2022版新教材高中数学 第2章 圆与方程 1 圆的方程提升训练（含解析）苏教版选择性必修第一册.docx

1、第1课时圆的标准方程基础过关练题组一圆的标准方程的理解1.(2020北京八一学校高二期中)已知圆(x+1)2+y2=2,则其圆心和半径分别为()A.(1,0),2B.(-1,0),2C.(1,0),2D.(-1,0),22.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)3.(2020江苏苏州第六中学高二期中)若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y-b)2=1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.记圆(x+1)2+(y-2)2=2的圆心坐标为(a,b),

2、半径为r,则a+b+r=.题组二求圆的标准方程5.(2020江苏常州第二中学高二期中)圆心为(-2,3),半径为3的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=9B.(x+2)2+(y-3)2=3C.(x+2)2+(y-3)2=9D.(x-2)2+(y+3)2=36.(2020山东昌邑一中高二期中)以P(-2,3)为圆心,且圆心到y轴的距离为半径的圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=4B.(x+2)2+(y-3)2=4C.(x-2)2+(y+3)2=9D.(x+2)2+(y-3)2=97.(2020山东淄博中学高二月考)已知点A(1,1),B(5,3),则以线段AB为直径的圆的

3、标准方程为()A.(x-2)2+(y-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=1C.(x-3)2+(y-2)2=5D.(x-3)2+(y-2)2=18.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是.9.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,求圆C的标准方程.10.(2020江苏淮安盱眙中学高二月考)求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.题组三点与圆的位置关系11.(2020江苏常州金坛第一中学高二期中)点(sin30,cos30)与圆x2+y2=12的位置关系是()A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定12.(

4、2020江苏淮安涟水中学高二月考)若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是()A.-1m1B.-2m2C.-55m55D.-22m0,且1),则点P的轨迹就是圆.事实上,互换该定理中的部分题设和结论,命题依然成立.已知点M(2,0),点P为圆O:x2+y2=16上的点,若存在x轴上的定点N(t,0)(t4)和常数,对满足已知条件的点P均有PM=PN,则=()A.1B.12C.13D.145.(多选)(2020江苏泰兴中学高二期中,)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,且过另一个交点的圆的方程为()A.x2+(y-4)2=20B.(x-4)2+y2=2

5、0C.x2+(y-2)2=20D.(x-2)2+y2=206.(多选)(2020江苏常州洛阳高级中学高二月考,)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则实数m的取值可以为()A.4B.5C.6D.77.()已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的标准方程为.8.(2020江苏张家港高级中学高二期中,)一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标是(-4,0),(4,0),则这个三角形外接圆的方程为.9.(2020河南洛阳高一期末,)已知平面直角坐

6、标系内四点A(1,1),B(-3,-1),C(3,-3),D(-1,1).(1)判断ABC的形状;(2)A,B,C,D四点是否共圆?并说明理由.10.(2020江苏常州第一中学高二期中,)已知圆C经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心C在直线x+3y-15=0上.(1)求圆C的标准方程;(2)设点Q(-1,m)(m0)在圆C上,求QAB的面积.题组二圆的方程的综合应用11.(2020浙江杭州第二中学高二期末,)已知实数x,y满足y=9-x2,求t=y+3x+1的取值范围.12.(2020江苏石榴高级中学高二月考,)一座圆拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后

7、,水面宽多少米?第2课时圆的一般方程基础过关练题组一圆的一般方程的理解1.(2020江苏连云港海州高级中学高二月考)曲线方程x2+y2+Ex-y+4=0表示一个圆的充要条件为()A.E15B.E15C.E215D.E2152.(2020山东日照一中高二期中)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()A.4,-6,3B.-4,6,3C.-4,-6,3D.4,-6,-33.(2020江苏盐城射阳中学高二期中)若方程x2+y2-2ax+4y=5a表示圆,则实数a的取值范围是.4.(2020江苏侯集高级中学高二月考)方程x2+y2-4mx+2m

8、y+20m-20=0能否表示圆?若能表示圆,求出圆心坐标和半径.题组二求圆的一般方程5.(2020湖北荆门高二期末)圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为()A.x2+y2+2x-2y-2=0B.x2+y2-2x+2y-2=0C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2-2x+2y=06.(2020江苏丹阳高级中学高二期中)经过点A(1,5)和B(2,-22),且圆心在x轴上的圆的一般方程为()A.x2+y2-6y=0B.x2+y2+6y=0C.x2+y2+6x=0D.x2+y2-6x=07.(2020江苏南通海门中学高二月考)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是

9、()A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=08.圆2x2+2y2+6x-4y-3=0的圆心坐标和半径分别为.9.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为2,求圆的一般方程.题组三求动点的轨迹问题10.(2020江苏昆山中学高二月考)已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足PA=2PB,则点P的轨迹为()A.直线B.线段C.圆D.半圆11.(2020江苏太湖高级中学高二期中)已知M是圆C:x2+y2=1上的动点,点N(2,0),则MN的

