《同步辅导》2015高中数学北师大版选修1-1学案：《全称命题、特称命题》.doc

1、第6课时全称命题、特称命题与逻辑联结词的综合应用1.进一步熟悉含量词的命题的否定形式并判断真假.2.会将全称命题与特称命题与充要条件结合,进行综合应用.3.会将全称命题与特称命题与逻辑联结词结合,进行综合应用.前面我们讲过一个故事,一位文艺批评家在路上遇到歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪明,一边高傲地往前走,一边大声说道:“我从来不给傻子让路!”面对如此尴尬局面,只见歌德笑容可掬,谦恭地闪在一旁,一边有礼貌地回答道:“呵呵,我可恰恰相反.”问题1: “我从来不给傻子让路”的等价命题是“只要是傻子,我都不会给他让路”,歌德表达的意思正是对命题“只要是傻子,我都不会给他让路”的否定,那么这个命题

2、的否定是 .问题2: “且”“或”“非”命题的真假性判断原则:(1)“且”命题“一假则假、皆真则真”;(2)“或”命题“”;(3)“非”命题与原命题的真假.问题3: 全称命题和特称命题的定义及其表示含有全称量词“所有的”“任意一个”的命题,叫作全称命题,记为.含有存在量词“存在一个”“至少一个”的命题,叫作特称命题,记为.问题4: 几种命题的否定(1)任意xM,p(x)成立的否定是.(2)存在xM,p(x)成立的否定是.(3)“p或q”的否定是.(4)“p且q”的否定是.1.下列命题为真命题的是().A.所有的自然数都是正整数B.有些三角形不是锐角三角形C.实数的平方都是正数D.每个矩形都是正

3、方形2.下列特称命题中真命题的个数是().存在xN+,x0;至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;存在xx|x是整数,x2是整数.A.0B.1C.2D.33.已知命题r(x):sin x+cos xm,s(x):x2+mx+10,如果任意xR,r(x)为假命题且s(x)为真命题,则实数m的取值范围是.4.判断下列命题的真假,并写出命题的否定:(1)有一个实数a,使不等式x2-(a+1)x+a0恒成立;(2)对任意实数x,不等式|x+2|0成立;(3)在实数范围内,有些一元二次方程无解.全(特)称命题的否定已知命题p:存在x0,cos 2x+cos x-m0的否定为假命题,求实数m的取值范围

4、.全(特)称命题的充分必要性已知p:任意x-1,2,使4x-2x+1+2-a,则sin sin .下列命题是真命题的是( ).A.p且(􀱑q)B.(􀱑p)且(􀱑q)C.(􀱑p)且qD.p且q已知p:任意xR,有ln(x2+ax+2)0.(1)当a=-2时,判断􀱑p的真假性;(2)若􀱑p是真命题,求a的取值范围.已知条件p:“存在xR,x2+2ax+2-a=0”,条件q:“任意x1,2,x2-ab,则sin xB.任意xR,3x0C.存在xR,sin x+cos x=2D.存在xR,lg

5、x=02.已知命题p:存在xR,使sin x=;命题q:任意xR,都有x2+x+10,下列选项中是真命题的是( ).A.p且qB. (􀱑p)或qC.p或(􀱑q) D.(􀱑p)且(􀱑q)3.已知命题p:任意xR,ax2+2x+30,如果命题􀱑p是真命题,那么实数a的取值范围是.4.设命题p:c20.若p和q有且仅有一个成立,求实数c的取值范围.(2013年四川卷)设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意xA,2xB,则().A.􀱑p:任意xA,2xBB.􀱑p

6、:任意xA,2xBC.􀱑p:存在xA,2xBD.􀱑p:存在xA,2xB考题变式(我来改编):第6课时全称命题、特称命题与逻辑联结词的综合应用知识体系梳理问题1:只要是傻子,我有时会给他让路问题2:(2)一真则真、皆假则假(3)相反问题3:任意xM,p(x)存在xM,p(x)问题4:(1)存在xM,p(x)不成立(2)任意xM,p(x)不成立(3)(􀱑p)且(􀱑q)(4)(􀱑p)或(􀱑q)基础学习交流1.B选项A,0是自然数但不是正整数,命题为假.选项B,例如直角三角形或钝角三角形不是锐角

