2022版新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 专题强化练1 利用基本不等式求最值（含解析）湘教版必修第一册.docx

1、专题强化练1利用基本不等式求最值一、选择题1.()已知函数y=x+3x+7x+2(x-2),则()A.y有最小值-1B.y有最大值-1C.y有最小值3D.y有最大值32.()已知正实数x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为()A.1B.3C.6D.93.()若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+4b-1的最小值为()A.3B.4C.5D.64.(2020陕西吴起高中高二期末,)设x,y都是正数,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y2(2+1)B.xy2+1C.x+y(2+1)2D.xy2(2+1)5.()已知m0,xy0,当x+y=2时,不等式4x+m

2、y92恒成立,则实数m的取值范围是()A.12,+B.1,+)C.(0,1D.0,126.(多选)()已知x+y=1,y0,x0,则12|x|+|x|y+1的值可能是()A.12 B.14C.34 D.54二、填空题7.()已知不等式(x+y)1x+ay16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.8.()若实数a1,b2,且满足2a+b-6=0,则1a-1+2b-2的最小值为.三、解答题9.()已知9x2+y2+4xy=10.(1)分别求xy和3x+y的最大值;(2)求9x2+y2的最小值和最大值.10.()为了美化校园环境,学校打算在广场上建造一个矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花

3、坛,每个花坛的面积均为294平方米,花坛四周的过道宽度均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x米,宽为y米,整个矩形花园的面积为S平方米.(1)试用x,y表示S;(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少?最少为多少平方米?答案全解全析一、选择题1.Cx-2,x+20,y=x+3(x+2)+1x+2=(x+2)+1x+2+12+1=3,当且仅当x+2=1x+2,即x=-1(x=-3舍去)时取等号,y有最小值3.2.B因为正实数x,y,a满足2x+y=axy,所以2y+1x=a,所以x+2y=1a(x+2y)2y+1x=1a5+2xy+2yx1a5+22xy2yx=9a,当

4、且仅当2xy=2yx,且2y+1x=a时取等号.由题意可得9a=3,解得a=3.故选B.3.Ba0,b0,1a+1b=1,a1,b1,a+b=ab,1a-10,4b-10,1a-1+4b-124(a-1)(b-1)=24ab-(a+b)+1=4,当且仅当1a-1=4b-1,即a=32,b=3时,等号成立.故选B.4.Ax0,y0,且xy-(x+y)=1,xy=1+(x+y)1+2xy(当且仅当x=y=1+2时,等号成立),即(xy)2-2xy-10,解得xy1+2,即xy(1+2)2.xy=1+(x+y)(x+y)24(当且仅当x=y=1+2时,等号成立),即(x+y)2-4(x+y)-40,

5、解得x+y2(2+1).故选A.5.Bxy0,且x+y=2,x0,y0,4x+my=124x+my(x+y)=124+m+4yx+mxy124+m+24yxmxy=12(4+m+24m),当且仅当4yx=mxy,即mx=2y时,等号成立.不等式4x+my92恒成立,12(4+m+24m)92,化简得m+4m-50,解得m1(m-5舍去),即m1,实数m的取值范围是1,+).6.CD由x+y=1,y0,x0,得y=1-x0,则x1且x0.当0x1时,12|x|+|x|y+1=12x+x2-x=x+2-x4x+x2-x=14+2-x4x+x2-x14+22-x4xx2-x=54,当且仅当2-x4x

6、=x2-x,即x=23时取等号.当x0,y0时取等号,所以1+a+2a16,整理得(a+5)(a-3)0,解得a9,故a的最小值为9.8.答案4解析a1,b2,且满足2a+b-6=0,2(a-1)+b-2=2,a-10,b-20,则1a-1+2b-2=1a-1+2b-22(a-1)+b-212=124+b-2a-1+4(a-1)b-2124+2b-2a-14(a-1)b-2=12(4+4)=4,当且仅当b-2a-1=4(a-1)b-2,且2a+b-6=0,即a=32,b=3时,等号成立,则1a-1+2b-2的最小值为4.故答案为4.三、解答题9.解析(1)10=9x2+y2+4xy23xy+4

7、xy=10xy,当且仅当3x=y,即x=33,y=3或x=-33,y=-3时,等号成立,xy1,xy的最大值为1.9x2+y2+4xy=(3x+y)2-2xy=10,(3x+y)2=10+2xy12,当且仅当x=33,y=3或x=-33,y=-3时,等号成立,-233x+y23,当且仅当x=33,y=3或x=-33,y=-3时,等号成立,3x+y的最大值为23.(2)由(1)知xy1,当且仅当x=33,y=3或x=-33,y=-3时,等号成立.9x2+y2+4xy=10,9x2+y2=10-4xy10-4=6,当且仅当x=33,y=3或x=-33,y=-3时,等号成立,9x2+y2的最小值为6.9x2+y2-23xy=-6xy,当且仅当y=-3x,即x=33,y=-3或x=-33,y=3时,等号成立,xy-9x2+y26.9x2+y2+4xy=10,10-(9x2+y2)4-9x2+y26,即9x2+y230,9x2+y2的最大值为30.10.解析(1)由题意得S=(x+4)(3y+8)=3xy+12y+8x+32.(2)由题知x0,xy=294,所以S=3294+12294x+8x+32=914+8 441x+x914+16441xx=1 250,当且仅当441x=x,即x=21时,等号成立.故当矩形花坛的长为21米时,新建矩形花园占地最少,最少为1 250平方米.