10、中点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=14B.(x-1)2+y2=12C.(x+1)2+y2=12D.(x+1)2+y2=1412.(2020山东平度一中高二月考)在第四象限内,到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是()A.x2+y2=4B.x2+y2=4(x0)C.y=-4-x2D.y=-4-x2(0x2)13.(2020山东淄博中学高二期中)若动点P到两点A(1,0),B(2,0)的距离之比为22,则点P的轨迹方程为.14.(2020江苏江浦高级中学高二期中)过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程;(2)延长OA到N,使OA=AN,求点N的轨迹方程

11、.能力提升练题组一求圆的方程1.(2020江苏南京天印高级中学高二期中,)已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=02.()当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=03.(2020上海华师大二附中高二期中,)已知三角形的三边所在直

12、线分别为x+y=-1,2x-y=1,2x+y=3,则该三角形的外接圆的方程为.4.(2020江苏赣榆高级中学高二期中,)已知圆C1的方程为x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0.(1)求实数m的取值范围;(2)求当圆的面积最大时,圆C1的一般方程;(3)求当圆的面积最大时,圆C1关于直线l:x-y+1=0对称的圆C2的方程.题组二圆的方程的应用5.(2020江苏宿迁泗阳中学高二期中,)若直线2x-y+a=0始终平分圆x2+y2-4x+4y=0的周长,则a的值为()A.4B.6C.-6D.-26.(2020山东烟台一中高二期中,)已知方程x2+y2+2mx-2my-2=0表示的曲线恒过第

13、三象限内的一个定点A,若点A又在直线l:mx+ny+1=0上,则2m+2n=()A.1B.2C.3D.47.(2020四川成都七中高二期中,)已知点A(3,0),B(0,4),点P在圆x2+y2=1上运动,则PA2+PB2的最小值为.8.(2020江苏南京田家炳高级中学高二月考,)如图,某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45方向距O岛402千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏

14、西30方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?题组三动点的轨迹问题9.(2020河北石家庄二中高二月考,)方程|y|-1=3-(x-2)2所表示的曲线的长度是()A.6B.23C.23+43D.6+1210.(多选)(2020江苏连云港白塔高级中学高二期中,)“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为C,则下列结论正确的是()A.C的方程为(x+4)2+y2=16B.当A,B,P三点不共线时,射线PO是APB的平分线C.PAB的面积

15、最大为12D.在C上存在点M,使得MO=2MA11.(2020江苏泰州中学高二期中,)已知线段AB的端点B的坐标是(3,4),端点A在圆(x+2)2+(y-1)2=2上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是.12.()已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.(1)求动点M的轨迹方程;(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.答案全解全析第1课时圆的标准方程基础过关练1.D2.C由(x-a)2+(y-b)2=0,解得x=a,y=b,因此它只表示一个点(a,b).故选C.3.A因为直线y=ax+b经过第一、二、四象限,所以a0.又圆(x+a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为

16、(-a,b),所以-a0,b0,所以圆心在第一象限.故选A.4.答案2+1解析易知圆心坐标为(-1,2),半径为2,a+b+r=-1+2+2=2+1.5.C6.B圆心P(-2,3)到y轴的距离为2,所以圆的半径为2,故圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=22=4.故选B.7.C易知圆心坐标为(3,2),直径为(5-1)2+(3-1)2=25,所以半径为5,故圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=5.故选C.8.答案x2+(y-2)2=1解析解法一(直接法):设圆心为C(0,b),则(0-1)2+(b-2)2=1,解得b=2,圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.解法二(数形结合法):如图

17、所示,根据点(1,2)到圆心的距离为1可知圆心为(0,2),圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.9.解析解法一:设圆心坐标为(a,0),则(a-5)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2,解得a=2,故r=(2-5)2+(0-1)2=10.所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.解法二:因为A(5,1),B(1,3),所以AB的中点坐标为(3,2),直线AB的斜率为-12,所以线段AB的中垂线的方程为y-2=2(x-3),令y=0,得x=2,即圆心为(2,0),所以r=(2-5)2+(0-1)2=10,所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.10.解析由已知得线段AB的中点

18、坐标为(0,0),kAB=1-(-1)-1-1=-1,所以弦AB的垂直平分线的斜率k=1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x.又圆心在直线x+y-2=0上,所以y=x,x+y-2=0,解得x=1,y=1,即圆心为(1,1).圆的半径r=(1-1)2+1-(-1)2=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.11.C因为sin230+cos230=122+322=112,所以点在圆外.故选C.12.A由原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,得(0-2m)2+(0-m)25,则-1m24,点P在圆外.14.B易知点M(3,4)在圆x2+y2=1外,且圆心与M(3,4)的距离为

