2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）2-1等式性质与不等式性质（第2课时）（分层作业） WORD版含解析.doc

1、2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1（2021四川雅安中学高一开学考试）如果，那么下列不等式中一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】利用不等式的基本性质逐一分析即可.【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误；B.当时满足，但此时，故B选项错误；C.当时满足，但此时，故C选项错误；D.由得：，即，故D选项正确.故选：D.2（2022广东湛江高一期末）下列结论正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【分析】AD选项，可以用不等式基本性质进行证明；BC选项，可以用举出反例.【详解】，显然均大于等于0，两边平方得：，A正确

2、；当时，满足，但，B错误；若，当时，则，C错误；若，则，D错误.故选：A3（2021广西河池高一阶段练习）下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】ABC选项可以举出反例证明错误；D选项利用不等式的基本性质证明成立.【详解】对于A，令，则，A错误；对于B，令，则，但，B错误；对于C，令，满足，但，C错；对于D，因为，所以，不等式两边同乘以得：，D选择正确故选：D4（2021江西高一期中）“”的充分不必要条件是（）ABCD【答案】C【分析】ABD可以举出反例，C选项可以利用不等式的基本性质进行证明出是的充分不必要条件.【详解】A选项，若，满足，但，故推导不出，A错误

3、；B选项，也是如此，若，满足，但，B错误；C选项，因为，故，不等式两边同乘以（），不等号方向不改变，故，是的充分条件，当时，令，推导不出；综上：是的充分不必要条件，C选项正确；D选项，若，满足，但，D选项错误故选：C.5（2022广东中山高一期末）下列结论正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B：取进行否定；对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于D：取进行否定.【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；对于B：当时，取时，有.故B不正确；对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；

4、对于D：当，取时，有.故D不正确.故选：C.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：取特殊值进行否定；利用不等式的性质直接判断.6（2022全国高一课时练习）下列说法正确的为（）A与2的和是非负数，可表示为“”B小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C的两边之和大于第三边，记三边分别为，则可表示为“且且”D若某天的最低温度为7，最高温度为13，则这天的温度可表示为“713”【答案】C【分析】ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达.【详解】对于A，应表示为“”，对于B，应表示为“”，对于D，应表示

5、为“713”，故A，B，D错误故选：C7（2021全国高一期末）若实数a，b，c满足等式，则c可能取的最大值为（）A0B1C2D3【答案】C【分析】解出、的二元一次方程，然后利用非负性来确定的取值范围即可求解.【详解】解：由题意得：又，且解得：故c可能取的最大值为.故选：C8（2021全国高一课时练习）我国经典数学名著九章算术中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A6钱B7钱C

6、8钱D9钱【答案】C【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，所以，即，即，因为，所以，根据选项，所以买大竹子根，每根元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.二、填空题9（2022全国高一专题练习）已知，则的取值范围是_【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解【详解】解：因为，所以，所以，故答案为：10（2021广西玉林市第十一中学高一阶段练习）若且，则的最大值是_【答案】7【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.【详解】，则，解得：即，因为且，所以，故

7、，故的最大值为7故答案为：711（2021海南儋州川绵中学高一阶段练习）已知，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据不等式的性质可求出.【详解】因为，所以，因为，所以，则，所以的取值范围是.故答案为：.12（2021全国高一课时练习）某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得2分，不答得零分某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：_（不用化简）【答案】【分析】设这个学生答对了x道题，则答错（20-1-x）道题，根据得分=5答对题目数-1答错题目数结合得分在80以上，即可得出关于x的一元一次不等式【详解】这个学生至少答对x题，则答错（

8、20-1-x）道题，由得分规则成绩不低于80分，即故答案为：13（2022全国高一课时练习）若，则的取值范围为_【答案】【分析】根据的范围求出的范围，再根据不等式的同向相加性质即可求得的范围.【详解】解：因为，所以；又因为，所以，所以故答案为：.三、解答题14（2021全国高一课时练习）证明：，.【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.【详解】证明：.故得证.15（2022全国高一专题练习）已知，求证：.【分析】利不等式的性质证明即可【详解】因为，所以，所以16（2021全国高一专题练习）（1）已知，求证：；（2）已知，求的取值范围；（3）已知，求的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）；（

9、3）【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.（2）先求出的范围，从而可求的取值范围.（3）根据可求的取值范围【详解】（1）因为，所以,则（2）因为，所以，所以，所以.（3）已知，因为，所以17（2022全国高一课时练习）已知，求，的取值范围【答案】的取值范围是，的取值范围是【分析】根据题意可得，进而得到的范围，再根据分数的性质可得的取值范围.【详解】因为，所以又，所以，即因为，所以，因为，所以，所以，即所以的取值范围是，的取值范围是【能力提升】一、单选题1（2021福建福州高一期中）若，则下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质或赋值逐项判断

10、即可.【详解】对于A选项：当时，则，故A选项不正确；对于B选项：当时，故B选项不正确；对于C选项：当时，又，故C选项正确；对于D选项：，故D选项不正确；故选：C2（2021云南昆明一中高一期中）下列不等式：；其中恒成立的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】对于，利用不等式的性质可得解；对于，利用作差法可知，只时，成立；对于，利用作差法知即可判断； 对于，利用的结论结合不等式的性质可判断；【详解】对于，又，故恒成立；对于，但符号不确定，当时，故不恒成立；对于，故恒成立；对于，由知，两边同时开方，可得，故恒成立；故恒成立的结论是故选：B3（2022全国高一课时练习）已知实数，满足，则的

