数学人教B版必修4学案：2.3.2向量数量积的运算律 WORD版含解析.doc

1、2.3.2向量数量积的运算律基础知识基本能力1掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式(重点)2理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系(难点、易错点)1能正确地运用数量积的运算律进行相关的计算或证明(重点)2要注意运算律可以双向使用，并要知道数量积运算不满足结合律，也就是说，一般情况下(ab)ca(bc)(难点、易错点)向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数，则abba(ab)(a)ba(b)(ab)cacbc【自主测试1】下列命题正确的是()A|ab|a|b|Bab0|a|b|0Cab0|a|b|0D(ab)cacbc答案：D【自主测试2】向量m和n满足|

2、m|1，|n|，且m(mn)，则m与n夹角的大小为()A30 B45 C75 D135解析：设m与n的夹角为，则由m(mn)，知m(mn)0，即m2mn0，mnm2|m|21，cos ，45.答案：B【自主测试3】已知|a|4，|b|5，且a，b的夹角为60.求：(1)a2b2；(2)(2a3b)(3a2b)解：(1)a2b2|a|2|b|242529；(2)(2a3b)(3a2b)6a25ab6b2616545cos 606254.向量数量积的运算不满足结合律剖析：向量数量积的运算不满足结合律，即等式(ab)ca(bc)不一定成立，下面给出说明：思路一：举反例如图所示，设a，b，c，且|1，

3、|2，|3，则，ab|a|b|cosa，b1，bc|b|c|cosb，c3.(ab)cc，a(bc)3a.很明显c3a不成立，(ab)ca(bc )不成立故等式(ab)ca(bc)不一定成立思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析由于向量的数量积是实数，则设ab，bc.则(ab)cc，a(bc) a.由于c，a是任意向量，则ca不一定成立故等式(ab)ca(bc)不一定成立题型一 有关向量的数量积、模、垂直等的计算【例题1】设O为ABC的外心，ODBC于点D，且|，|1，则()的值是()A1 B2 C D解析：由O是ABC的外心及ODBC可知，D为边BC的中点，将变形为()，再利用数量积的运算

4、律求解答案：A反思求解本题时，要注意几何性质的应用，将向量进行适当转化，转化的目的是用上已知条件另外，求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a2|a|2；(2)(xayb)(mcnd)xmacxnadymbcynbd，其中x，y，m，nR，类似于多项式的乘法法则；(3)(ab)2a22abb2；(4)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.【例题2】已知|a|1，|b|，(1)若ab，求ab；(2)若a，b的夹角为60，求|ab|.分析：(1)根据数量积的定义求解；(2)利用关系式a2|a|2可使向量的长度与向量的数量积互相转化解：(1)ab，a与b的夹角为0或.当a与b的夹角为0时

5、，ab|a|b|cos 01cos 0；当a与b的夹角为时，ab|a|b|cos 1(1).(2)|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 6012()2213.故|ab|.反思利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.【例题3】已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，若向量kab与a2b垂直，求k的值分析：由(kab)(a2b)，得(kab)(a2b)0，展开求解即可解：(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，即ka2(2k1)ab2b20，即k52(2k1)54cos 602420.解得k，故若向量k

6、ab与向量a2b垂直，则k的值为.反思(1)对数量积的运算律要熟练掌握(2)非零向量ab0ab是非常重要的性质，对于解决平面几何图形中的垂直问题有很大帮助，应熟练掌握题型二 有关几何证明问题【例题4】如图，AD，BE，CF是ABC的三条高求证：AD，BE，CF相交于一点分析：解答本题可先设两条高交于一点，再利用向量的数量积证明第三条高也过此点证明：设BE，CF交于点H，设a，b，h，则ha，hb，ba.，(ha)b0，(hb)a0.(ha)b(hb)a，化简得h(ba)0.AH与AD重合，即AD，BE，CF相交于一点反思向量作为一种工具在解决几何问题时有着广泛的应用，几何问题向向量的转化是关键

7、一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如向量的夹角与直线的夹角就不相同题型三 易错辨析【例题5】已知O为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，试判断ABC的形状错解：由已知()(2)0，可得()()()0，即()()0，或，即|，ABC为等腰三角形错因分析：误认为ab0a0或b0.实际上当ab时，ab0也成立正解：，2()().()(2)0，(A)()0.由数量积的运算律可化为0，即，即|2|2，ABAC，ABC为等腰三角形1有下面四个关系式：000；(ab)ca(bc)；abba；0a0.其中正确的个数是()A4 B3 C2

8、D1解析：错误，因为向量数量积的结果是数量而不是向量；错误，因为向量数量积不满足结合律；显然正确；错误，因为实数与向量的积结果应是向量答案：D2如图所示，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是()AB()()C()()0D解析：选项A显然正确；选项B中，菱形的对角线互相垂直，选项B正确；选项C中，而，选项C正确；选项D中，|cosBAD，|cos(BAD)|cosBAD，选项D错误答案：D3已知|a|3，|b|4，a，b的夹角为60，则|2ab|_.答案：24若向量a，b，c满足abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca_.解析：解析一：根据已知条件，知|c|a|b|，cab，从而可知a与b同向，c与a，b反向所以有abbcca31cos 014cos 43cos 341213.解析二：因为(abc)2a2b2c22(abbcca)，所以abbcca13.答案：135在ABC中，若，求证：点O是ABC的垂心证明：由，得()0，0.，即OBCA同理，OCAB，OABCO为ABC的垂心6已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角解：由已知条件得得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，设向量a与b的夹角为，则cos .0，.故a与b的夹角为.