19、32+42=5,又P为圆x2+y2=1上任一点,所以点P与点M(3,4)的距离的最小值等于圆心与点M的距离减去半径,因此最小值为5-1=4.故选B.15.解析在正常水位时,设圆拱桥的圆心为C,以水面与桥横截面的交线所在直线为x轴,过拱圈的最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9),又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).因为CD=CB,所以(9-b)2=112+b2,解得b=-209,所以圆拱桥所在圆的方程为x2+y+2092=10192.当x=2时,y8.82,即拱桥宽为4m的地方距正常水位时的水面约8.8

20、2m,距涨水后的水面约8.82-2.7=6.12(m),因为船高6.5m,所以船身至少降低6.5-6.12=0.38(m),船才能顺利通过桥洞.能力提升练1.C由题意,得(a+1-a)2+(3-1)2m,即m0,所以0m0),由题意知|2a|5=455,解得a=2,C(2,0).则圆C的半径r=CM=22+(-5)2=3.圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9.8.答案x2+y-9102=1681100或x2+y+9102=1681100解析由题意可设顶点坐标为A(0,5),底边两端点的坐标是B(-4,0),C(4,0),圆心M(0,b),所以MA=MC,即(b5)2=42+b2,得b=910

21、,所以半径为MC=1681100,所以外接圆的方程为x2+y-9102=1681100或x2+y+9102=1681100.9.解析(1)AB=(1+3)2+(1+1)2=25,AC=(1-3)2+(1+3)2=25,AB=AC,又kAB=-1-1-3-1=12,kAC=-3-13-1=-2,kABkAC=-1,ABAC,ABC是等腰直角三角形.(2)A,B,C,D四点共圆.理由如下:由(1)可设ABC的外接圆的圆心为M(x,y),则MA=MB=MC,即(x-1)2+(y-1)2=(x+3)2+(y+1)2=(x-3)2+(y+3)2,解得x=0,y=-2,此时MA=10,所以ABC的外接圆的

22、方程为x2+(y+2)2=10.将D点坐标代入方程,得(-1)2+(1+2)2=10,即点D在ABC的外接圆上.A,B,C,D四点共圆.10.解析(1)依题意知圆心C为线段AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点.AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.由y=-x+3,x+3y-15=0,得x=-3,y=6,即圆心C(-3,6),半径r=CA=4+36=210.故圆C的标准方程为(x+3)2+(y-6)2=40.(2)点Q(-1,m)(m0)在圆C上,m=12或m=0(舍去),Q(-1,12),AQ=122=12,直线

23、AQ的方程为x=-1,点B到直线AQ的距离为4,QAB的面积S=12AQ4=12124=24.11.解析方程y=9-x2表示的曲线为圆x2+y2=9位于x轴及其上方的部分,t可以看作动点(x,y)与定点(-1,-3)连线的斜率.如图,A(-1,-3),B(3,0),C(-3,0),则AB所在直线的斜率kAB=34,AC所在直线的斜率kAC=-32,所以t-32或t34,故t=y+3x+1的取值范围是-,-3234,+.12.解析以圆拱桥拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0

24、,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将A点的坐标(6,-2)代入方程,得36+(r-2)2=r2,r=10.圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1米后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x00),将A的坐标(x0,-3)代入方程,得x0=51,水面下降1米后,水面宽2x0=251米.第2课时圆的一般方程基础过关练1.C该方程表示圆的充要条件是E2+(-1)2-440,即E215.故选C.2.D由题意得,-D2=-2,-E2=3,12D2+E2-4F=4,解得D=4,E=-6,F=-3.故选D.3.答案(-,-4)(-1,+)解析方程x2+y2-2ax+4y=5a表示圆,

25、则4a2+16+20a0,即a2+5a+40,解得a-1,所以实数a的取值范围是(-,-4)(-1,+).4.解析将方程进行配方得(x-2m)2+(y+m)2=5m2-20m+20=5(m-2)2,若m=2,则该方程不能表示圆;若m2,则该方程表示圆,圆心坐标为(2m,-m),半径为5|m-2|.5.A圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=4,即x2+y2+2x-2y-2=0.故选A.6.D设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).因为圆心在x轴上,所以-E2=0,即E=0.又圆经过点A(1,5)和B(2,-22),所以12+(5)2

26、+D+F=0,22+(-22)2+2D+F=0,即D+F+6=0,2D+F+12=0,解得D=-6,F=0.故所求圆的一般方程为x2+y2-6x=0.故选D.7.A设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)在所求的圆上,所以1+1+D-E+F=0,1+16+D+4E+F=0,16+4+4D-2E+F=0,解得D=-7,E=-3,F=2,故圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0.故选A.8.答案-32,1,192解析将圆的方程化为x2+y2+3x-2y-32=0,易得其圆心坐标为-32,1,半径为192.9.解析易知圆心C的坐标为-D2,-E

