2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案：2-3-2 圆的一般方程 WORD版含答案.docx

1、2.3.2 圆的一般方程课标解读课标要求素养要求回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.1.直观想象、逻辑推理能根据给定条件探究圆的一般方程. 2.数学运算能根据已知条件求圆的一般方程并解决相关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句1.圆的一般方程一般地，圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2可以化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 .在这个方程中，如果令D=-2a,E=-2b,F= a2+b2-r2，则这个方程可以表示成x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)的形式，其中D,E,F都是常数。形如(*)式的圆的方程称为圆的一般方程.2.二元二次方程

2、x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件（1）当D2+E2-4F0时，方程是以 (-D2,-E2)为圆心，12D2+E2-4F为半径的圆的方程；（2）当D2+E2-4F=0时，满足方程的实数只有x= -D2，y=-E2，所以原方程不是圆的方程；（3）当D2+E2-4F 0 .名师点睛1.圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点x2和y2的系数相等且不为0；没有xy项；D2+E2-4F02.圆的一般方程中有三个系数，且必须满足D2+E2-4F0的条件，确定圆的一般方程，需要确定D、E、F三个未知数，这说明确定一个圆需要三个独立的条件.3.在求圆的方程时，尽量运用圆的几何性质求解，这样可以大大减少计

3、算量一般地，圆心的重要几何性质为：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在某条弦的中垂线上.互动探究关键能力探究点一圆的一般方程的概念精讲精练例判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径答案：解法一：由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知，D=-4m,E=2m,F=20m-20，D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2，当m=2时，它表示一个点；当m2时，它表示圆，此时，圆的圆心为(2m,-m)，半径r=12D2+E2-4F=5|m-2|解法二：原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2，当

4、m=2时，它表示一个点；当m2时，它表示圆，此时，圆的圆心为(2m,-m)，半径r=5|m-2| .解题感悟形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否大于零若D2+E2-4F0，则方程表示圆，否则不表示圆；将方程配方变形成标准形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.迁移应用1.若方程x2+y2-4x+2y+k=0表示圆，则k的取值范围是( )A.k5 B.k5C.k5 D.k5答案：B解析：方程x2+y2-4x+2y+k=0表示圆，D2+E2-4F=16+4-4k0，解得k5 .2.（多选）已知圆

5、M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法中正确的是( )A.圆M的圆心坐标为(-4,3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为5D.圆M被y轴截得的弦长为6答案：B; C; D解析：圆M的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=52，故圆心坐标为(4,-3)，半径为5，故A中说法错误，C中说法正确；令y=0，得x=0或x=8，则圆M被x轴截得的弦长为8，故B中说法正确；令x=0，得y=0或y=-6，则圆M被y轴截得的弦长为6，故D中说法正确.探究点二求圆的一般方程精讲精练例已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1) .（1）求ABC的外接圆的一般方程；（2）若点M(a,2

6、)在ABC的外接圆上，求a的值.答案：（1）设ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意，得22+22+2D+2E+F=0,52+32+5D+3E+F=0,32+(-1)2+3D-E+F=0,解得D=-8,E=-2,F=12.即ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0 .（2）由（1）知，ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2+22-8a-22+12=0，即a2-8a+12=0，解得a=2或a=6 .变式若本例中将“点C(3,-1) ”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”，其他条件不变

7、，求圆C的方程.答案：易知kAB=3-25-2=13，线段AB的中点坐标为(72,52)，线段AB的垂直平分线方程为y-52=-3(x-72) .联立y=-x,y-52=-3x-72,解得x=132,y=-132,即圆心C的坐标为(132,-132)，半径r=(132-2)2+(-132-2)2=3702，圆C的方程为(x-132)2+(y+132)2=1852 .解题感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意：（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标、半径列方程，那么一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a,b,r .（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，那么一般采用圆的

8、一般方程，再用待定系数法求出常数D,E,F .迁移应用1.已知圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l:2x-y-3=0上，则圆C的方程为( )A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=0答案：C解析：因为线段AB的中点坐标为(2,4)，AB所在直线的斜率为6-24-0=1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y-4=-(x-2)，即y=6-x，与直线l的方程联立，解得圆心坐标为(3,3).又圆的半径r=(3-0)2+(3-2)2=10，所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10，即x2

9、+y2-6x-6y+8=0 .2.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .答案：x2+y2-2x=0解析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，代入三点坐标，得F=0,1+1+D+E+F=0,4+2D+F=0,解得D=-2,E=0,F=0，即圆的方程为x2+y2-2x=0 .探究点三圆的一般方程的综合应用精讲精练例已知一圆过P(4,-2)，Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的弦长为43，求圆的方程.答案：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将P,Q的坐标分别代入，得4D-2E+F=-20,D-3E-F=10,令x=0，由

10、得y2+Ey+F=0，由题意得|y1-y2|=43，其中y1,y2是方程的两根.则y1+y2=-E，y1y2=F，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 .由，解得D2,E0,F12或D10,E8,F4.经检验均符合题意，故所求的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0 .解题感悟解决圆与坐标轴相交的有关题目时，分别令x=0，y=0，就可求得圆与y轴、x轴的交点的纵坐标、横坐标，但一般不直接求解，而是利用根与系数的关系解决问题.迁移应用1.已知圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程是 .答案：x2+y2+1

11、2x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0解析：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D+2E+F=-5 ，3D+4E+F=-25 ，令y=0，得x2+Dx+F=0 .设圆C与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=-D，x1x2=F，|x1-x2|=6,(x1+x2)2-4x1x2=36，即D2-4F=36 ，由，解得D=12，E=-22，F=27或D=-8，E=-2，F=7，圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0 .评价检测素养提升课堂检测1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )A.(2,3)B.(-2,

12、3)C.(-2,-3)D.(2,-3)答案：D2.若方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为 ( )A.(-,12 B.12C.12,+) D.(-,12)答案：D3.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径为2，则D，E的值分别为 .答案：2，-4素养演练逻辑推理与圆有关的轨迹问题1.已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(a,0)(a0)的距离的比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状.答案：设M(x,y)是曲线上的任意一点，由题意及两点间的距离公式知x2+y2(x-a)2+y2=k，化简得(k2-1)x2

13、+(k2-1)y2-2k2ax+k2a2=0 .当k1，即k1或0k1时，k2-10，x2+y2+-2k2ak2-1x+k2a2k2-1=0 .4k4a2(k2-1)2-4k2a2k2-1=4k2a2(k2-1)20，所求曲线的方程是x2+y2+-2k2ak2-1x+k2a2k2-1=0，则曲线表示以(k2ak2-1,0)为圆心，以|kak2-1|为半径的圆.当k=1，即k2-1=0时，方程(k2-1)x2+(k2-1)y2-2k2ax+k2a2=0变为-2ax+a2=0，即x=a2，表示线段OA的垂直平分线.素养探究：本题考查与圆有关的轨迹问题，可直接利用条件列出动点满足的关系式，化简即可.体现了逻辑推理的核心素养.