数学人教B版必修4自主广场：2.3平面向量的数量积 WORD版含解析.doc

1、自主广场我夯基 我达标1.a0=0；0a=0；0-；|ab|=|a|b|；若a0，则对任一非零向量b有ab0；ab=0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2=b2.以上成立的是( )A. B.C. D.思路解析:只要按照定义、性质、运算律作答即可. 对于，两个向量的数量积是一个实数，应有0a=0，故错； 对于，应有0a=0，故错； 对于，很明显正确； 对于，由数量积定义，有|ab|=|a|b|cos|a|b|，这里是a与b的夹角，只有=0或=时，才有|ab|=|a|b|，故错； 对于，若非零向量a、b垂直，有ab=0，故错； 对于，由ab=0可知ab，即可以都非零，故错； 对

2、于，a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，故正确.答案:D2.已知|a|=5，|b|=3，ab=，则a与b的夹角为( )A.30 B.60 C.135 D.120思路解析:cosa，b=，又0a，b180，a，b=30.答案:A3.已知ABC中，AB=a，AC=b，当ab0或ab=0时，ABC的形状分别是( )A.钝角三角形，直角三角形B.锐角三角形，直角三角形C.锐角三角形，钝角三角形D.锐角三角形，斜三角形思路解析:由ab0可知a与b的夹角为钝角，即ABC是钝角三角形；当ab=0时，可知a与b的夹角为直角，即ABC是直角三角形. 答案:A4.(2006天津高考，文12)设向量a与b的

3、夹角为，且a=(3，3)，2b-a=(-1，1)，则cos=_.思路解析:b=a+(-1，1)=(1,2)，则ab=9，|a|=3，|b|=，cos=.答案:5已知a=(3，-1)，b=(1，2)，xa=9,xb=-4，向量x的坐标为_.思路解析:设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解.设x=(t，s)，由答案:(2，-3)6.已知a=(1，2)，b=(1，1)，c=b-ka，若ca，则c=_.思路解析:根据a和b的坐标，求c的坐标，利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c.答案:(，-)7已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2

4、)(3a)(b)；(3)(3b-2a)(4a+b).思路分析:第(1)题直接由定义可得，(2)和(3)则利用向量数量积的运算律计算.解：(1)ab=|a|b|cos=1012cos120=-60.(2)(3a)(b)=(ab)=(-60)=-36.(3)(3b-2a)(4a+b)=12ba+3b2-8a2-2ab=10ab+3|b|2-8|a|2=10(-60)+3122-8102=-968.我综合 我发展8.已知a=(3，4)，b=(4，3)，(xa+yb)a，|xa+yb|=1.求实数x、y的值.思路分析:首先写出(xa+yb)的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y

5、的值.解：a=(3，4)，b=(4，3)，xa+yb=(3x+4y，4x+3y).(xa+yb)a,(xa+yb)a=0.3(3x+4y)+4(4x+3y)=0， 即25x+24y=0. 又|xa+yb|=1，(3x+4y)2+(4x+3y)2=1. 整理得25x2+48xy+25y2=1. 由联立方程组，解得或9.向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.思路分析:向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得.解：e12=4，

6、e22=1，e1e2=21cos60=1， (2te1+7e2)(e1+te2)= 2te12+(2t2+7)e1e2+7te22=2t2+15t+7.向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，2t2+15t+70.-7t-. 设2te1+7e2=(e1+te2)(0)，则2t=，且7=t，2t2=7.t=-，=-.当t=-时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为.实数t的取值范围是(-7，-)(-，-).10.如图2-3-12，以原点及A(5，2)为顶点作等腰RtOAB，使B=90，求点B和向量的坐标.图2-3-12思路分析:结合图形，可以发现与垂直并且长度相等，利用这一关系建立

7、B点坐标的方程组，再解方程组得B点坐标，进一步得向量的坐标.解：设B(x，y)，则=(x，y)，=(x-5，y-2).，x(x-5)+y(y-2)=0，即x2+y2-5x-2y=0. 又|=|，x2+y2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29. 解方程组得或B点坐标为(，-)或(，)； 当B(，-)时，=(-，-)； 当B(，)时，=(-，). 综上得B(，-)，=(-，-)， 或B(，)，=(-，).11.四边形ABCD中，=a，=b，=c，=d，且ab=bc=cd=da，试问四边形ABCD是什么图形?思路分析:四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系.

8、解：由题意，得a+b+c+d=0，a+b= -(c+d).(a+b)2=(c+d)2， 即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2.由于ab=cd，|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. 同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2. 由可得|a|=|c|且|b|=|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等，四边形ABCD是平行四边形.ab=bc，b(a-c)=0. 由平行四边形ABCD可得c=-a，代入上式得b(2a)=0， 即ab=0.ab，即ABBC. 综上所述，四边形ABCD是矩形.12.(2006湖北黄冈模拟，16)平面直角坐标系内有点P(1,cosx)、Q(cosx，1),x-，.(1)求向量和向量的夹角的余弦值；(2)令f(x)=cos，求f(x)的最小值.思路分析:(1)直接用夹角公式即可求得；(2)利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.解：(1)由题意，得=(1，cosx)，=(cosx，1).=2cosx，|=，|=.cos=.向量和向量的夹角的余弦值为.(2)由(1)，得f(x)=，x-,. 设t=cosx，则t1.f(t)=,t1. 可以证明当t1时，f(t)=是增函数.f(x)的最小值是f()=.