27、2.因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.因为D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.由可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D20,即D0,E0,y0.因为点M到原点的距离等于2,所以x2+y2=4.因为轨迹在第四象限内,所以y=-4-x2(0x2),所以点M的轨迹方程是y=-4-x2(0x0、y0,即m2-2m-30,-1m3.故所求实数m的取值范围是(-1,3).(2)圆的面积最大,即圆的半径最大.圆的半径r=12D2+E2-4F=12-4m2+8m+12=-m2+2m+3=-(m-1)2+4,又由(1)知,m(-1,3

28、),当m=1时,圆的半径最大,为2.此时圆C1的方程为x2+y2-4x+2y+1=0.(3)由(2)可得圆C1的圆心坐标为(2,-1),半径为2.设圆C2的圆心坐标为(a,b),则C1C2的中点坐标为a+22,b-12,且C1C2的斜率k=b+1a-2.由题意可得,直线l垂直平分线段C1C2,a+22-b-12+1=0,b+1a-2=-1,解得a=-2,b=3,故圆C2的方程为(x+2)2+(y-3)2=4,即x2+y2+4x-6y+9=0.5.C圆x2+y2-4x+4y=0的圆心坐标为(2,-2),直线平分圆的周长,直线必经过圆心,点(2,-2)在直线2x-y+a=0上,4+2+a=0,a=

29、-6,故选C.6.B方程x2+y2+2mx-2my-2=0可化为x2+y2-2+2m(x-y)=0.曲线恒过定点A,x2+y2-2=0,x-y=0,解得x=1,y=1或x=-1,y=-1.点A在第三象限,A(-1,-1),代入直线l的方程mx+ny+1=0,可得m+n=1,2m+2n=2.故选B.7.答案17解析设P(x,y),则PA2+PB2=(x-3)2+y2+x2+(y-4)2=2x-322+(y-2)2-254+25,求(PA2+PB2)min,即求P(x,y)与32,2间距离d的平方的最小值,又dmin2=32-02+(2-0)2-r2=32-02+(2-0)2-12=52-12=9

30、4,(PA2+PB2)min=294-254+25=17.故答案为17.8.解析(1)由题图可知A(40,40),B(20,0),设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则F=0,402+402+40D+40E+F=0,202+20D+F=0,解得D=-20,E=-60,F=0,所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.(2)易知D(-20,-203),且船航线所在直线l的斜率为1,故直线l:x-y+20-203=0,由(1)得圆C的圆心为C(10,30),半径r=1010.由于圆心C到直线l的距离d=|10-30+20-203|2=1061010,故该船有触礁的

31、危险.9.B因为方程|y|-1=3-(x-2)2,所以|y|-10,所以y1或y-1.将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3,所以曲线为两个半圆,半径为3,所以曲线的长度为C=23=23.故选B.10.ABC设P(x,y),因为A(-2,0),B(4,0),点P满足PAPB=12,所以(x+2)2+y2(x-4)2+y2=12,整理得(x+4)2+y2=16,故A正确;当A,B,P三点不共线时,由OAOB=12=PAPB,可得射线PO是APB的平分线,故B正确;因为AB=6,而P在圆(x+4)2+y2=16上,所以P到AB的最大距离为4,所以PAB的面积最大为1264=12,故C正确

32、;若在C上存在点M,使得MO=2MA,设M(x,y),即有x2+y2=2(x+2)2+y2,化简可得x2+y2+163x+163=0,与(x+4)2+y2=16联立,可得方程组无解,故不存在M,故D错误.故选ABC.解后反思求平面上点的轨迹方程的一般步骤:建系,设点,建立方程,代入坐标求方程.根据这一过程可求出满足PAPB=12的点P的轨迹方程,圆上的动点到直径的距离的最大值即为半径,可求出该题中三角形的最大面积.11.答案(2x-1)2+(2y-5)2=2解析设A(x1,y1),M(x,y),则3+x12=x,4+y12=y,即x1=2x-3,y1=2y-4.端点A在圆(x+2)2+(y-1

33、)2=2上运动,(x1+2)2+(y1-1)2=2,即(2x-1)2+(2y-5)2=2.线段AB的中点M的轨迹方程是(2x-1)2+(2y-5)2=2.12.解析(1)设M(x,y),由题意得MA=12MB,又A(2,0),B(8,0),所以(x-2)2+y2=12(x-8)2+y2,整理得x2+y2=16,所以动点M的轨迹方程为x2+y2=16.(2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标为(x1,y1).由于A(2,0),且N为线段AM的中点,所以x=2+x12,y=0+y12,所以x1=2x-2,y1=2y.因为点M在圆x2+y2=16上,所以(2x-2)2+(2y)2=16,即(x-1)2+y2=4.所以点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.