l 的方程为x=my+1 .将直线l 的方程x=my+1 代入y2=4x 得，y2-4my-4=0 ，所以y1+y2=4m ，y1y2=-4故|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(m2+1)(y1+y2)2-4y1y2=4(m2+1)=8 ，解得m=1 .（2）证明：抛物线y2=4x 的准线方程为x=-1 ，设C(-1,y3) ，由直线AO 的方程y=y1x1x ，得y3=-y1x1=-4y1 ，由（1）知y1y2=-4 ，即y2=-4y1 ，所以y3=y2 ，故直线BC平行于x 轴.

12、评价检测素养提升课堂检测 1.（2021北京丰台高二期中）抛物线y2=4x 的准线方程为( )A.x=-2 B.x=-1 C.y=-1 D.y=-2答案：B2.抛物线x2=-8y 的通径为线段AB ，则线段AB 的长是( )A.2B.4C.8D.1答案：C解析：抛物线x2=-8y 的通径长为|-8|=8 .故选C.3.已知直线l 经过抛物线y2=6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点.若|AB|=9 ，求线段AB 的中点M 到准线的距离.答案：92解析：设A(x1,y1),B(x2,y2) ，由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=x1+

13、x2+3 ，所以x1+x2=6 ，故线段AB的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x=-32 ，所以M 到准线的距离为3+32=92 .素养演练直观想象、数学运算解决与抛物线有关的距离最值问题求抛物线y=-x2 上的点到直线4x+3y-8=0 的最小距离.答案：解法一：如图，设与直线4x+3y-8=0 平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0(m-8) ，由y=-x2, 4x+3y+m=0, 消去y 得3x2-4x-m=0 ，由=16+12m=0 ，得m=-43 ，所以最小距离为|-8+43|32+42=2035=43 .解法二：设A(t,-t2) 为抛物线上的点，则点A 到直线4x+3y-8

14、=0 的距离d=|4t-3t2-8|5=|3t2-4t+8|5=15|3(t-23)2-43+8|=15|3(t-23)2+203|=35(t-23)2+43 ，所以当t=23 时，d 有最小值43 .素养探究：解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离进行转化，数形结合，利用几何意义求解，渗透了直观想象的素养；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，再进行求解，渗透了数学运算的素养.迁移应用已知抛物线x2=4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的一个动点.（1）当|PF|=2 时，求点P 的坐标；（2）求点P 到直线y=x-10 的距离的最小值.答案：（1）由题意可设P(a,a24)(a0) ，因为|PF|=2 ，所以结合抛物线的定义得a24+1=2 ，所以a=2 （负值舍去），所以点P 的坐标为(2,1).（2）设点P 的坐标为(a,a24)(a0) ，则点P 到直线y=x-10 的距离为|a-a24-10|2=|a24-a+10|2 .因为a24-a+10=14(a-2)2+9 ，所以当a=2 时，a24-a+10 取得最小值9，故点P 到直线y=x-10 的距离的最小值为922 .