7、三角形,命题为真.选项C,0的平方是0,不是正数,命题为假.选项D,邻边不相等的矩形不是正方形,命题为假.2.C为假命题,为真命题.3.mm恒不成立,所以m.又对任意的xR,s(x)为真命题,即对任意的xR,不等式x2+mx+10恒成立,所以=m2-40,解得-2m2.故如果对任意的xR,r(x)为假命题且s(x)为真命题,应有m0恒成立,所以命题为假命题.它的否定:对任意实数a,使x2-(a+1)x+a0不恒成立.(2)当x=1时,|x+2|0,所以原命题是假命题,它的否定:存在实数x,使|x+2|0.(3)真命题,它的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.重点难点探究探究一:【解析

8、】因为􀱑p是假命题,所以命题p是真命题.即命题p:存在x0,cos 2x+cos x-m0为真命题.即存在x0,使m cos 2x+cos x成立.f(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1=2(cos x+)2-,因为x0,cos x0,1,所以f(x)-1,2.所以当m2时,存在x0,cos 2x+cos x-m0.【小结】特称命题的否定是全称命题,而且它们的真假相反,转化时最好转化为真命题解答.探究二:【解析】关于p:不等式化为22x-22x+2-a0,令t=2x,x-1,2,t,4,则不等式转化为t2-2t+2-at2-2t+2对任意t,4恒成立

9、.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t,4时,ymax=10,所以a10.关于q:只需a-21,即a3.所以p是q的充分不必要条件.【答案】A【小结】本类题目主要是利用全称命题、特称命题的定义,结合充分必要条件、参数等综合.理解并转化往往是解题的关键,本题中恒成立问题转化为求函数的最值问题.探究三:【解析】由诱导公式可知p为真命题.若,为第一象限角,不妨取=+2,=,满足,但sin =sin ,所以命题q为假命题,所以􀱑q为真命题,所以p且(􀱑q)为真命题,选A.【答案】A【小结】利用有关的数学概念、定理、公式可以判断推证真命题,而对于假命题的判断则

10、只需举出一反例即可说明.思维拓展应用应用一:(1)当a=-2时,因为x2-2x+2=(x-1)2+11,所以命题p:任意xR,有ln(x2+ax+2)0是真命题,所以命题􀱑p是假命题.(2)􀱑p:存在xR,有ln(x2+ax+2)0或y=ln(x2+ax+2)的值不存在.即存在xR,有x2+ax+21,即存在xR,有x2+ax+10,解得a2,所以􀱑p是真命题时,a的取值范围是(-,-2)(2,+).应用二:Bp成立时,=(2a)2-4(2-a)0 即a1或a-2;q成立时,ax2,x1,2恒成立,所以a4,显然p/ q,而qp,故p是q的

11、必要不充分条件.应用三:因为p为真命题,q为假命题,所以“p且q”为假,“p或q”为真,“􀱑p”为假,“􀱑q”为真.基础智能检测1.C因为sin x+cos x=sin(x+),所以函数的最大值为.所以C错误. 2.B命题p为假命题,命题q为真命题,故A,C,D错误,答案选B.3.a因为命题􀱑p是真命题,所以命题p是假命题,而假设当命题p是真命题时,就是不等式ax2+2x+30对一切xR恒成立,这时应有解得a,因此当命题p是假命题,即命题􀱑p是真命题时,实数a的取值范围是a.4.解:p:由c2c得0c1;q:由=16c2-40得-c.要使p和q有且仅有一个成立,则实数c的取值范围为(-,0,1).全新视角拓展D由全称命题和特称命题的关系可得.思维导图构建必要条件充要条件至少一个两个都p或qp且q