2022版新教材高中数学 微专题3 圆锥曲线中的探索性与开放性问题基础训练（含解析）新人教A版选择性必修第一册.docx

1、微专题3 圆锥曲线中的探索性与开放性问题1.（2021江苏宿迁高二期末）已知过点A(a,0) 的直线与抛物线y2=2px(p0) 交于M,N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得OMON=-16 成立，则p 的值为( )A.-4B.2C.4D.8答案：C解析：设直线MN 的方程为x=ty+a ，M(x1,y1),N(x2,y2) ，联立得x=ty+a,y2=2px, 整理得y2-2pty-2pa=0 ，所以y1+y2=2pt ，y1y2=-2pa ，所以x1x2=(ty1+a)(ty2+a)=t2y1y2+at(y1+y2)+a2=t2(-2pa)+at2pt+a2 ，因为OMON=-16 ，所

2、以x1x2+y1y2=t2(-2pa)+at2pt+a2-2pa=-16 ，所以a2-2pa+16=0 ，因为有且仅有一个实数a ，使得OMON=-16 成立，所以=(-2p)2-64=0 ，解得p=4 或p=-4 （舍去）.2.已知双曲线C 过点(3,2) ，且渐近线方程为y=33x ，则下列结论中正确的个数为( )双曲线C 的实轴长为23 ；双曲线C 的离心率为233 ；曲线y=ex-2-1 经过双曲线C 的一个焦点；直线x-2y-1=0 与双曲线C 有两个公共点.A.1B.2C.3D.4答案：C解析：根据题意设双曲线C的方程为x23-y2= ，将(3,2) 代入双曲线C 的方程得=323

3、-(2)2=1 ，所以双曲线C 的方程为x23-y2=1 .双曲线C 的实轴长为23 ，所以中结论正确；双曲线C的离心率为3+13=233 ，所以中结论正确；令y=ex-2-1=0 ，得x=2 ，所以曲线y=ex-2-1 经过双曲线C 的右焦点(2,0)，所以中结论正确；联立得x-2y-1=0,x23-y2=1, 消去x 得y2-22y+2=0 ，所以=8-42=0 ，故直线x-2y-1=0 与双曲线C只有一个公共点，所以中结论错误.故选C.3.已知F 为抛物线C:x2=2py(1p2) 的焦点，F 关于原点对称的点为F ，点M 在抛物线C上，则下列结论中正确的个数为( )使得MFF 为等腰三

4、角形的点M 有且仅有6个；使得|MF|+|MF|=1 的点M 有且仅有2个；使得|MF|=2|MF| 的点M 有且仅有4个.A.0B.1C.2D.3答案： A解析：MFF 为等腰三角形，若|MF|=|FF| ，则这样的点M 有两个，若|MF|=|FF| ，则这样的点M 有两个，满足|MF|=|MF| 的点M 有一个但不能构成三角形，故点M 只有4个，中结论错误；|FF|=p ，|MF|+|MF|FF|=p ，又1p23=|AB| ，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，所以2a=4 ，2c=|AB|=23 ，故a=2,c=3,b=1 ，所以所求的轨迹方程为x24+y2=1 .

5、选，设P(x,y),S(x,0),T(0,y),则x+y2=3(*) ，因为OP=23OS+13OT ，所以x=23x,y=13y,整理得x=32x,y=3y, 代入（*）得x24+y2=1 ，所以所求的轨迹方程为x24+y2=1.（2）设Q(0,y0) ，当l 的斜率不存在时，y0=0 ，符合题意；当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k(x-1)(k0) ，M(x1,y1),N(x2,y2) ，联立得y=k(x-1),x24+y2=1, 消去y 得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0 ，所以0 ，x1+x2=8k21+4k2 ，设线段MN 的中点为G(x3,y3) ，则x3

6、=x1+x22=4k21+4k2 ，y3=k(x3-1)=-k1+4k2 ，所以线段MN 的垂直平分线的方程为y+k1+4k2=-1k(x-4k21+4k2) ，把(0,y0) 代入得y0=3k1+4k2=31k+4k ，当k0 时，1k+4k-4 ，当且仅当k=-12 时，取等号，所以-34y00 ；当k0 时，1k+4k4 ，当且仅当k=12 时，取等号，所以0y034 .综上，点Q 的纵坐标的取值范围是-34,34 .创新拓展练8.（2021江苏徐州歌风中学高二学情调研）在离心率e=12 ；椭圆C 过点(1,32) ；PF1F2 的面积的最大值为3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中

7、，并作答.问题：设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的左、右焦点分别为F1、F2 ，过F1 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P、Q 两点，已知椭圆C 的短轴长为23 ， .（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求证：|PQ|NF1| 为定值.命题分析 本题考查了椭圆的标准方程、利用直线与椭圆的关系求定值的问题以及条件探究等.答题要领（1）选，由题意可得a2=b2+c2,2b=23, ca=12, 解方程组得到椭圆C 的方程.选，由题意可得1a2+94b2=1,2b=23, 解方程组得到椭圆C 的方程.选，由题意可得122cb=3,2b=23, a2=

8、b2+c2, 解方程组得到椭圆C 的方程.（2）线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，分类讨论k=0 和k0 两种情况.详细解析（1） 选，由题意可得a2=b2+c2,2b=23, ca=12, 解得a=2, b=3, 所以椭圆C 的方程为x24+y23=1 .选，由题意可得1a2+94b2=1,2b=23, 解得a=2, b=3, 所以椭圆C 的方程为x24+y23=1 .选，由题意可得122cb=3,2b=23, a2=b2+c2, 解得a=2, b=3,所以椭圆C 的方程为x24+y23=1 .（2）证明：由（1）知c=1 ，当k=0 时，|PQ|=2a=4 ，|NF1|=c=1 ，所以

9、|PQ|NF1|=2ac=4 ；当k0 时，由（1）知F1(-1,0),设直线PF1 的方程为y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得y=k(x+1),x24+y23=1,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0 ，所以0 ，x1+x2=-8k23+4k2 ，x1x2=4k2-123+4k2 ，所以|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-8k23+4k2)2-44k2-123+4k2=12+12k23+4k2 ，所以y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=-8k33+4k2+2k=6k3+4k2 ，设线段PQ 的中点为M ，则M(-4k23+4k2,3k3+4k2) ，所以线段PQ 的中垂线的方程为y-3k3+4k2=-1k(x+4k23+4k2) ，令y=0 ，可得x=-k23+4k2 ，即N(-k23+4k2,0) ，又F1(-1,0) ，所以|NF1|=-k23+4k2+1=3k2+33+4k2 ，所以|PQ|NF1|=12+12k23+4k23k2+33+4k2=4 .综上，|PQ|NF1| 为定值4.解题感悟 本题属于开放性题，任选一个条件把题干补充完整再作答.