《同步辅导》2015高中数学北师大版必修五导学案：《正弦定理》.doc

1、第1课时正 弦 定 理1.掌握正弦定理及其证明过程.2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,BAC,ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?问题1:在上面的问题中, ABC的已知元素有和边.若AB=2,ABC=30,BAC=120,则BC=,CD=.解三角形:的过程.问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦

2、的比相等,即.问题3:正弦定理的拓展:abc=;设R为ABC外接圆的半径,则=.问题4:在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解1.在ABC中,下列等式总能成立的是().A.acos C=ccos AB.bsin C=csin AC.absin C=bcsin BD.asin C=csin A2.已知ABC中,a=4,b=5,A=30.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是().A.一解B.两解C.无解D.一解或无解3.在ABC中,已知a=5,c=10,A=30,则B等于.4.在ABC中,已知b=5,B=,tan A=2,求sin A

3、和边a.利用正弦定理判断三角形的形状在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.已知两角及其中一角的对边,解三角形在ABC中,已知c=10,A=45,C=30,解这个三角形.已知两边及其中一边的对角,解三角形在ABC中,a=,b=,B=45.求角A,C和边c.在ABC中,若=,则ABC是().A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则A=,b=,c=.在ABC中,已知a=,c=2,A=60,求B、C及b的值.1.在ABC中,A=60,a=4,b=4,则().A.B=4

4、5或135B.B=135C.B=45D.以上答案都不对2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120,则a等于().A.B.2C.D.3.在ABC中,cos A=,cos B=,则ABC中三边的比值abc=.4.在ABC中,若B=60,AC=3,AB=,求A.(2013年北京卷)在ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B等于().A.B.C.D.1考题变式(我来改编):第二章解 三 角 形第1课时正 弦 定 理知识体系梳理问题1:ABC、BACAB2已知三角形的几个元素求其他元素问题2:=问题3:sin Asin Bsin C2R问题4:a=bsin A

5、bsin Aab基础学习交流1.D根据正弦定理有:=,所以asin C=csin A,故选D.2.B因为a,b,A的关系满足bsin Aab,角A还可能是120.于是正确的解答如下:由正弦定理得=,=,sin A=.ab,A=60或A=120.当A=60时,C=180-45-60=75,c=;当A=120时,C=180-45-120=15,c=.【小结】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求

6、的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能判断.思维拓展应用应用一:B由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为ABC外接圆的半径),=,即tan A=tan B=tan C,A=B=C.应用二:4544(+1)A=180-(B+C)=180-(60+75)=45.由正弦定理=,得b=4,由=,得c=4(+1).应用三:由正弦定理=,得sin C=.ca,Cb,B=45.2.D由正弦定理=sin C=,于是C=30A=30a=c=.3.12根据cos A=,cos B=可得:A=60,B=30,所以C=90,故abc=sin Asin Bsin C=12.4.解:由正弦定理=,AC=3,AB=,B=60,=,解得sin C=.又ABAC,C=45,A=180-45-60=75.全新视角拓展B由=得=,从而得出sin B=.思维导图构建