11、取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】令，可得，再根据的范围求解即可.【详解】令，则，所以因为，所以因为，所以，所以.故选：B4（2022全国高一课时练习），设，则下列判断中正确的是（）ABCD【答案】D【分析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.【详解】解：，；，.故选：D5（2022全国高一课时练习）已知，为正整数，则方程的解得个数为（）A8B10C11D12【答案】B【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果.【详解】因为，所以，当时，则，即，可得可取；当时，则，可得可取；当时，则，解得，或，进而解得为；当时，则，可

12、得为；所以方程的解的个数为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果.二、多选题6（2021广西南宁市东盟中学高一期中）下列命题为真命题的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】ABD【分析】利用不等式的性质可判断ABD选项；举反例可判断C选项.【详解】A选项，不等式两边同乘，得，为真命题.B选项，则，利用同向可加性，可知，为真命题.C选项，取，满足，但，为假命题.D选项，故，又，利用同向可乘性，可知，为真命题.故选：ABD7（2021新疆乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，

13、y满足，则（）ABCD【答案】ABD【分析】由题意结合不等式的性质求解即可【详解】对于A：因为，所以，则，即，故A正确；对于B：又，所以，即，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：ABD三、填空题8（2021全国高一课时练习）设，则中等号成立的充要条件是_【答案】且.【分析】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.【详解】由题设，要使等号成立，则且，当且时，有，即成立.综上，且是中等号成立的充要条件.故答案为：且.9（2020江苏高一单元测试）已知实数，且满足，则_【答案】【分析】先分析当时，推出，不符合题意；再分析时，将已知条件变形为关于的一元二次方程，

14、即，由已知该方程有解，可求出的值，代入求出的值，进而求得结果.【详解】当时，又，则，不符合题意；当时，整理成关于的一元二次方程，即判别式当时，要使方程有解，则不符合，即，即又，将代入方程得，解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析不符合题意，再看时，将已知条件转化成关于的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题.10（2020浙江高一期中）设，若时均有，则_【答案】【解析】考虑，三种情况，设，根据图像知过点，带入计算得到答案.【详解】，当时，不满足题意；当时，时，不满足题意；当时，设，函数均过定点，函数与轴的

15、交点为，如图当直线绕旋转时，只有当与都交于x轴时才能满足，故过点，即，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论，三种情况，构造函数将问题转化为两个函数值正负的讨论，考查学生的分类讨论思想与数形结合能力及运算求解能力，属于中档题.四、解答题11（2022全国高一专题练习）（1）若bcad0，bd0，求证：；（2）已知cab0，求证：；（3）观察以下运算：15361635，153647163547173645.若两组数a1，a2与b1，b2，且a1a2，b1b2，则a1b1a2b2a1b2a2b1是否成立，试证明；若两组数a1，a2，a3与b1

16、，b2，b3且a1a2a3，b1b2b3，对a1b3a2b2a3b1，a1b2a2b1a3b3，a1b1a2b2a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立，证明见解析；a1b3a2b2a3b1a1b2a2b1a3b3a1b1a2b2a3b3【分析】（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；（3）根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；，根据已知条件直接写出结论即可.【详解】证明：（1）因为，所以，又，即，所以，所以，即；（2）因为，所以，所以，所以；（3）解：成立，证明如下：a1b1a2b2(a1b2a2b1)a1(b1b2)a2(b2b1

17、)(a1a2)(b1b2)，又a1a2，b1b2，(a1a2)(b1b2)0，即a1b1a2b2a1b2a2b1；a1b3a2b2a3b1a1b2a2b1a3b3a1b1a2b2a3b312（2021全国高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当时，故，由，且，利用不等式性质可得，；(2)欲证，只需证明，即，当时，显然不

18、等式成立，当时，不妨令，即，故，由于，显然成立，故原不等式成立；同理，当时，原不等式也成立.综上所述，对于任意，均成立.13（2021辽宁建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，且，求证：求的取值范围【答案】（1）当时，当时，当时，；（2）证明详见解析；.【分析】（1）对两式作差，然后因式分解并分，三种情况讨论，即可求解；（2）由且，可得，再结合不等式的基本性质，即可求解；由题意，有，又即可求解.【详解】解：（1），当时，故，当时，故，当时，故；（2）证明：且，两边取倒数得，又，从而得证且，所以，因为，所以，即，所以，即，综上，.14（2022江西景德镇一中高一期末）若对任

19、意使得关于的方程有实数解的均有，求实数的最大值.【答案】【分析】设方程的两根为，由韦达定理得，不等式变形为，化为关于的表达式，再变形得最值【详解】设方程的两根为，则，上式右边最小值是，（时取得），所以故答案为：15（2022全国高一课时练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由【答案】(1)30平

20、方米(2)变好了【分析】（1）根据题意列出关于的等量关系和不等量关系，化简求解即可（2）分式的分子分母同时增加，通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还是变坏了（1）根据题意可得： ，则，所以，解得：，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米（2）同时增加窗户面积和地板面积后，比值为，则，因为，所以，所以，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了16（2021全国高一课时练习）求下列关于的不等式的解集(1)；(2).【解析】（1）分别对与0的大小关系进行分类讨论求解；（2）分别对与0的大小关系进行分类讨论求解.【详解】解:(1)当时,解得；当时,解得；当时,不等式无解；当时,为任意实数.综上,当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为.(2)当时,解得;当时,解得；当时,为任意实数；当时,不等式无解.综上：当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为.【点睛】此题考查解含参数的不等式，关键在于分类讨论，对参数进行合理的分类讨论求解.